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wuerg, 17.10.2005 22:33
Setzt man in das Eulersche Primpolynom n(n−1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:
Die im Eulerschen Primpolynom enthaltenen Rechteckzahlen n(n−1) sind gerade und lassen bei Division durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 ergeben sich tatsächlich Polynome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Primzahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] überfliegend recht verstanden habe.
[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassenzahl-Eins-Problem. 2012.
Ulam-Spirale | Eszett
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... n(n-1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 ...Das geht so weiter bis n=40 mit der Primzahl 1601, doch für n=41 kommt wegen n(n−1)+41=41⋅40+41=41⋅41 eine Quadratzahl heraus. Wie findet man solche Folgen ohne Computer und ohne viel Zahlentheorie?
Die im Eulerschen Primpolynom enthaltenen Rechteckzahlen n(n−1) sind gerade und lassen bei Division durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 ergeben sich tatsächlich Polynome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Primzahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] überfliegend recht verstanden habe.
[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassenzahl-Eins-Problem. 2012.
Ulam-Spirale | Eszett
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Ulam-Spirale
wuerg, 09.10.2005 15:57
So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale
In der Hauptdiagonalen stehen die grünen Rechteckzahlen Rₙ=n(n+1), anwechselnd vom Zentrum nach rechts oben und links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die roten Quadratzahlen an. Die geraden gehen auf der Nebendiagonalen nach links, die ungeraden um eine Position versetzt nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus. Sowohl die Rechteck- als auch die Quadratzahlen stehen an den Ecken der Spirale. [2]
Jede von einer Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also eine aufsteigende quadratische Progression. Zum Beispiel 4n²+12n+7 für die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,… Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als eine Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen, wenn auch selten so hartnäckig wie im Eulerschen Primpolynom n(n−1)+41.
[1] Ursprünglich hatte ich die die Ulam-Spirale in einer ordentlichen Tabelle dargestellt und die Primzahlen zur besseren Erkennung mit gelben Hintergrund versehen, doch zunächst fiel unter blogger.de bgcolor in Tabellenfeldern aus, später wurden Tabellen gänzlich unterdrückt. Zur Erinnerung hier eine HTML-Datei. Und wenn die den Erfordernissen moderner Browser nicht mehr genügt, ein PNG-Bild.
[2] Dieses Hin und Her macht deutlich, daß eine Spirale nicht die ideale Art und Weise ist, die Zahlen anzuordnen, um Reihungen zu erkennen.
[3] Wolfram Mathworld. Prime Spiral.
[4] T. Goddard: Ulam Spiral
41 | Primzahlkreuz
15--14--13--12
|
4---3---2 11
| | |
5 0---1 10
| |
6---7---9---9
aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Wasserstoffbombe Zeit dazu. Und vielleicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diagonalen bemerkte, die ich im nachfolgenden Diagramm blau dargestellt habe. [1]99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 64 63 62 61 60 59 58 57 56 89 65 36 35 34 33 32 31 30 55 88 66 37 16 15 14 13 12 29 54 87 67 38 17 4 3 2 11 28 53 86 68 39 18 5 0 1 10 27 52 85 69 40 19 6 7 8 9 26 51 84 70 41 20 21 22 23 24 25 50 83 71 42 43 44 45 46 47 48 49 82 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81Ulam-Spirale, ungerade Primzahlen blau, Quadratzahlen rot, Rechteckzahlen grün (htm, png)
In der Hauptdiagonalen stehen die grünen Rechteckzahlen Rₙ=n(n+1), anwechselnd vom Zentrum nach rechts oben und links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die roten Quadratzahlen an. Die geraden gehen auf der Nebendiagonalen nach links, die ungeraden um eine Position versetzt nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus. Sowohl die Rechteck- als auch die Quadratzahlen stehen an den Ecken der Spirale. [2]
Jede von einer Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also eine aufsteigende quadratische Progression. Zum Beispiel 4n²+12n+7 für die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,… Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als eine Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen, wenn auch selten so hartnäckig wie im Eulerschen Primpolynom n(n−1)+41.
