43
Zu den natürlichen Zahlen 1 bis 42 schrieb ich bereits vor Jahren etwas. Nun ist 43 dran, ein Kan­didat für die klein­ste unin­teres­sante Zahl. Was vermeldet uns die Wiki­pedia? Sie ist die Ordnungs­zahl des leich­testen Elemen­tes ohne sta­biles Iso­top [1] und die größte Zahl von McNuggets, die man mit den gän­gigen Größen 6, 9 und 20 nicht ohne Rest zusammen­stel­len kann. [2] Die Über­legung ist ein­fach: Mit 6 und 9 allein kann mann alle durch 3 teil­baren Zahlen errei­chen, außer 3 selbst. Mit kein-, ein- oder zwei­mal 20 sind alle Anzah­len n=3k, n=20+3k und n=40+3k für k≥2 mög­lich, darun­ter alle n≥46. Auch 45=5·9 und 44=20+4·6 gehen, nicht jedoch 43: Mit einer oder keiner Zwan­ziger-​Packung müßte 23 bzw. 43 durch 3 teilbar sein. Bleiben zweimal 20. Der Rest 3 aber ist unmög­lich. [3]

Die Zahl 43 ist nicht nur eine Primzahl, sondern zusammen mit 41 auch ein Prim­zahl­zwilling. Daß es 18 Posi­tionen weiter mit 59 und 61 einen wei­teren gibt, ist nicht verwunder­lich. Es kommt aber gelegen, daß Prome­thium mit der Ord­nungs­zahl 61 nach Techne­tium mit 43 das zweite insta­bile Element ist. Peter Plichta zählt in Musiker­manier 19 Ele­mente von 43 bis 61, und schon ist er in seinem Denk­raster von Prim­zahlen und 19.

Ansonsten muß man 43 schon suchen. Um sie als ordent­liche Figur aus Punkten zu malen, sollte man sie irgendwo unter den figu­rierten Zahlen finden. Doch macht sie sich rar. Zu den nor­malen Poly­gonal- und Pyra­miden­zahlen gehört sie nicht. Um sie als zen­trierte Poly­gonal­zahl zu finden, muß 43-1=42 Viel­faches einer Dreiecks­zahl sein. Tatsäch­lich ist 42=2·21=7·6 und 43 damit siebte Zwei­ecks­zahl und vierte Sieben­eck­zahl. Die Figur vom Zweieck will keiner sehen und ein Sieben­eck paßt auch schlecht ins Zeilen­raster:

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43 ist die vierte zentrierte Heptagonalzahl

Ganz lustig ist auch eine Liste von eukli­dischen Zahlen, vor allem wegen des Zusam­men­hanges mit ägypti­schen Brüchen. Man beginnt mit 1, fährt mit 1+1=2 fort und multi­pli­ziert immer wieder alle bereits gebil­deten Zahlen, zu denen dann 1 addiert wird. So ergeben sich 1·2+1=3, 1·2·3+1=7 und bereits als vierte Zahl 1·2·3·7+1=43. Es folgt 1·2·3·7·43+1=1807. Danach werden die Zahlen schnell sehr groß. Als alter Ägypter hätte man 1 als 1/2+1/2 schrei­ben können, doch wird auf 1/2+1/3=5/6 ernie­drigt. Es ver­bleibt 1/6, das zu 1/7 führt. Sodann fehlt 1/2+1/3+1/7=41/42 noch 1/42 bis zur 1 und es wird 1/43 angefügt, womit man den unend­lichen ägyptischen Bruch

1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/263443 + ...

erhält. Diese Spie­lerei soll an Euklid erinnern, der nachwies, daß es unend­lich viele Prim­zahlen gibt. Wären es nämlich nur endlich viele, etwa p1,p2,...,pn, könnte pp2·...·pn+1 durch keine Prim­zahl geteilt und wäre eine weitere. Das darf nicht zu der Hoff­nung verleiten, in der Folge 1,2,3,7,43,1807,263443,... seien nur Prim­zahlen. Schon 1807=13·139 ist keine. Eins natürlich auch nicht. [4]

[1] Lorre, Prady: The 43 Peculi­arity. Staffel 6, Folge 8 der Fernseh­serie The Big Bang Theory, 2012. Sheldon hat 43 groß auf eine Tafel geschrieben. Die Bedeu­tung bleibt bis zum Schluß unklar. Eine Vermu­tung war Tech­netium.

[2] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A214777. Liste der McNugget-Zahlen. Oberhalb von 43 sind alle dabei, weshalb es gerecht­fertigt ist, 43 die McNugget-​Zahl zu nennen.

[3] Eric Weisstein: Coin Problem. Wolfram Math­world. Dort wird berich­tet, daß es nicht einfach, aber ein Lösungs­weg für drei Münzen (hier 6,9,20) bekannt ist.

[4] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A008578. Man war früher auch anderer Meinung.

42 | Isotope | interessante Zahlen

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