12.03.1429
Um 18 Uhr 37 geht hier die Sonne unter, und es endet der Geburts­tag des Pro­pheten. Wenn er wirklich am 12. Rabi-I des Jahres 54 vor der isla­mischen Zeit­rechnung, also am 3. Mai 570 geboren wurde, dann ist es sein 1482. Geburts­tag. Zumin­dest in Äthio­pien, Afgha­nistan, Alge­rien, Benin, Brunei, ..., wo er heute als Feier­tag begangen wird.

Obwohl der islamische Kalender seit über 1000 Jahren sehr präzise mit dem Mond läuft, kommt es dennoch immer wieder zu Uneinig­keiten. Sie beruhen auf der unter­schied­lichen Mond­sichtung an verschie­denen Orten, den mehr oder minder radi­kalen Anschau­ungen und unein­heitlichen Vorgaben, wo eine astro­nomische Berech­nung vorge­sehen ist.

So feierte man den Geburtstag in Bahrain, Irak, Jemen, Kuwait, ... bereits gestern, am 19. März. Auf den Fidschi-Inseln und Indo­nesien hat er vor wenigen Stunden begonnen. Dort wird dieses Jahr am 21. März gefeiert, was noch halb­wegs verständ­lich ist, da eine Sichtung der ersten Mond­sichel im Osten erst deutlich später als im Westen möglich ist. Unklar aber bleibt mir, warum der Prophet in Ägypten, Jorda­nien, Libyen, Sudan und Palästina erst am 22. März Geburts­tag hat.

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319
Fast alle Zahlen lassen sich als Summe von 16 oder weniger Biqua­draten darstellen. Nur endlich viele benötigen mehr Sum­manden, sieben davon die Höchst­zahl von 19. Die Zahl 319 ist eine von ihnen, und zwar die kleinste, die auf zwei­fache Art zerlegt werden kann.
319 = 256+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
319 = 81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
Wenn man sich die Palett 1, 16, 81, 256, 625, … der vierten Potenzen ansieht, erkennt man, daß für Zahlen bis 80 die hexa­dezimale Quer­summe die Zahl der erfor­derlichen Sum­manden angibt. Das Maximum wird offen­sichtlich bei 79 (hexadezima 4F) mit der Quersumme 4+15=19 (hexadezimal 4+F=13) erreicht, alle anderen gehen mit weniger Summanden.

Enthält eine Zerlegung der Zahl n einen Sum­manden 1, kann diese 1 gegen 81 ausgetauscht werden, um eine gleich lange Zerlegung der Zahl 80+n zu erhalten. Es verwundert deshalb nicht, die Zahlen mit der maximalen Summan­denzahl in der Reihe 79, 159, 239, 319, … zu finden.
 79 =        4·16 + 15·1
159 =   81 + 4·16 + 14·1
239 = 2·81 + 4·16 + 13·1
319 = 3·81 + 4·16 + 12·1
399 = 4·81 + 4·16 + 11·1
479 = 5·81 + 4·16 + 10·1
559 = 6·81 + 4·16 +  9·1
Mit 256 kommt ein viertes Biquadrat ins Spiel, das ab 319 eine zweite Zerle­gung gestattet:
319 = 256 +        3·16 + 15·1
399 = 256 +   81 + 3·16 + 14·1
479 = 256 + 2·81 + 3·16 + 13·1
559 = 256 + 3·81 + 3·16 + 12·1
Wieder erkennt man in dieser Viererreihe den Austausch einer 1 gegen eine 81. Vergleicht man dagegen die jeweils zwei Zerle­gungen der Zahlen 319, 399, 479 und 559, sieht man einen Austausch von 256+1+1+1 gegen 81+81+81+16. Bei 559 kann man das auch zweimal machen, womit sich eine dritte Zerle­gung ergibt:
559 = 2·256 + 2·16 + 15·1
Leicht überlegt man sich, daß es keine weiteren und vor allem keine kürzeren Darstel­lungen der sieben Zahlen 79, 159, 239, 319, 399, 479 und 559 gibt und daß alle Zahlen unterhalb des nächsten Biquadrates 625 kürzere Zerle­gungen haben, insbesondere das nächste Glied 559+80=639 der Reihe sich einfach als 625+14·1 schreiben läßt. Man kann die Über­prüfung auch sehr großer Zahlen natürlich einem Computer überlassen, doch am Nachweis, daß es auch in weiter Ferne keine Zahl mit 19 erforder­lichen Sum­manden gibt, beißen sich die heutigen Rechner noch die Zähne aus, weil sie wie die Praktiker gut arbeiten, doch leider noch nicht wie die Theo­retiker gut denken können.