[1] Ursprünglich hatte ich die die Ulam-Spirale in einer ordentlichen Tabelle dargestellt und die Primzahlen zur besseren Erkennung mit gelben Hintergrund versehen, doch zunächst fiel unter blogger.de bgcolor in Tabellenfeldern aus, später wurden Tabellen gänzlich unterdrückt. Zur Erinnerung hier eine HTML-Datei. Und wenn die den Erfordernissen moderner Browser nicht mehr genügt, ein PNG-Bild.
[2] Dieses Hin und Her macht deutlich, daß eine Spirale nicht die ideale Art und Weise ist, die Zahlen anzuordnen, um Reihungen zu erkennen.
[3] Wolfram Mathworld. Prime Spiral.
[4] T. Goddard: Ulam Spiral
41 | Primzahlkreuz
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gemeinsame Nenner
wuerg, 06.10.2005 23:43
Nachdem alle Parteien sich „gut aufgestellt“ hatten, wechselten sie von der geblähten Sprache der Ökonomie zu Versatzstücken aus der Mathematik. Sie suchten nach den „gemeinsamen Schnittmengen“, die auf einmal mächtiger waren als im Wahlkampf zugegegben, gleichwohl es zu einer regierungsfähigen Vereinigungsmenge noch nicht reicht. Den Schnittmengen folgten die „gemeinsamen Nenner“, von denen sich der kleinste gegenüber dem größten durchgesetzt hat. Nur Sigmar Gabriel sollte von Angela Merkel noch einmal gesagt bekommen, daß beispielsweise bei der Addition
CDU + SPD = 7/20 + 12/35 = 49/140 + 48/140 = 97/140
die Zahl 140 den kleinsten gemeinsamen Nenner bildet, weil 140 das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 35 ist.
Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners
CDU = {20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,240,160,280,…}
SPD = {35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385,420,…}
dann sind in der Schnittmenge
CDU ∩ SPD = {140,280,420,560,…}
genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Nenners enthalten.
CDU + SPD = 7/20 + 12/35 = 49/140 + 48/140 = 97/140
die Zahl 140 den kleinsten gemeinsamen Nenner bildet, weil 140 das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 35 ist.
Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners
CDU = {20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,240,160,280,…}
SPD = {35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385,420,…}
dann sind in der Schnittmenge
CDU ∩ SPD = {140,280,420,560,…}
genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Nenners enthalten.
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besurfed
wuerg, 03.10.2005 17:35
Wenn des öfteren im Leben aus mehreren Richtungen ähnliche Hinweise kommen, dann ist das keine den Zufall austricksende höhere Macht. Am Werke sind vielmehr unbekannte Zusammenhänge und das Bedürfnis des Menschen, durch Zusammenfassung das Gehirn zu entlasten. So wird es wohl auch mit den drei Kleinigkeiten der letzten Woche sein, die mich auf die sog. Blogroll aufmerksam machten:
1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neuberger, der die Auffassung vetrete, es gäbe nur wenige A‑List-Blogger, die vornehmlich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vegetierten. [1] Donalphons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blogrolls sind für den Erstkontakt von hoher Bedeutung, danach nicht mehr. In dieser Beziehung sind Blogs wie Poesiealben: Man registriert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihenfolge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesiealbum „In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du“ geschrieben hat?
2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehmlich über Suchanfragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadratzahl ist. Um ihnen und letztlich auch mir einen Überblick über interessantere Einlassungen zu geben, habe ich ein paar Übersichtsseiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Übersichten unter „Favorite Items“ eingetragen, wo sich jahrelang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Serverüberlastung. Bisher bin ich in meinem Blog-Layout keinen Zentimeter vom Standard abgewichen. Das geschah aus Faulheit und der Lebenserfahrung, daß verbogene Software nur schlecht zu pflegen ist.
