Zahlwort

Den 1000. Lebenstag meines Blogs habe ich leider verschlafen. Aber heute ist er 1024 Tage alt geworden, ein Kibitag also. Diese 2,4 Pro­zent mehr als ein Kilotag hat ein Infor­matiker einem normalen Menschen voraus. Nur Kauf­leute sind noch schlauer. Die vertreiben Fest­platten mit 36 Giga­byte, die es brutto knapp auf 36.000.000.000 Byte bringen. Und man kann sich nicht beschweren, denn Raider heißt jetzt Twix und 36 mal 2 hoch 30 Byte sind inzwi­schen 36 Gibi­byte, nicht Giga­byte. Damit haben die Kauf­leute Erfah­rung: Der Liter Normal­benzin kostet gerade 1,399 statt 1,40 Euro, was nur eine Täuschung um 0,6 Prozent ist. Nichts gegen eine Guinee mit 5 Prozent über dem Pfund oder gar den bald erhält­lichen Terabyte-​Platten mit satten 10 Pro­zent unter­halb des Tebi­bytes.

Daß 1024, die zehnte Potenz von zwei so knapp über 1000 liegt, ist nicht nur Grund­lage des mythi­schen Compu­ters MIX 1009 von Donald E. Knuth. Das Verhältnis 1024 zu 1000, was gekürzt 128/125 entspricht, trägt als musika­lisches Intervall den Namen kleine Diesis. Das ist die Verstim­mung von drei großen Ter­zen (5:4) gegen eine Ok­ta­ve (2:1). Ob man diesen Fünftel­ton von 41 Cent besser hört als 2,4 Prozent Rabatt in der Geld­börse spürt, hängt von der Übung ab.

Im Blog Religionsfreiheit [1] schlug mir ein allgegen­wärtiges modernes Übel entgegen, nämlich die Welt als eine Ansamm­lung von Einzel­heiten zu sehen, von denen einige auch noch Rück­sicht­nahme und beson­dere Würdi­gung verlangen. Dazu gehören viel­fältige Klein­gruppen der Gesell­schaft, Lobby­isten aller Art. Manche leiden am Rest der Welt, einige verachten ihn und halten sich für über­legen, wieder andere wollen ihn bestrafen oder zumin­dest belehren. Dazu verbiegen sie gerne die Sprache samt Inhalt und defi­nieren Norma­lität vom Rand her. Leider finden daran viele Gefallen und mißachten die fakti­schen Verhält­nisse.

In diesem Zusammenhang fiel mir Herbert Wehner ein, der auf meiner Strauß-​Wehner-​Schall­platte den Abgeord­neten der CDU erklärt: „Es gibt eine norma­tive Kraft des Fakti­schen, das haben wir alle in diesem Hause erlebt. Es gibt jedoch keine Fakten erset­zende Kraft des Phraseo­logischen.“ Und heute lese ich zu meiner Über­raschung einen Aufsatz von Wilhelm von Stern­burg in der Frank­furter Rund­schau zum 100. Ge­burts­tag Herbert Wehners. Nichts darin von der sonst so üblichen Lobhu­delei oder Verbeu­gung vor der Größe. Kaum auch Ver­ständnis, das man doch so gerne selbst Gewalt­tätern entgegen­bringt.

[1] Meine Erwähnung von Herbert Wehner im Zuge einer Gender-​Diskussion im Blog Religionsfreiheit.

Leider konnten die großen Geister der Gegenwart sich noch nicht auf eine Weltformel einigen. Drei Kandidaten möchte ich hier vorstellen. Zunächst ist da natürlich

E = m c2

Da es kein Zufall sein kann, daß die Lichtgeschwindigkeit c sich als 3 mal 10 hoch 10 Zentimeter pro Sekunde herausgestellt hat, die 81 wichtiger ist als die 9 und die Natur keine Zehnerpotenzen beachtet, schon gar keine zehnfachen, muß die Weltformel eigentlich

E2 = m2 c4  oder einfach  E2 = 81 m2

lauten. Als die Physiker die Lichtgeschwindigkeit c mit 299.792.458 Meter pro Sekunde endgültig zu einer Konstanten machten, hätten sie den Mut zur Verkürzung des Meters um

(3-2,99792458)/3 = 0,07 %

haben sollen. Gewiß wäre dann der Äquatorumfang auf

1,0007 * 40.041 km = 40.069 km

angeschwollen, doch hätte man zum Ausgleich doch einfach die Normal-Null-Ebene um 11 Kilometer absenken können.