[1] A046050

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318
Gestern (3/17) erwähnte ich See­schlachten, die im Abstand von 317 Jahren auftreten sollen, heute (3/18) finde ich in der Frank­furter Rund­schau einen großen Bericht über den Kampf zweier Schiffe, Kormoran und Sydney. Letzteres sank mit Mann und Maus, nachdem es ersteres versenkt hatte, von dessen Besat­zung genau 318 überlebten. Kann das alles noch ein Zufall sein?

Gewiß nicht zufällig ist von der 318 im 1. Buch Mose, Kapitel 14, Vers 14 die Rede: "Als nun Abram hörte, daß sein Bruder gefangen war, wappnete er seine Knechte, drei­hundert­undacht­zehn, in seinem Hause geboren, und jagte ihnen nach bis gen Dan ..."

Es wird wohl kaum die genaue Anzahl gemeint sein. Und da auch keine runde Zahl wie 300 genannt wird, ist in der Zahl 318 eine beson­dere Bedeu­tung zu vermuten. Die 318 Tage des Jahres, an denen der Mond zu sehen sein soll, werden es wohl nicht sein. Dagegen leuchtet es mir durchaus ein, wenn 318 nicht nur für alle Knechte, sondern auch für den einen Knecht Elieser von Damas­kus steht:
318 = 1 + 30 + 10 + 70 + 7 + 200
    = Aleph + Lamed + Jod + Ajin + Sajin + Resch
    = 'lj'sr = Elieser
Für diese Interpretation spricht auch der Barnabas­brief. Dort wird die Zahl 318 unge­wöhnlich detail­liert erklärt und neu gedeutet:

"Verstehet also, Kinder der Liebe, in allem reichlich, daß Abraham, welcher im Geiste voraus­schauend auf Jesus zuerst die Beschnei­dung einführte, sie vollzog, nachdem er die Lehre von drei Buch­staben erhalten hatte. Er sagt nämlich: Und Abraham beschnitt aus seinem Hause achtzehn und drei­hundert Männer. Wel­ches ist nun die ihm verlie­hene Erkenntnis? Wisset, daß er zuerst die Achtzehn nennt, dann erst nach einem Zwischen­raum die Drei­hundert. Acht­zehn sind gleich Jota, zehn, und Eta, acht; damit hast du Jesus. Weil aber das Kreuz im Tau die Gnade sinn­bilden sollte, nennt er auch die Drei­hundert. Er offen­bart nun in den zwei Buch­staben Jesus, in dem einen das Kreuz."

Es bereitet dem Schreiber keine Probleme, einfach anzunehmen, daß es bei der Massen­beschnei­dung in Kapitel 17, Vers 23 des 1. Buches Mose ebenfalls 318 gewesen sind, obgleich dort auch die zugekauften Knechte, Abra­ham selbst und sein Sohn Ismael unters Messer kamen. Solche Kleinig­keiten scheinen nicht wichtig zu sein. Auch nicht, ob am Konzil von Nicäa wirklich genau 318 Bischöfe teilnahmen. In jedem Falle stehen seit fast 2000 Jahren die (griechischen) Buch­staben TIH und die Zahl 318 für den gekreu­zigten (T) Jesus (IHSOYS).