3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchanfragen zurückgehen und auch nicht von der Blogger‑de-Startseite kommen, folge ich gelegentlich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsächlich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationendrama aufgenommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolgreichen Vitamin‑B-Prinzip und berücksichtige eine aus der menschlichen Liebe übertragene Erkenntnis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.
[1] Donalphons: Die kleine A-List-Verschwörungstheorie. 27.09.2005.
1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neuberger, der die Auffassung vetrete, es gäbe nur wenige A‑List-Blogger, die vornehmlich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vegetierten. [1] Donalphons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blogrolls sind für den Erstkontakt von hoher Bedeutung, danach nicht mehr. In dieser Beziehung sind Blogs wie Poesiealben: Man registriert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihenfolge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesiealbum „In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du“ geschrieben hat?
2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehmlich über Suchanfragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadratzahl ist. Um ihnen und letztlich auch mir einen Überblick über interessantere Einlassungen zu geben, habe ich ein paar Übersichtsseiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Übersichten unter „Favorite Items“ eingetragen, wo sich jahrelang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Serverüberlastung. Bisher bin ich in meinem Blog-Layout keinen Zentimeter vom Standard abgewichen. Das geschah aus Faulheit und der Lebenserfahrung, daß verbogene Software nur schlecht zu pflegen ist.
3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchanfragen zurückgehen und auch nicht von der Blogger‑de-Startseite kommen, folge ich gelegentlich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsächlich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationendrama aufgenommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolgreichen Vitamin‑B-Prinzip und berücksichtige eine aus der menschlichen Liebe übertragene Erkenntnis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.
[1] Donalphons: Die kleine A-List-Verschwörungstheorie. 27.09.2005.
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Treueherzen
wuerg, 01.10.2005 16:42
Heute ist der letzte Tag, um meine 40 Treueherzen bei Tengelmann einzulösen. Dafür bekomme ich eine Müslischale oder unter Zuzahlung von 9,99 Euro ein fünfteiliges Gedeck. Stünde mir der Sinn nach mehr Geschirr, könnte ich zusätzlich eine Müslischale für 9,99 Euro und ein Gedeck für 39,99 Euro erwerben. Was soll ich tun? Das ist die einfachere von zwei Fragen. Da mir ein einzelnes Gedeck keine 9,99 wert ist und zwei nicht 49,98 Euro, ist die Entscheidung klar: Ich werde heute die Müslischale abholen. Eigentlich wollte ich das schon gestern tun, doch gab es natürlich keine mehr.
Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beantwortet werden. Wie kalkuliert Tengelmann den Wert der Herzen, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigentlich? In meiner Kindheit gab es einfach 3 Prozent. Ein Rabattmarkenbuch zu 50 DM erbrachte eins-fuffzig. Heutzutage geht es nicht mehr ohne Verwirrung: Es gibt nur für vollständige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt verrechenbares Geld zurück, sondern irgendwelche überbewerteten Sachen. Der Wert ist unklar, überzählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzahlung ein Schnäppchen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.
Nun aber zurück zu einer hypothetischen Kalkulation im Falle der Tengelmann-Treueherzen, die heute noch eingelöst werden können. Es gibt:
1. eine Müslischale zu 9,99 Euro
2. eine Müslischale für 40 Herzen
3. ein Gedeck für 39,99 Euro
4. ein Gedeck für 40 Herzen und 9,99 Euro
5. ein Gedeck für 120 Herzen
Zunächst dachte ich daran, die späteren Herzen könnten mehr wert sein als die ersten, damit die Leute viel Umsatz machen nach dem Motto: Nimm drei, zahl zwei. Doch so scheint es nicht zu sein. Die Müslischale bekommt man für 40 Herzen oder 9,99 Euro, beim Gedeck benötigt man aber 80 Herzen zur Vermeidung von 9,99 Euro Zuzahlung.
