43
wuerg, 18.03.2021 01:28
Zu den natürlichen Zahlen 1 bis 42 schrieb ich bereits vor Jahren etwas. Nun ist 43 dran, ein Kandidat für die kleinste uninteressante Zahl. Was vermeldet uns die Wikipedia? Sie ist die Ordnungszahl des leichtesten Elementes ohne stabiles Isotop [1] und die größte Zahl von McNuggets, die man mit den gängigen Größen 6, 9 und 20 nicht ohne Rest zusammenstellen kann. [2] Die Überlegung ist einfach: Mit 6 und 9 allein kann man alle durch 3 teilbaren Zahlen erreichen, außer 3 selbst. Mit kein-, ein- oder zweimal 20 sind deshalb alle Anzahlen n=3k, n=20+3k und n=40+3k für k>1 möglich, darunter alle n≥40+3·2=46. Auch 45=5·9 und 44=20+4·6 gehen, nicht jedoch 43, denn mit einer oder keiner Zwanziger-Packung müßte 43−1·20=23 bzw. 43−0·20=43 durch 3 teilbar sein. Bleiben zweimal 20. Der Rest 43−2·20=3 ist jedoch unmöglich. So einfach ist es im allgemeinen nicht und das Problem für mehr als drei Portionen wohl ungelöst. [3]
Die Zahl 43 ist nicht nur eine Primzahl, sondern zusammen mit 41 auch ein Primzahlzwilling. Daß es 18 Positionen weiter mit 59 und 61 einen weiteren gibt, ist nicht verwunderlich. Es kommt aber gelegen, daß Promethium mit der Ordnungszahl 61 nach Technetium mit 43 das zweite instabile Element ist. Peter Plichta zählt wie die Römer in Musikermanier 19 Elemente von 43 bis 61, und schon ist er in seinem Denkraster von Primzahlen und 19.
Ansonsten muß man 43 schon suchen. Um sie als ordentliche Figur aus Punkten zu malen, sollte man sie irgendwo unter den figurierten Zahlen finden. Doch macht sie sich rar. Zu den normalen Polygonal- und Pyramidenzahlen gehört sie nicht. Um sie als zentrierte Polygonalzahl zu finden, muß 43−1=42 Vielfaches einer Dreieckszahl sein. Tatsächlich ist 42=7·6=7·D₄₋₁ und 43 damit vierte Siebeneckzahl. Auch wegen 42=2·21=2·D₇₋₁ siebte Zweieckszahl. Die Figur vom Zweieck will keiner sehen und ein Siebeneck paßt auch schlecht ins Zeilenraster:
Die Sylvester-Folge [4] erhält man mit 1 beginnend, indem alle vorangehenden Folgeglieder multipliziert werden und eins addiert wird, also a₀=1 und aₙ₊₁=a₀·a₁·…·aₙ₋₁+1. So ergeben sich a₁=1+1=2, a₂=1·2+1=3, a₃=1·2·3+1=7 und bereits als vierte Zahl a₄=1·2·3·7+1=43. Es folgen 1807 und 3263443. Danach werden die Zahlen schnell sehr groß. Daß die ersten Folgeglieder allesamt nicht zusammengesetzt sind, sollte nicht dazu verleiten anzunehmen, es folgten nur Primzahlen, denn schon 1807=13·139 ist keine mehr.
[1] The 43 Peculiarity. The Big Bang Theory, Fernsehserie, Staffel 6, Folge 8. Text. Sheldon hat 43 groß auf eine Tafel geschrieben. Die Bedeutung bleibt bis zum Schluß unklar. Eine Vermutung war Technetium.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Liste A214777 der McNugget-Zahlen. Oberhalb von 43 sind alle dabei, weshalb es gerechtfertigt ist, 43 „die“ McNugget-Zahl zu nennen.
[3] Wolfram Mathworld. Coin Problem. Dort wird berichtet, daß es nicht einfach, aber ein Lösungsweg für drei Münzen (hier 6,9,20) bekannt ist.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A129871. Auch A000058 ohne a₀ mit der Rekursion aₙ₊₁=aₙ(aₙ−1)+1. Lustigerweise könnte man a₀=Φ oder a₀=-φ wählen.
42 | 44 | Isotope | uninteressante Zahlen
Die Zahl 43 ist nicht nur eine Primzahl, sondern zusammen mit 41 auch ein Primzahlzwilling. Daß es 18 Positionen weiter mit 59 und 61 einen weiteren gibt, ist nicht verwunderlich. Es kommt aber gelegen, daß Promethium mit der Ordnungszahl 61 nach Technetium mit 43 das zweite instabile Element ist. Peter Plichta zählt wie die Römer in Musikermanier 19 Elemente von 43 bis 61, und schon ist er in seinem Denkraster von Primzahlen und 19.
Ansonsten muß man 43 schon suchen. Um sie als ordentliche Figur aus Punkten zu malen, sollte man sie irgendwo unter den figurierten Zahlen finden. Doch macht sie sich rar. Zu den normalen Polygonal- und Pyramidenzahlen gehört sie nicht. Um sie als zentrierte Polygonalzahl zu finden, muß 43−1=42 Vielfaches einer Dreieckszahl sein. Tatsächlich ist 42=7·6=7·D₄₋₁ und 43 damit vierte Siebeneckzahl. Auch wegen 42=2·21=2·D₇₋₁ siebte Zweieckszahl. Die Figur vom Zweieck will keiner sehen und ein Siebeneck paßt auch schlecht ins Zeilenraster:
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43 als vierte zentrierte Heptagonalzahl (png)Die Sylvester-Folge [4] erhält man mit 1 beginnend, indem alle vorangehenden Folgeglieder multipliziert werden und eins addiert wird, also a₀=1 und aₙ₊₁=a₀·a₁·…·aₙ₋₁+1. So ergeben sich a₁=1+1=2, a₂=1·2+1=3, a₃=1·2·3+1=7 und bereits als vierte Zahl a₄=1·2·3·7+1=43. Es folgen 1807 und 3263443. Danach werden die Zahlen schnell sehr groß. Daß die ersten Folgeglieder allesamt nicht zusammengesetzt sind, sollte nicht dazu verleiten anzunehmen, es folgten nur Primzahlen, denn schon 1807=13·139 ist keine mehr.
[1] The 43 Peculiarity. The Big Bang Theory, Fernsehserie, Staffel 6, Folge 8. Text. Sheldon hat 43 groß auf eine Tafel geschrieben. Die Bedeutung bleibt bis zum Schluß unklar. Eine Vermutung war Technetium.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Liste A214777 der McNugget-Zahlen. Oberhalb von 43 sind alle dabei, weshalb es gerechtfertigt ist, 43 „die“ McNugget-Zahl zu nennen.
[3] Wolfram Mathworld. Coin Problem. Dort wird berichtet, daß es nicht einfach, aber ein Lösungsweg für drei Münzen (hier 6,9,20) bekannt ist.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A129871. Auch A000058 ohne a₀ mit der Rekursion aₙ₊₁=aₙ(aₙ−1)+1. Lustigerweise könnte man a₀=Φ oder a₀=-φ wählen.
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