Zahlwort

Wer „Schlag den Raab“ aufmerksam verfolgt hat, mag wissen, daß der Gewinn der ersten neun von insge­samt fünf­zehn Spielen nur 45 der 120 Punkte bringt, weil 120 die fünf­zehnte und 45 die neunte Dreiecks­zahl ist. Das haut nicht vom Sockel, denn mit 6 (Hexe­rei), 10 (Bow­ling), 15 (Snoo­ker), 28 (voll­kommen), 36 (Qua­drat­zahl), 153 (Fische) und 666 (Apo­ka­lypse) gibt es genügend promi­nen­tere Drei­ecks­zahlen. Zwar ist 45 zugleich fünfte Sechs­eck­zahl, doch trifft auch das auf jede zweite Drei­ecks­zahl zu. [1]

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n=5, H_n=1+5+9+13+25=n(2n-1)=D_2n-1=D_n+3D_n-1=n²+2D_n-1=45 (png)

Was sonst noch? Die 45 ist die kleinste ungerade Zahl mit mehr Teilern als ihre gerade Nach­folge­rin. [2] Auf den ersten Blick mag verwun­dern, daß es keine klei­neren gibt, doch haben die geraden Zah­len n ober­halb von 4 alle minde­stens vier Teile­rinnen, näm­lich 1, 2, n/2 und n selbst. Das kann eine unge­rade Zahl mit nur zwei Prim­fak­toren nicht über­bieten. Die kleinste verbleibende ungerade Kandi­datin 3·3·3=27 schei­det mit nur vier Teilern aus. Die näch­ste 3·3·5=45 aber ist mit sechs Teile­rinnen erfolg­reich, denn 46 hat nur vier. Zugleich ist 45 auch die kleinste unge­rade Zahl, deren Teile­rinnen­summe die ihrer geraden Nach­folge­rin über­steigt. Auch hier schei­det 27 aus, 45 aber über­flügelt mit 1+3+5+9+15+45=78 die 1+2+23+46=72 der 46.

1  2  3  4  5  6    1  2  3  4  5  6  7  8  9    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
----------------    -------------------------    ----------------------------
1                   .  .  . 21                   . 41
.  2                .  .  . 22                   .  .  .  .  .  .  . 42
.  3                . 23                         . 43
.  .  4             .  .  .  .  .  .  . 24       .  .  .  .  . 44
.  5                .  . 25                      .  .  .  .  . 45   <-----   
.  .  .  6          .  .  . 26                   .  .  . 46
.  7                .  .  . 27                   . 47
.  .  .  8          .  .  .  .  . 28             .  .  .  .  .  .  .  .  . 48
.  .  9             . 29                         .  . 49
.  .  . 10          .  .  .  .  .  .  . 30       .  .  .  .  . 50
. 11                . 31                         .  .  . 51
.  .  .  .  . 12    .  .  .  .  . 32             .  .  .  .  . 52
. 13                .  .  . 33                   . 53
.  .  . 14          .  .  . 34                   .  .  .  .  .  .  . 54
.  .  . 15          .  .  . 35                   .  .  . 55
.  .  .  . 16       .  .  .  .  .  .  .  . 36    .  .  .  .  .  .  . 56
. 17                . 37                         .  .  . 57
.  .  .  .  . 18    .  .  . 38                   .  .  . 58
. 19                .  .  . 39                   . 59
.  .  .  .  . 20    .  .  .  .  .  .  . 40

Anzahl der Teiler der Zahlen 1 bis 59. Ungerade fett und rot.

Die vorstehende Aufstellung zeigt Zahlen mit gleicher Teiler­zahl in der glei­chen Spalte. [3] Man sieht, daß nur die 1 genau einen Teiler hat, gefolgt von den Prim­zahlen mit zweien und den Prim­quadraten mit dreien. Vier Teiler haben Prim­kuben und Produkte zweier verschie­dener Prim­zahlen. Fünf sind es für Prim­biqua­drate, sechs für fünfte Poten­zen von Primzahlen und Pro­dukte eines Prim­quadra­tes mit einer ande­ren Prim­zahl. Sieben Teiler haben nur die sechsten Poten­zen von Prim­zahlen. Danach wird es viel­fälti­ger, ent­spricht also dem Credo des moder­nen Menschen.

Wer möchte, kann weiter suchen und nach der 45 schnell weitere ungerade Zahlen mit mehr Teilern als ihrem geraden Nachfolger finden. [4] Und wenn die unge­raden männ­lichen Zahlen einen weiteren Schwanz­ver­gleich mit den geraden weib­lichen Nach­barin­nen suchen, dann steht neben der nach­folgen­den auch die voran­ge­hende Zahl zur Verfügung. [5] Es wäre nicht schmei­chel­haft für die 45, wenn eine klei­nere unge­rade Zahl mehr Teiler als ihr Vor­gän­ger hätte. Auf­merk­sam(e) Lesende werden bemer­ken: 165 ist der Platz­hirsch, wo beide Nach­barn über­trifft. [6]

Nun genug der Teiler und ihrer Summen und zu einer ähnlichen Eigen­schaft: Die Zahl 45 hat nur 3 und 5 als Prim­faktoren. Damit ist 45 eine recht kleine 5-glatte Zahl. [7] Als solche nimmt sie einen guten Platz in der Reihe der 5-Limit-Inter­valle ein: Und zwar ist 45/32 der (erste, diato­nische) Tritonus, eine über­mäßige Quarte aus zwei gro­ßen (9/8) und einem keinen Ganz­ton (10/9), auf einem in C-Dur gestimm­ten Klavier das Inter­vall von f nach ,h. Da 45^2=2025 fast 2^11=2048 erreicht, bleibt der Tri­tonus weniger als ein Pro­zent (10 Cent) hinter einer halben Oktave zurück. Das demzufolge etwas größere komple­men­täre Inter­vall 64/45 heißt zwei­ter (dia­toni­scher) Tritonus.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Sechs­eck­zahlen A000384. Das sind 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, ...
[2] Zwar habe ich schon immer gewußt, daß Zahlen weib­lich sind, und stets „die näch­ste Quadrat­zahl“ und „die um eins grö­ßere Zahl“, aber nie „die Nach­folge­rin“ oder gar „die grö­ßere Part­nerin des Prim­zahl­zwil­lings“ geschrie­ben. Darüber habe ich bis vor kurzen wegen inter­nali­sierter Mikro­frauen­feind­lich­keit gar nicht nach­gedacht, weil es mir gar nicht auffiel. Ich bleibe dabei: Die(♀) 46 ist der(♂) Nachfolger der(♀) 45.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Teiler­anzah­len A000005, Teiler­summen A000203.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A138171 listet unge­ra­de n mit d(n)>d(n+1). Das sind 45, 81, 105, 117, 165, 225, 261, 273, ...
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A138172 listet ge­ra­de n mit d(n)<d(n+1). Das sind 62, 74, 134, 146, 164, 188, 194, 206, 254, ...
[6] Relativsätze mit wo sind ein Baustein zu einer gender­ge­rech­ten Sprache, zu der auch bald die Platz(hirsch)kuh gehören wird.
[7] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 5-glatte Zahlen A051037. Das sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, ..., 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, ...

44 | Stefan Raab | Zahlgeschlecht

Wie immer sehr spannend! Vielen Dank!