Aus den fünf genannten Fakten leite ich drei Gleichungen ab, in die ich drei Unbekannte einfließen lassen kann, die wahren Werte t des Treueherzens, m der Müslischale und g des Gedecks.
aus 2. ergibt sich: m = 40t
aus 4. ergibt sich: g = 40t + 10
aus 5. ergibt sich: g = 120t
Zur Vereinfachung habe ich mir erlaubt, die optische Täuschung rückgängig zu machen und alle Preise um einen Cent erhöht, um das zu können, was Geschäfte vermeiden wollen, nämlich im Kopf zu rechnen. Es wären zwei Gleichungen (zu 1. und 3.) mehr möglich, doch geht es ja darum zu überprüfen, inwieweit m=10 und g=40 realistisch sind. Das Ergebnis lautet wenig überraschend g=15, m=5 und t=1/8. Das Geschirr ist nach dieser Rechnung also höchstens die Hälfte wert. Ein Treueherz von 1/8 Euro oder 12,5 Cent auf 5 Euro ergibt einen bescheidenen Rabatt von 2,5 Prozent.
In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kaufpreises wert sind, weil man sie benötigt oder teurer weiterverkaufen kann. Vollkauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbedingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treueherzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr verzichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.
Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beantwortet werden. Wie kalkuliert Tengelmann den Wert der Herzen, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigentlich? In meiner Kindheit gab es einfach 3 Prozent. Ein Rabattmarkenbuch zu 50 DM erbrachte eins-fuffzig. Heutzutage geht es nicht mehr ohne Verwirrung: Es gibt nur für vollständige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt verrechenbares Geld zurück, sondern irgendwelche überbewerteten Sachen. Der Wert ist unklar, überzählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzahlung ein Schnäppchen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.
Nun aber zurück zu einer hypothetischen Kalkulation im Falle der Tengelmann-Treueherzen, die heute noch eingelöst werden können. Es gibt:
1. eine Müslischale zu 9,99 Euro
2. eine Müslischale für 40 Herzen
3. ein Gedeck für 39,99 Euro
4. ein Gedeck für 40 Herzen und 9,99 Euro
5. ein Gedeck für 120 Herzen
Zunächst dachte ich daran, die späteren Herzen könnten mehr wert sein als die ersten, damit die Leute viel Umsatz machen nach dem Motto: Nimm drei, zahl zwei. Doch so scheint es nicht zu sein. Die Müslischale bekommt man für 40 Herzen oder 9,99 Euro, beim Gedeck benötigt man aber 80 Herzen zur Vermeidung von 9,99 Euro Zuzahlung.
Aus den fünf genannten Fakten leite ich drei Gleichungen ab, in die ich drei Unbekannte einfließen lassen kann, die wahren Werte t des Treueherzens, m der Müslischale und g des Gedecks.
aus 2. ergibt sich: m = 40t
aus 4. ergibt sich: g = 40t + 10
aus 5. ergibt sich: g = 120t
Zur Vereinfachung habe ich mir erlaubt, die optische Täuschung rückgängig zu machen und alle Preise um einen Cent erhöht, um das zu können, was Geschäfte vermeiden wollen, nämlich im Kopf zu rechnen. Es wären zwei Gleichungen (zu 1. und 3.) mehr möglich, doch geht es ja darum zu überprüfen, inwieweit m=10 und g=40 realistisch sind. Das Ergebnis lautet wenig überraschend g=15, m=5 und t=1/8. Das Geschirr ist nach dieser Rechnung also höchstens die Hälfte wert. Ein Treueherz von 1/8 Euro oder 12,5 Cent auf 5 Euro ergibt einen bescheidenen Rabatt von 2,5 Prozent.
In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kaufpreises wert sind, weil man sie benötigt oder teurer weiterverkaufen kann. Vollkauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbedingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treueherzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr verzichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.