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317
Schneide ich von der Primzahl 317 links Ziffern ab, so entstehen die Prim­zahlen 17 und 7. Mache ich es von rechts, komme ich auf 31 und 3. Damit ist 317 eine auf beiden Seiten abschneid­bare Primzahl. Das erwähnte ich bereits im Zusam­menhang mit 739397, der größten unter ihnen.

Natürlich lassen sich ein paar mathe­matische Besonder­heiten zu 317 finden. So kann die Nähe zu 100π ausgenutzt werden: Das Quadrat von 317 ist die kleinste Quadrat­zahl oberhalb von 100.000, und ein Kreis mit dem Radius 10 enthält 317 Gitter­punkte. Bemerkens­werter ist schon, daß die Zahl aus 317 Einsen eine Primzahl ist. Nicht nur zur Basis 10, sondern auch zur Basis 12. Auch das um eins vermin­derte Produkt
( 2 · 3 · 5 · 7 · ... · 313 · 317 ) - 1
aller Primzahlen bis 317 ist wieder eine Primzahl. Doch nützt das alles nichts. Die Zahl 317 bleibt recht gewöhnlich, denn alles trifft auch auf kleinere Zahlen zu, wenn es auch nicht viele sind.

Bei Google tummeln sich nicht nur deshalb vorne ganz andere Treffer. Neben belang­losen Listen, solche zur Literatur oder irgend­welchen Spinnereien. So ist in einem Buch viele Seiten die Rede von einem franzö­sischen Schrift­steller Jacques Roubaud, der gerne 317 schrieb und einen Hund mit 317 Meter pro Sekunde in einen Fluß fallen läßt, offen­sichtlich ohne zu erklären, was er sich wohl dabei gedacht hat. An anderer Stelle wird der Russe Welimir Chleb­nikow erwählt, der zwischen wichtigen See­schlachten einen Abstand von 317 Jahren bzw. Viel­fachen davon festgestellt haben will und darin einen höheren Plan sieht.

Zumeist muß man aufgeben und akzep­tieren, daß hinter allem wohl kein Gedanke von Bedeu­tung steckt, allen­falls ein privater Bezug. Doch mit etwas Glück habe ich zur 317 eine gute Erklärung gefunden: Zehn hoch zehn Sekunden dauern fast genau 317 Jahre. Und schlägt ein Hund mit 317 Metern pro Sekunde auf, dann fliegt er mit 10 Millionen Kilo­metern im Jahr. Das entspricht einer Fallhöhe von minde­stens 5 Kilometern.

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315
Da Herr Mark [1] gestern bereits auf die Iden des März hingewiesen hat, will ich heute etwas zur Zahl 315 schreiben, nicht über Cäsar, der nach seinem Kalender am 28. März 2051 Jahre tot ist. Nach unserem war es vorgestern am 13. März. Über die andere Zahl 153 des heutigen Tages hatte ich mich bereits ausgelassen. Sie kommt in der Bibel vor, nicht aber 315. Und weil 3 mal 15 auch nichts herzugeben scheint, bleibt neben dem Spiel mit den günstigen Ziffern 1, 3 und 5 nur noch die Zerlegung 315=3*3*5*7 in Faktoren.

Die Zahl 315 gehört zu den dreistellige Zahlen abc, die sich als (x+a)(x+b)(x+c) schreiben lassen [2]:
120 = (4+1)(4+2)(4+0) 
210 = (5+2)(5+1)(5+0)
315 = (4+3)(4+1)(4+5)
450 = (5+4)(5+5)(5+0)
780 = (5+7)(5+8)(5+0)
840 = (6+8)(6+4)(6+0)
Sie ist die interessanteste unter ihnen, weil nur sie kein Vielfaches von 10 ist.
315 = (3+1+5)(32+12+52)

3*3*7*5 = 315
3 3 7 5 = 153
Ein magischer Würfel ist ein magisches Quadrat in drei Dimensionen. In alle drei Raumrichtungen und auch längst der Diagonalen muß sich die gleiche Summe ergeben. Angesehen vom trivialen Würfel, der nur aus der 1 besteht, ist der kleinste einer mit 5 als Kantenlänge [3], auf den sich die Zahlen von 1 bis 125 verteilen. Für ihn ist die magische Summe
M(n) = n(n3+1)/2 = 5(52+1)/2 = 315
Sonst scheint es nur noch Kleinigkeiten zu geben. So teilt nicht nur die Quer­summe 3+1+5=9, sondern auch das "Querprodukt" 3*1*5=15 die Zahl 315. Und das Quadrat 99225 von 315 ist das kleinste, das mit zwei Neunen beginnt.