Nicht nur aus der Physik stehen Weltformeln bereit. So bietet sich die nach Leonard Euler benannte Beziehung

eiφ = cosφ + i*sinφ  und damit  1+ei*π=0

als Weltformel an, in der die imaginäre Einheit i, die Kreiszahl π=3,14159265... und die Eulersche Zahl e=2,7182818... des natürlichen Wachstums mit den neutralen Elementen 0 und 1 der Addition und der Multiplikation verknüpft werden.

Beide Weltformeln haben einen Nachteil: Wir wissen nicht, wie aus ihnen der Rest der Welt zu erklären ist. Die in ihnen steckende Information ist noch zu entschlüsseln. Leichter ist es mit einer anderen Weltformel

π2/33 = 0,36554090374405...

die in ihrer Ziffernfolge einfach alle Dinge der Welt beschreibt. Ganz vorne findet man

365 Tage, 5 Stunden, 40 Minuten und 9,0374405... Sekunden

was ziemlich genau der Länge

365 Tage, 5 Stunden, 48 Minuten und 45,250742... Sekunden

des tropischen Jahres entspricht. Es bleibt eine Differenz von 8 Minuten und 36,21230... Sekunden, die den Rest der Welt erklärt. Zunächst stecken darin 8 Minuten und 19,00478... Sekunden, die das Licht von der Sonne zur Erde benötigt, besser für eine astronomische Einheit von 149.597.870.691 Metern. Was die restlichen 17,20752... Sekunden bedeuten, weiß noch keiner. Vielleicht stimmt dieser Wert auch nicht, denn es noch unbekannt, wie lang das tropische Jahr, die astronomische Einheit und die Lichtgeschwindigkeit nach dem göttlichen Plan wirklich sein muß.

Ein Herzensanliegen der Zahlen­mystikern ist, die heraus­ragende Bedeutung unserer üblichen dezimalen Darstel­lung der Zahlen zu belegen, denn sie ist Basis aller numero­logischer Überle­gungen und nur sie erlaubt es, Natur­konstanten als Reali­sierung von Ziffern­folgen unabhängig von der Position des Kommas zu sehen, weshalb sie eigentlich Ziffern­mystiker heißen sollten. Wie aber begründet man von den zehn Fingern abgesehen die dezimale Zahldar­stellung? Ein beliebter Weg führt über die Zahl 81 mit Kehrwert

1/81 = 0,0123456790123456790…

in dem die Folge aller Zahlen vorkommt, wenn man auch Ziffern über 9 zuläßt:

1/81 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15…

Die fehlende 8 entsteht also durch den Übertrag von der Ziffer 10. Und damit ist für Einfäl­tige schon klar, daß die zweistelligen Zahlen mt der 10 zu beginnen haben. Doch leider ist es in anderen Basen das gleiche. Zum Beispiel für die oktale Darstel­lung:

1/61 = 0,012345701234570… = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.10.11.12…

Es ist also etwas tiefer zu schürfen. Zunächst kommt nach der Basis b=10 und dem die Welt der Zahlen erklärenden Quadrat x=(b−1)²=81 das Komplement y=b²−x​=2b−1=19 zu z=b² ins Spiel. Sodann zaubert man aus der geome­trischen Reihe

z/x = z/(z-y) = 1/(1-y/z) = 1 + y/z + (y/z)² + (y/z)³ + …

so scheinbar verwunderliche Beziehungen wie

100/81 = 1 + 0,19 + 0,19² + 0,19³ + 0,19⁴ + …

Zwar geht das in anderen Basen ebenfalls, doch späte­stens mit den in der Natur vorfind­lichen 19 Rein­ele­menten unter den 81 stabilen scheint der Schöpfer durch diese Zahlen die Basis 10 im Auge gehabt zu haben. Das wird auch in

x=1+a(y+1) mit a=b/2−1, dezimal 81=1+4⋅(19+1)

deutlich. Nur für b=10 ergibt sich a=4, die Grund­lage für die Vier­teilung der x=81 stabilen Elemente in y=19 Rein­elemente, y=19 Doppel­isotope, 2y=38 Mehrfach­isotope und a+1=5 Aus­nahmen. Die a=4 normalen Ausnahmen sind die Elemente mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6 und 3, die eine Super-​Ausnahme ist das Element Kalium mit der Ordnungs­zahl y=19. Es ist das einzige ungerader Ordnungs­zahl mit mehr als zwei natür­lichen Isotopen. Und nun die Über­raschung:

19 / 81 = 4,263

mit den Ausnahmen 4,2,6,3 als Ziffern. Das geht mit keiner anderen Basis als b=10. Auch abseits der chemischen Elemente, ist die Basis b=10 über die Zahlen x=81 und y=19 mit der Gliederung in a=4 Teile verbunden. Und diese Vier­teilung kommt allent­halben vor. So hätte es in anderen Basen ausgesehen:

in Dezimaldarstellung    Darstell. in Basis b
a   b    x   y   x/y     a   b   x   y   x/y 
1   4    9   7  1,285    1  10  21  13  1,102
2   6   25  11  2,272    2  10  41  15  2,134
3   8   49  15  3,266    3  10  61  17  3,210
4  10   81  19  4,263    4  10  81  19  4,263
5  12  121  23  5,260    5  10  A1  1B  5,316
6  14  169  27  6,259    6  10  C1  1D  6,38B
7  16  225  31  7,258    7  10  E1  1F  7,421
8  18  289  35  8,257    8  10  G1  1H  8,4B5
9  20  361  39  9,256    9  10  I1  1J  9,52B

Gewiß hätte man auch etwas anderes entdecken können. Ganz allge­mein sind die Zweier­potenzen b=2ⁿ besonders schöne Fälle, denn wegen

q = x / y = ( 2b − 3 + 1/2b + (1/2b)² + (1/2b)³ + … ) / 4

weist q eine periodische Ziffern­folge aus Zweier­potenzen auf. Für n=3, also b=8 ist q=3,210210…, für n=5, also b=32 ist q=F,84210G84210G , worin F für die Ziffer 15 und G für 16 steht. Die Formel macht zudem deutlich, daß unab­hängig von der Basis b im Quotien­ten q immer eine Vier­teilung steckt. Für große b ist q nur wenig größer als a+1/4. Damit kann man die Vier­teilung als bevor­zugt ansehen. Und aus a=4 ergibt sich b=10, x=81 und y=19. Die beson­dere Bedeu­tung der Basis 10, der Zahlen 4, 19 und 81, sowie der Ziffern­folge 4263 scheint damit begründet.

81 | 19 | 2732 | Isotope

In der Auffassung, die Natur rechne nicht, sie zähle nur, stecken zwei Stoßrich­tungen: Gegen die Schul­wissen­schaftler, die der Natur Formeln über­stülpen, und für die Zahl­akro­baten, die gerne die Natur abzählen sehen. Ein ähnliche Weisheit ist, die Natur kenne kein Komma, es komme also nicht auf eine Zehner­potenz an, sondern nur auf die Ziffern­folge. Prak­tischer­weise geht man dafür selten über vier Ziffern hinaus. Sehr beliebt ist 2732, was allent­halben in der Natur vorkommt. Jedem bekannt ist sicher­lich der abso­lute Null­punkt bei −273,2 Grad Celsius.

Der Kehrwert 1/0,002732=366 deutet auf den Kalender und die Astro­nomie hin. Und im side­rischen Monat von 27,32 Tagen wird man sofort fündig. Das ist die Zeit, die der Mond für eine Himmelsumrundung benötigt. Mit p=0,2732 sind dies 100p Tage für den side­rischen Monat und 100/p Tage für das Jahr, das deshalb 1/p²=13,4 side­rische Monate umfaßt. Synodische Monate von Vollmond zu Vollmond sind uns geläu­figer. Davon gibt es einen weniger im Jahr. Damit hat der syno­dische Monat eine Länge von

(100/p) / (1/p²−1) = 100p/(1−p²) = 29,5

Tagen in guter Überein­stimmung mit der Realität. Wenn Frauen sich nach dem Mond oder nach Ebbe und Flut richten, dann sind es diese 29,5 Tage des syno­dischen und nicht die 27,3 des sideri­schen Monats. Dafür sollen es aber 273 Tage von der Zeugung bis zur Geburt sein. Das sind drei Viertel­jahre zu 91 Tagen oder 13 Wochen. Das reicht also für drei Staffeln einer Fernseh­serie.

Der mittlere Erddurch­messer beträgt recht genau 12746, der mittlere Umfang damit 40043 Kilo­meter. Hätte man den Meter korrekt als den 40‑milli­on­sten Teil des Erdum­fanges defi­niert, wäre der Durch­messer 12732=10000+2732​=10000(1+p) Kilo­meter, damit

10000(1+p)π = 40000 und π = 4/(1+p) = 4/1,2732=3,14169…

So ist nicht nur der geheime Grund für das häufige Vor­kommen von 2732 in der Natur gefunden, sondern auch eine Formel zur Berech­nung des wahren Wertes von π.