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Fortpflanzung
wuerg, 29.09.2005 19:38
Vor allem den kleinen Zahlen werden gerne menschliche Eigenschaften zugeordnet. So gelten die geraden als weiblich, die ungeraden als männlich. Und wie Menschen sich mehr oder minder stark fortpflanzen, so ist es mit den Zahlen. Die Ziffer 5 pflanzt sich zu 50% fort, weil jedes zweite Vielfache einer auf 5 endenden Zahl wieder eine 5 am Schluß aufweist, sozusagen jeder zweite Vermehrungsversuch gelingt. Besser ist nur noch die triviale 0, die stets erhalten bleibt. Mit 20% mäßig setzen sich die geraden Ziffern 2, 4, 6 und 8 durch. Ganz schlecht sind die verbleibenden vier Ziffern 1, 3, 7 und 9, die es nur auf 10% bringen. Im zweistelligen Bereich haben 25 und 75 eine Rate von 25%, denn
5⋅25=125 9⋅25=225 13⋅25=325 17⋅25=425 …
5⋅75=375 9⋅75=675 13⋅75=975 17⋅75=1275 …
Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die triviale Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, … und 4% für 04, 08, 12, 16, 24, … sowie 2% für 02, 06, 14, 18, 22, … und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen.
Dieser Wiederholung und der damit verbundenen Vierteilung ist die Beliebtheit der auf 25 und 75 endenden Jubiläumszahlen geschuldet [1]. Dennoch sollte man daraus nicht vorschnell eine eigenständige Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, denn ohne unsere weltweite Basis 10 wäre sie nicht gegeben. In anderen Basen b pflanzen sich andere Zahlen gut fort. Man überlegt sich leicht, daß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)
die n-stellige Fortpflanzungsrate einer n‑stelligen Endung mit Zahlwert a von 0 bis bⁿ−1 ist. [2]. Darin steht ggT für den größten gemeinsamen Teiler und kgV für das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den zweiten Paradefall a=75, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(75,100)=25 und kgV(75,100)=300, also r(10,2,75)=25/100=75/300=25%.
Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18 und kgV=(126,3600)=25200, also r=18/3600=126/25200=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100‑prozentige Fortpflanzung muß a=0 sein. Sie ist damit die einzige, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht?
Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 mod bⁿ mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=bⁿ/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die einstellige 5 zu unserer Basis 10 ist also einfach nur 10/2. Zu den Basen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … pflanzen sich 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, … zu 50% zweistellig fort. Zur eigenen Basis b geschrieben sehen sie mit 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … schon ebenmäßiger aus.
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%), die nur für durch 3 teilbare Basen b möglich ist. In dem Falle gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=bⁿ/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Nur durch p teilbare Basen b gestatten eine Rate 1/p zu den Endungen k⋅(bⁿ/p) für k=1,2,…,p−1. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen in ihrer Basis b selbst, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Das liegt einfach daran, daß n‑stellige Fortpflanzung zur Basis b eigentlich nur eine einstellige zur Basis bⁿ ist. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=bⁿ/4 und das Dreifache davon. Zur Basis 10 sind es 100/4=25 und das Dreifache 75 davon. Hexadezimal 100/4=40 und 3⋅40=C0 (Dezimal 256/4=64 und 3⋅64=192).
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen zweistelligen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x² und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, die übrigen 1, 4, 9, 16, 36, 49, … aber nicht mit 1%, 4%, 9%, 16%, 49%, …? Das ist natürlich nur ein Spaß, auch wären ab Basis 22 die 100% übertroffen. Warum erwähne ich das? Weil 25pro100 für die Endung 25 eigentlich auch keine Besonderheit ist, denn in der eigenen Basis ist es für alle das gleiche: Zum Beispiel zur Basis b=6: Es ist b²=100 (dezimal 36), damit a=100/4=13 (dezimal 36/4=9) mit einer Rate von 13pro100 (dezimal 9pro36). Um das einfache Schema zu sehen, hier eine Übersicht zu weiteren Basen:
[1] 12.07.2024: Das stieß mir auf, als man den Westfälischen Frieden von 1648 nach sage und schreibe 375 Jahren groß rausbrachte. An einen ähnlichen Hype 1998 oder gar 2008 kann ich mich nicht erinnern, obwohl 360 ja auch eine schöne Zahl ist, zumindest für Babylonier. Das mag auch an der seinerzeit nicht im Vordergrund stehenden Instrumentalisierung als Migrationsgipfel gelegen haben.
