Dur
wuerg, 25.05.2005 01:40
Schon vor der Erfindung der Musik wiesen die Laute des Menschen und der Natur eine spektrale Zusammensetzung in vorzugsnäherungsweisen [1] kleinzahligen Frequenzverhältnissen auf. Spätestens die alten Griechen erkannten Saitenlängen in den Verhältnissen 2:1 (Oktave) und 3:2 (Quinte) als harmonisch zusammenklingend. Doch die Götter versagten ihnen auch hier kommensurable Verhältnisse. Keine m Quinten würden jemals genau n Oktaven treffen. Zum Trost gaben sie recht kleinen Verhältnissen noch heute gebräuchliche Namen:
Dank der Volksmusik setzte sich die Siebenteilung durch. Sie besteht pythagoreisch aus fünf großen Ganztönen (9/8) und zwei Diesen (256/243). Eine gleichmäßige Verkleinerung aller Quinten um eine siebtel Apotome, also eine Teilung in sieben gleiche Intervalle scheidet weniger wegen der dann um 16 Cent zu kleinen Quinte aus, sondern dadurch, daß die halben Töne genauso groß würden wie die ganzen, die offensichtlich im menschlichen Gesang liegende Diatonik verloren ginge. Man kann also bei der pythagoreischen Teilung bleiben oder eine andere ins Auge fassen, die beide halben Tonschritte in etwa halb so groß läßt wie die ganzen. [2]
Zur Rechtfertigung einer reinen pythagoreischen Teilung errichteten die Griechen Gebäude aus Tetrachorden, deren nur teilweise richtige Neuentdeckung im Mittelalter wir letztlich die sieben Töne F–c–g–d'–a'–e"–h" im Abstand reiner Quinten verdanken. Durch Oktavierung und Anhängen von -is oder -es für jede Erhöhung bzw. Erniedrigung um eine Apotome entsteht das heute pythagoreisch genannte Universum von Tönen und Intervallen.
Auch die Griechen kamen auf den Trichter, über die 3‑glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7‑glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, … sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, … auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Am einfachsten ist es, die halben Töne genau halb so groß zu machen wie die ganzen. Dann betten sich die sieben Töne in die gleichstufige Zwölfteilung ein. In der mitteltönigen Stimmung bilden zwei ganze Töne zu √(5/4) eine große Terz. Auch Werckmeister verkürtzte alle zwölf Quinten um ein Zwölftel des pythagoreischen Kommas, die nach ihm benannten Teilungen aber sehen ungleichmäßig als Zu- und Abschläge Vielfache von einem Drittel, Viertel bzw. Siebtel eines pythagoreischen Kommas vor.
[3] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5‑glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
[4] Zu diesem Ergebnis kam schon Ptolemäus, weshalb im amerikanischen Sprachraum die Intervalle mit einer 5 im Nenner oder Zähler im Kontrast zu pythagorean gerne ptolemaic genannt werden.
Oktave | Quinte
23 : (3/2)5 = 28 / 35 = 256/243 = Diesis ≈ 1,054
(3/2)7 : 24 = 37 / 211 = 2187/2048 = Apotome ≈ 1,068
(3/2)12 : 27 = 312 / 219 = 531441/524288 = Komma ≈ 1,014
Das gibt Anlaß zu Oktavteilungen in 5, 7 oder 12 Töne, die durch Stapelung von 4, 6 oder 11 Quinten entsteen. Vom letzten zum ersten Ton liegt dann keine reine Quinte, sondern eine Diesis mehr bzw. eine Apotome oder ein Komma weniger. Teilt man diese Verstimmungen gleichmäßig auf, sind alle Quinten um 90 Cent zu groß bzw. 16 oder 2 Cent zu klein. Letzteres liegt unter der Hörbarkeitsgrenze, weshalb es bzgl. der Quinten an der gleichstufigen Zwölftonleiter nichts auszusetzen gibt.Dank der Volksmusik setzte sich die Siebenteilung durch. Sie besteht pythagoreisch aus fünf großen Ganztönen (9/8) und zwei Diesen (256/243). Eine gleichmäßige Verkleinerung aller Quinten um eine siebtel Apotome, also eine Teilung in sieben gleiche Intervalle scheidet weniger wegen der dann um 16 Cent zu kleinen Quinte aus, sondern dadurch, daß die halben Töne genauso groß würden wie die ganzen, die offensichtlich im menschlichen Gesang liegende Diatonik verloren ginge. Man kann also bei der pythagoreischen Teilung bleiben oder eine andere ins Auge fassen, die beide halben Tonschritte in etwa halb so groß läßt wie die ganzen. [2]
Zur Rechtfertigung einer reinen pythagoreischen Teilung errichteten die Griechen Gebäude aus Tetrachorden, deren nur teilweise richtige Neuentdeckung im Mittelalter wir letztlich die sieben Töne F–c–g–d'–a'–e"–h" im Abstand reiner Quinten verdanken. Durch Oktavierung und Anhängen von -is oder -es für jede Erhöhung bzw. Erniedrigung um eine Apotome entsteht das heute pythagoreisch genannte Universum von Tönen und Intervallen.