[1] Mark793
[2] A055482
[3] Weisstein

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314
Herr Mark [1] hat ja bereits verraten, daß heute der große Pi-Tag ist, an dem die Zahl π Geburtstag feiert. Nach meiner Auffassung [2] ist sie nun 416 Jahre alt. Ich hatte mehrere Jahre "geblogt", bis ich das erste Bild unter meine Texte mischte. Und heute verweise ich erstmals auf ein Video. Dieses Geburts­tags­ständchen [3] für π muß einfach sein!

Natürlich gedenken wir am 14. März auch Albert Einstein und freuen uns mit den japanischen Süßwarenhändlern. Ihnen ist es gelungen, einen Monat nach dem Valentinstag einen sog. White Day unterzubringen, an dem statt Blumen Schokolade verschenkt werden muß.

Vor ein paar Jahren geisterte eine andere Ergänzung des Valentinstages durch die Blogs, für den mehrheitlich wohl der 20. dem 14. März vorgezogen wird. Bei Google liest man beides:

Der 14. März ist ab sofort offiziell "Schnitzel-und-Blowjob-Tag".
Der 20. März ist ab sofort offiziell "Schnitzel-und-Blowjob-Tag".

Doch in der 314 steckt mehr als ein Gedenktag oder 100π, man kann 314 als 3 mal 14 lesen. Und schon sind wir wieder bei der alles erklärenden Zahl 42 und der Bibel. Im 17. Vers des ersten Kapitels lesen wir bei Matthäus:

Alle Glieder von Abraham bis auf David sind vierzehn Glieder. Von David bis auf die Gefangenschaft sind vierzehn Glieder. Von der babylonischen Gefangenschaft bis auf Christus sind vierzehn Glieder.

Dreimal 14 war so wichtig, daß man auch ein wenig schummelte.

[1] Mark793
[2] *1592
[3] Geburtstagslied

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313
Der 9. Juni 1934 gilt als der Geburts­tag von Donald Duck, obgleich dies nur sein erster Auftritt in dem Film "The Wise Little Hen" war. Vielmehr soll er in einer stürmi­schen Nacht an einem Freitag, den 13. geboren sein. Wahr­scheinlich im März (3/13), was besonders viel Pech bringt (3 mal 13). Dafür spricht auch seine Auto­nummer 313. Kann es Zufall sein, wenn Donald Duck 1931 erstmal in einem Bilder­buch erwähnt wurde und der 13. März des Jahres 1931 (31-3-13) ein Freitag war? Demnach feiert Donald Duck heute seinen 77. Geburtstag.

Was gibt es sonst noch zur 313 zu sagen? In der Bibel kommt sie nicht vor. Aller­dings soll die King-James-Version 313 Ausrufe­zeichen enthalten.

Mir fiel 313 als ein Glied in der Reihe der sowohl links, als auch rechts abschneid­baren Prim­zahlen auf. Schneide ich rechts ab, ergeben sich 31 und 3, mache ich es links, sind es 13 und 3. Die größte derartige Zahl ist 739397.

Palindrome Primzahlen (palprimes) sind recht zahlreich, doch zu 313 ist auch die Binär­darstellung 100111001 palindrom und als Dezimal­zahl inter­pretiert ebenfalls prim. Mit dieser Eigen­schaft ist 313 die einzige unter den drei­stelligen Zahlen.

Man muß eben nur lange genug suchen. Dann fällt 313 auch noch als Summe der Quadrate von 12 und 13 auf. Sie ist also die 13. zentrierte Quadratzahl.

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