[2] Offensichtlich ist r(b,n,a)=r(bⁿ,1,a). Auf diese Reduktion habe ich aber verzichtet, um das Verständnis nicht zu überfordern. Wer möchte schon 4711 als zweistellige Zahl mit den Ziffern 47 und 11 zur Basis 100 sehen?
5⋅25=125 9⋅25=225 13⋅25=325 17⋅25=425 …
5⋅75=375 9⋅75=675 13⋅75=975 17⋅75=1275 …
Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die triviale Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, … und 4% für 04, 08, 12, 16, 24, … sowie 2% für 02, 06, 14, 18, 22, … und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen.
Dieser Wiederholung und der damit verbundenen Vierteilung ist die Beliebtheit der auf 25 und 75 endenden Jubiläumszahlen geschuldet [1]. Dennoch sollte man daraus nicht vorschnell eine eigenständige Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, denn ohne unsere weltweite Basis 10 wäre sie nicht gegeben. In anderen Basen b pflanzen sich andere Zahlen gut fort. Man überlegt sich leicht, daß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)
die n-stellige Fortpflanzungsrate einer n‑stelligen Endung mit Zahlwert a von 0 bis bⁿ−1 ist. [2]. Darin steht ggT für den größten gemeinsamen Teiler und kgV für das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den zweiten Paradefall a=75, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(75,100)=25 und kgV(75,100)=300, also r(10,2,75)=25/100=75/300=25%.
Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18 und kgV=(126,3600)=25200, also r=18/3600=126/25200=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
2a = 00:04:12 3a = 00:06:18 ... 10a = 00:21:00 11a = 00:23:06 12a = 00:25:12 13a = 00:27:18 ... 20a = 00:42:00 21a = 00:44:06 22a = 00:46:12 23a = 00:48:18 ... 30a = 01:03:00 31a = 01:05:06 .............. 92a = 03:03:12 93a = 03:05:18 ... 100a = 03:30:00 101a = 03:32:06 .............. 192a = 06:33:12 193a = 06:35:18 ... 200a = 07:00:00 201a = 07:02:06Nach 200 Schritten endet 201a wieder mit 02:06. Vorher ist das nicht der Fall, denn hinter den Punkten verstecken sich keine Treffer.
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100‑prozentige Fortpflanzung muß a=0 sein. Sie ist damit die einzige, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht?
Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 mod bⁿ mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=bⁿ/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die einstellige 5 zu unserer Basis 10 ist also einfach nur 10/2. Zu den Basen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … pflanzen sich 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, … zu 50% zweistellig fort. Zur eigenen Basis b geschrieben sehen sie mit 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … schon ebenmäßiger aus.