Auch die Griechen kamen auf den Trichter, über die 3‑glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7‑glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, … sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, … auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
1. (125/108)1 ⋅ (10/9)3 ⋅ (27/25)3 = 2 (140/10) 2. (9/8)1 ⋅ (10/9)4 ⋅ (27/25)2 = 2 (105/9) 3. (9/8)3 ⋅ (10/9)2 ⋅ (16/15)2 = 2 (210/18)In Klammern die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt und solche, die unter Rotation und Spiegelung verschieden sind. Betrachtet man die insgesamt 37 Fälle, so sticht einer mit sechs reinen Quinten hervor. Alle anderen weisen keine fünf auf. Diese eine Teilung führt auf die einzig akzeptablen Abfolgen
... G K G H:G K H G K G H:G K H G K G H ... (Dur) ... G K:G H K G H G K:G H K G H G K G H ... (Moll)mit G=9/8 (großer Ganzton), K=10/9 (kleiner Ganzton) und H=16/15 (diatonischer Halbton). Es handelt sich um die Dur- und die Moll-Teilung der Oktave, zu denen Musiker die mit einem Doppelpunkt gekennzeichneten Positionen als Grundton sehen. Es verwundert nicht, daß diese beiden die kompakteste Darstellung im Eulerschen Tonnetz [3] aufweisen. Hier für C‑Dur und ‚a‑moll:
‚a ‚e ‚h ‚d--‚a--‚e--‚h 5/4 |\ |\ |\ \ |\ |\ | | | \ | \ | \ \ | \ | \ | | | \| \| \ \| \| \| | f---c---g---d f c g 1/1---3/2Man sieht nicht nur die drei Dur- bzw. Moll-Dreiklänge (Dreiecke mit Spitze oben bzw. unten) und das um ein syntonisches Komma (81/80) abweichende d, sondern auch, daß Dur den größten gemeinsamen Unterton umfaßt (f in C‑Dur), Moll jedoch nicht (’b in a‑moll). Damit ist die Dur-Teilung nicht eine von zwei guten oder gar vielen, sondern die beste und natürliche. [4] Sich damit rauszureden, daß eine Moll-Tonleiter dafür den kleinsten gemeinsamen Oberton enthält (h im Falle von a‑moll), Dur jedoch nicht, geht an der physikalischen Realität vorbei.
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Am einfachsten ist es, die halben Töne genau halb so groß zu machen wie die ganzen. Dann betten sich die sieben Töne in die gleichstufige Zwölfteilung ein. In der mitteltönigen Stimmung bilden zwei ganze Töne zu √(5/4) eine große Terz. Auch Werckmeister verkürtzte alle zwölf Quinten um ein Zwölftel des pythagoreischen Kommas, die nach ihm benannten Teilungen aber sehen ungleichmäßig als Zu- und Abschläge Vielfache von einem Drittel, Viertel bzw. Siebtel eines pythagoreischen Kommas vor.
[3] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5‑glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
[4] Zu diesem Ergebnis kam schon Ptolemäus, weshalb im amerikanischen Sprachraum die Intervalle mit einer 5 im Nenner oder Zähler im Kontrast zu pythagorean gerne ptolemaic genannt werden.
Oktave | Quinte
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