Die Zahl p=0,2732 wird von Detlef Konagel [1] die Plichta-​Kon­stante genannt, weil Peter Plichta sie in der Geome­trie ent­deckte: Umschreibt man einem Kreis der Fläche 1 ein Quadrat, hat es die Fläche 4/π=1+p=1,2732. Schneidet man aus diesem Quadrat den Kreis heraus, ver­bleiben die vier Eineck genann­ten Eck­stücke übrig. Zusammen haben sie eine Fläche von p=4/π−1=0,2732.

[1] Detlef Konagel: Murmelmathe

4263 | Eineck

Heute ist der 2000. Jahrestag des 6. Juni des Jahres 6, dem Geburtstag der Zahl des Tieres. Jedenfalls mit dem gleichen Recht wie es der 14. März 1592 für die Zahl Pi ist. Natürlich gab es damals noch keinen grego­riani­schen Kalender, Nero war noch nicht geboren und die Offen­barung des Johannes ließ noch auf sich warten. Es war wie heute ein Dienstag, aber wahr­schein­lich nicht Wäld­chestag, dem 52. Tag nach Ostern. Ein Programm aus dem Internet legt Ostern im Jahre 6 zwei Wochen früher als dieses Jahr auf den 2. April, was dem 16. Nisan 3766 entspre­chen soll, also wenig­stens in die Pessach-​Zeit fällt. Und in dieser Jahres­zahl 3766 sind nicht nur wieder zwei Sechsen, sondern auch die 37 aus 18⋅37=666 enthalten.

666 | Pi | 616

Wenn Protonen und Neutronen sich auch ähnlich wie Elek­tronen staffeln, so hocken sie doch nah beiein­ander. Ohne eine angemes­sene Zahl Neutronen halten die Protonen nicht zusammen. Für die normale Welt ist vor allem von Bedeu­tung, daß beide inein­ander über­gehen können, durch Beta­zerfall oder Einfang eines Elektrons. Deshalb sind Atom­kerne schwerer zu verstehen als Elek­tronen­hüllen. Nicht so für Esote­riker, denn es kommen viele Details ins Spiel, die als Dispo­sitions­masse die Anpassung der Realität an Zahlen­spiele ermög­lichen.

Man spricht normaler­weise von 92 Elementen, von denen aller­dings nur 81 in nennens­werter Menge mit 287 Isotopen in unserer Natur vorkommen.

Isotopen-Anzahl  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 | ≥0 ≥1 ≥2 ≥3 | Iso
gerade Elemente  3  2  3  5  6  6  7 10  2  1  1 | 46 43 41 38 | 224
unger. Elemente  6 19 20  1  0  0  0  0  0  0  0 | 46 40 21  1 |  62
Elemente gesamt  9 21 23  6  6  6  7 10  2  1  1 | 92 83 62 39 | 286

Zur Freude der Esoteriker sind diese Zahlen aber diskus­sions­fähig. So gibt mein Atom­physik­buch von 1967 noch Protak­tinium als 84. natür­liches Element an. [1] Zählt man kleinste Spuren mit, so sind es wieder 92 oder mehr. Am bekann­testen ist das sehr unbestän­dige Radium, das jedoch aus den Uran­vorkommen fort­während nachge­bildet wird. Auch Trans­urane hat es schon vor der Atom­bombe gegeben. So entstand Plutonium im Naturreaktor Oklo.

Nicht so diskussionsfähig, doch durch die Forschung sinkend ist die Zahl der stabilen Isotope. Zur Zeit sind es höch­stens 228. Doch zu ihnen gehören nur 79 stabile Elemente, denn Wolfram und Wismut haben kein stabiles Isotop. Wenn man die heilige Zahl 81 anstrebt, muß man weitere Isotope als stabil ansehen. Die Wikipedia nennt 250 Isotope stabil, mein 40 Jahre altes Atom­physik­buch sogar 276. Aber für esote­rische Zwecke ist es egal. In einer sehr weiten Spanne erhält man in jedem Falle die gewünschten 81 ‚stabilen‘ Elemente. [3]

Zu diesen 81 stabilen Elementen gehören 283 natür­liche Isotope. Gegen­über den bishe­rigen 286 fehlen die zwei des Urans und das eine des Thoriums. Auf dieser Basis ergibt sich die folgende Vertei­lung der Isotopen­zahlen:

Isotopen-Anzahl   1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 | ≥1 ≥2 ≥3 | Iso
gerade Elemente   1  2  5  6  6  7 10  2  1  1 | 41 40 38 | 221
unger. Elemente  19 20  1  0  0  0  0  0  0  0 | 40 21  1 |  62
Elemente gesamt  20 22  6  6  6  7 10  2  1  1 | 81 61 39 | 283

Neben der 81 hat es auch mit den 19+1 Rein­elementen geklappt. Das sind solche stabilen Elemente, die nur ein einziges Isotop aufweisen. Nun müssen nur noch fünf Elemente gestrichen werden

Isotopen-Anzahl   1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 | ≥1 ≥2 ≥3 | Iso
gerade Elemente   0  0  5  6  6  7 10  2  1  1 | 38 38 38 | 216
unger. Elemente  19 19  0  0  0  0  0  0  0  0 | 38 19  0 |  57
Elemente gesamt  19 19  5  6  6  7 10  2  1  1 | 76 57 38 | 273

um der Vier­teilung Genüge zu tun, denn viermal 19 ist nur 76 und nicht 81. Die fünf Stören­friede sind:

 4. Element Beryllium mit Massenzahl 9
 2. Element Helium mit Massenzahlen 3 und 4
 6. Element Kohlenstoff mit Massenzahlen 12 und 13
 3. Element Lithium mit Massenzahlen 6 und 7
19. Element Kalium mit Massenzahlen 39, 40 und 41

Die drei ersten Ausnahmen sind die ersten drei geraden Elemente. Wegen der Klein­heit ihrer Kerne können sie schlecht drei oder mehr Isotope aus­bilden, wie es ihre größeren gerad­zahligen Brüder tun. Statt Lithium hätte auch Wasser­stoff getaugt, doch paßt die Ordnungs­zahl 3 besser ins Konzept als die 1.

Als letzte Ausnahme bleibt 19, die vom Kalium‑40 herrührt, einem der seltenen uu‑Kerne mit unge­rader Anzahl von Protonen und Neutronen. Man könnte diesen Stören­fried von Anfang an elimi­nieren, indem man K‑40 wegen seiner vergleichs­weise kurzen Halb­werts­zeit von einer Milli­arde Jahren einfach als unnatür­lich ansähe. Doch ein Zahlen­mysti­ker [4] kann nicht der Ord­nungs­zahl 19 des Kaliums wider­stehen und sieht in dieser Ausnahme einen Beleg für die Richtig­keit der Auftei­lung in Gruppen zu 19 Ele­menten.

[1] Wolfgang Finkelnburg: Einführung in die Atomphysik. Springer, Berlin, Heidel­berg, New York, 11.–12. Auf­lage, 1967. Tabelle auf den Seiten 33 bis 38. Darin nach Wismut noch Uran, Thorium und Protak­tinium als natür­liche Elemente.

[2] Ich halte es für sinnvoll, Isotope mit einer Halb­werts­zeit über 10 hoch 16 Sekunden als natür­lich anzu­sehen. Das 286. und damit letzte natür­liche Isotop ist damit Uran‑235 mit einer Halb­werts­zeit von 700 Mil­lionen Jahren. Vom Anfangs­bestand ist noch etwa 1 Pro­zent da, genug um als natür­lich zu gelten. Das nächste Isotop Sama­rium‑146 benötigt nur 100 Mil­lionen Jahre zur Halbie­rung. Von 17 Bil­lionen Atomen sollte nur noch eines vor­handen sein. Von den 92 Ele­menten bis Uran sind nur 83 natür­lich, weil sie ein natür­liches Isotop haben. Es entfallen die Ele­mente 43, 61, 84–89 und 91.

[3] Ich halte es für sinnvoll, Isotope mit einer Halb­werts­zeit über 10 hoch 20 Sekunden als (quasi)stabil anzu­sehen. Nicht weil vom 276. und letzten Isotop Os‑184 mit einer Halb­werts­zeit von 50 Bil­lionen Jahren mit 99,994% deutlich mehr als vom folgenden Platin‑78 mit 650 Mil­liarden Jahren und 99,5% eben­falls fast alles noch da ist, sondern weil zwischen beiden mit dem Faktor 100 eine große Lücke klafft. In diesem Sinne sind von den 83 natür­lichen Elementen 81 (quasi)stabil. Es entfallen nur Uran und Thorium.

[4] Peter Plichta: Der Erfinder und Entdecker.

19 | 81 | Periodensystem | Elemente des Glaubens