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%), die nur für durch 3 teilbare Basen b möglich ist. In dem Falle gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=bⁿ/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Nur durch p teilbare Basen b gestatten eine Rate 1/p zu den Endungen k⋅(bⁿ/p) für k=1,2,…,p−1. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen in ihrer Basis b selbst, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
01:00:00/2=30:00 mit Rate 1/2 (3⋅30:00=01:30:00, 5⋅30:00=02:30:00) 01:00:00/3=20:00 mit Rate 1/3 (4⋅20:00=01:20:00, 7⋅20:00=02:20:00) 2⋅20:00=40:00 mit Rate 1/3 (4⋅40:00=02:40:00, 7⋅40:00=04:40:00) 01:00:00/5=12:00 mit Rate 1/5 (6⋅12:00=01:12:00,11⋅12:00=02:12:00) 2⋅12:00=24:00 mit Rate 1/5 (6⋅24:00=02:24:00,11⋅24:00=04:24:00) 3⋅12:00=36:00 mit Rate 1/5 (6⋅36:00=03:36:00,11⋅36:00=06:36:00) 4⋅12:00=48:00 mit Rate 1/5 (6⋅48:00=04:48:00,11⋅48:00=08:48:00)Die mehrstelligen Fortpflanzungen mit Raten 1/p sind also nichts anderes als mit Nullen aufgeblähte einstellige. Interessant sind dagegen Zahlen a mit nicht-trivialer Fortpflanzung hoher Rate. Die sind zunächst bei 25% zu suchen. Dafür muß 4a=0 mod bⁿ sein, nicht aber schon 2a=0 mod bⁿ. Für eine einstellige Fortpflanzung muß die Basis b durch 4 teilbar sein. Und dann sind a=b/4 und das Dreifache davon die einzigen Zahlen mit 25‑prozentiger Fortpflanzung. Zur Basis 10 gibt es sie deshalb nicht, wohl aber wieder zur Basis 60, nämlich 15 und 45. Hexadezimal sind es 4 und C.
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Das liegt einfach daran, daß n‑stellige Fortpflanzung zur Basis b eigentlich nur eine einstellige zur Basis bⁿ ist. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=bⁿ/4 und das Dreifache davon. Zur Basis 10 sind es 100/4=25 und das Dreifache 75 davon. Hexadezimal 100/4=40 und 3⋅40=C0 (Dezimal 256/4=64 und 3⋅64=192).
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen zweistelligen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x² und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, die übrigen 1, 4, 9, 16, 36, 49, … aber nicht mit 1%, 4%, 9%, 16%, 49%, …? Das ist natürlich nur ein Spaß, auch wären ab Basis 22 die 100% übertroffen. Warum erwähne ich das? Weil 25pro100 für die Endung 25 eigentlich auch keine Besonderheit ist, denn in der eigenen Basis ist es für alle das gleiche: Zum Beispiel zur Basis b=6: Es ist b²=100 (dezimal 36), damit a=100/4=13 (dezimal 36/4=9) mit einer Rate von 13pro100 (dezimal 9pro36). Um das einfache Schema zu sehen, hier eine Übersicht zu weiteren Basen:
Basis Zahlen mit Rate 25% b dezimal Basis b 2 1 3 01 11 (1=3⋅0+1) 4 4 12 10 30 (3=3⋅1) 6 9 27 13 43 (4=3⋅1+1, 3=6/2) 8 16 48 20 60 (6=3⋅2) 10 25 75 25 75 (7=3⋅2+1, 5=10/2) 12 36 108 30 90 (9=3⋅3) 14 49 147 37 A7 (A=3⋅3+1, 7=14/2) 16 64 192 40 C0 (C=3⋅4) 18 81 243 49 D9 (D=3⋅4+1, 9=18/2)Für die doppeltgeraden Basen b=4,8,12,16,… ist die Einerstelle der Zahlen mit einer Rate von 25% stets 0 und die ‚Zehnerstelle‘ b/4. Das Produkt aus beiden ist also 0. Warum erwähne ich diese Trivialität? Weil es für die einfachgeraden n=2,6,10,14;… schöner ist: Die Einerstelle ist b/2, die ‚Zehnerstelle‘ (b−2)/4, das Produkt beider also b⋅(b−2)/8. Und wann ist das gleich der Basis b? Man wird es vermuten: Nur für b=10 mit 2⋅5=10. Es ist also doch noch eine Besonderheit unserer Basis gefunden.
