Zahlwort

Zu jeder Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, … kann man eine Summen­folge s₁, s₁, s₁, … bilden, deren n‑tes Glied sₙ die ersten n Glie­der der Folge a addiert:

s_n = a₁+a₂+…+a_n ,  rekursiv s₁=a₁, s_n=s_n-1+a_n für n>1

Definierte man die Diffe­renzen­folge als dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0, so wäre die Summen­folge s der Diffe­renzen­folge d wieder die Ausgangs­folge a:

s_n = d₁+d_n+…+d_n = (a₁−a₀)+(a₂−a₁)+…+(a_n−a_n−1) = a_n−a₀ = a_n

Gleiches gälte auch für die Diffe­renzen­folge d der Summen­folge s:

d_n = s_n − s_n−1 = (a₁+a₂+…+a_n) − (a₁+a₂+…+a_n−1) = a_n

Definiert man dagegen wie üblich dₙ=aₙ₊₁−aₙ, so ist die Diffe­renzen­folge d der Summen­folge s leider die um eine Position verscho­bene Ausgangs­folge a, denn

d_n = s_n+1 − s_n = (a₁+a₂+…+a_n+1) − (a₁+a₂+…+a_n) = a_n+1

Bei der Summenfolge s der Diffe­renzen­folge d wird zudem noch das erste Folge­glied a₁ abge­zogen:

s_n = d₁+d₂+…+d_n = (a₂−a₁)+…+(a_n+1−a_n) = a_n+1−a₁

Auf den ersten Blick scheint daher die erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normaler­weise die zweite wählt. Das hatte ich in meinem Beitrag zur Diffe­renzen­folge in einer Fußnote erläutert. [1]

Summenfolgen sind im allgemeinen inter­essanter als die der Diffe­renzen, was man schon daran erkennt, daß vornehm­lich mit ihrer Betrach­tung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprach­lich die grund­legende Folge als Gesamt­heit hervor, deren Glieder zugun­sten der Partial­summen in den Hinter­grund treten. Insbe­son­dere dann, wenn es vor allem um die Gesamt­summe geht. [2] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2,  1/4, 1/8, … ist recht schlicht und ihre Summenfolge 1, 3/2, 7/4, 15/8, … eigent­lich auch nur inter­essant, um abzu­leiten, daß die Reihe 1+1/2+1/4+1/8+… gegen 2 konver­giert. [3]

[1] Oberschüler mögen sich daran erinnern, daß grob gesprochen die Inte­gration die Ablei­tung und die Ablei­tung die Inte­gration umkehrt. Wer deshalb die erste Defi­nition der Diffe­renzen­folge für die natür­liche hält, möge beachten, daß mit dem Übergang von 1 nach dx der Unter­schied ver­schwin­det und die zweite Defini­tion mehr der üblichen Darstel­lung des Diffe­rential­quo­tienten ent­spricht.

[2] Manchmal ist es auch umge­kehrt, wenn man beein­druckt davon ist, welche Folge­glieder sich zu einer belieb­ten Zahl addie­ren, wie das bei der Leibniz-​Reihe π/4=1−1/3+1/5−1/7+… der Fall ist. [3]

[3] Falls hier mitten im Bruch häß­lich die Zeile gewech­selt wird, so liegt das daran, daß <nobr> aus welchem Grunde auch immer raus­gefil­tert wird und ich auf das nicht umbre­chende Geteilt­zei­chen (&#8725;) ver­zich­tet habe, weil es oft­mals häß­lich darge­stellt wird. Zur Über­prü­fung: 1/3 (Schräg­strich) und 1∕3 (Geteilt­strich).

Differenzenfolge | Reihe