[1] 12.07.2024: Das stieß mir auf, als man den Westfälischen Frieden von 1648 nach sage und schreibe 375 Jahren groß rausbrachte. An einen ähnlichen Hype 1998 oder gar 2008 kann ich mich nicht erinnern, obwohl 360 ja auch eine schöne Zahl ist, zumindest für Babylonier. Das mag auch an der seinerzeit nicht im Vordergrund stehenden Instrumentalisierung als Migrationsgipfel gelegen haben.
[2] Offensichtlich ist r(b,n,a)=r(bⁿ,1,a). Auf diese Reduktion habe ich aber verzichtet, um das Verständnis nicht zu überfordern. Wer möchte schon 4711 als zweistellige Zahl mit den Ziffern 47 und 11 zur Basis 100 sehen?
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24
wuerg, 27.09.2005 17:53
Zunächst ist 24=1⋅2⋅3⋅4=4! die vierte Fakultät. Wärend 3!=6 nur eine vollkommende Zahl ist, sind alle größeren Fakultäten Teilerprotze. So auch 24 mit der Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Zudem ist 24 die kleinste Zahl mit acht Teilern und die größte, die durch alle Zahlen bis zu ihrer Wurzel teilbar ist, hier 1, 2, 3 und 4. Es ist leicht, noch belanglosere Besonderheiten zu finden. Ein Beispiel: 24 ist die größte Fakultät ohne 0 am Ende.
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt um die Ecken herum noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d−1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d−1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d−1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht. [1]
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Vielleicht verstehe ich eines Tages einen Zusammenhang mit der Stringtheorie in 24+2 Dimensionen oder dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und zugleich als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, wozu die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70⋅70 addieren.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24‑Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, 1/24 ist ein Karat, 24!≈6⋅10²³ trifft ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, gerne wird behauptet, es gäbe nicht nur Dur und moll, sondern 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
[1] Daß eine 25. Kugel gleicher Größe nicht dranpaßt wurde erst 2008 bewiesen. Und Vorsicht: Für d>4 versagt die Methode. Die zu großen 2ᵈ Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser 1 verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Ihr Abstand ist dann mit 2/√d<2 immer noch zu gering. Tatsächlich weiß man nicht, ob für d=5 wirklich 10+32=42 möglich sind.
23 | 25 | 196560
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt um die Ecken herum noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d−1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d−1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d−1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht. [1]
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Vielleicht verstehe ich eines Tages einen Zusammenhang mit der Stringtheorie in 24+2 Dimensionen oder dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und zugleich als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, wozu die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70⋅70 addieren.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24‑Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
1 1 3 2 (3+2−1⋅1)! 9 4 8 7 (4+8)(9-7) 6 7 2 3 6⋅7/2+3 1 8 5 7 8⋅(7−5+1) 3 2 9 2 (9−3)(2+2) 1 1 7 8 17+8−1 5 9 1 6 1⋅6⋅(9−5) 7 4 7 6 4⋅6⋅7/7 5 4 6 8 8⋅(4+5−6) 3 6 9 3 3⋅9−6+3 2 1 9 8 8⋅9/(1+2) 3 8 7 4 (4⋅7−3⋅8)!Dreimal habe ich nichts gefunden und mußte zur Fakultät (!) bzw. Ziffernzusammensetzung (17) greifen. Ein interessanter Fall ist (1,3,4,6) mit 24=6/(1−3/4).
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Dritte Neuneckzahl 24=E3=1+8+15=D3+3R2 (png)Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, 1/24 ist ein Karat, 24!≈6⋅10²³ trifft ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, gerne wird behauptet, es gäbe nicht nur Dur und moll, sondern 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
[1] Daß eine 25. Kugel gleicher Größe nicht dranpaßt wurde erst 2008 bewiesen. Und Vorsicht: Für d>4 versagt die Methode. Die zu großen 2ᵈ Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser 1 verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Ihr Abstand ist dann mit 2/√d<2 immer noch zu gering. Tatsächlich weiß man nicht, ob für d=5 wirklich 10+32=42 möglich sind.
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