41
Setzt man in die Eulersche Formel n(n+1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:
n:          0  1  2  3  4  5  6  7   8   9  10  11  12  13  14  15
n(n+1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281
Das geht so weiter bis n=39, denn für n=40 kommt wegen n(n+1)+41=40*41+41=41*41 eine Quadratzahl raus. Wie findet man solche Zahlen wie 41 ohne Computer?

Die Rechteckzahlen R(n)=n(n+1) sind allesamt gerade und lassen bei Division durch eine ungerade Primzahl p nur (p+1)/2 verschiedene Reste. Für p=3 sind die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen, alle anderen n(n+1)+a aber regelmäßig. Für p=5 sind es die Reste 0, 1 und 2, was auf die Folgen n(n+1)+30k+11 und n(n+1)+30k+17 führt, deren Glieder weder durch 2, noch durch 3 oder 5 teilbar sind. Die gleiche Argumentation für p=7 mit Resten 0, 2, 5 und 6 führt auf die Folgen n(n+1)+210k+a für a=11,41,101,17,137,167, deren Glieder nicht durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind.

Diese Argumentation könnte für p=11 fortgesetzt werden, um alle 30 Zahlen a zu bestimmen, für die alle Folgen n(n+1)+2310k+a nur aus Zahlen bestehen, die nicht durch 2, 3, 5, 7 oder 11 teilbar sind. Wenn man sich aber nur für a unterhalb von 210 interessiert, ist es besser, die sechs Kandidaten a=11,41,101,17,137,167 zu überprüfen. Den Test mit p=11 bestehen nur a=17 und a=41. Und tatsächlich beginnt n(n+1)+17 mit 16 und n(n+1)+41 mit 40 Primzahlen.

Ulam-Spirale

... link (2 Kommentare)   ... comment



Ulam-Spirale
So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale
15--14--13--12
             |
 4---3---2  11
 |       |   |
 5   0---1  10
 |           |
 6---7---9---9
aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Atombombe Zeit dazu. Und vielleicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diagonalen bemerkte. Man kann sie schon unter den ersten 100 Zahlen deutlich erkennen. Hier sind sie durch einen gelben Hintergrund hervorgehoben.

[Die Primzahlen hätten einen gelben und die zusammengesetzen Zahlen ein grauen Hintergrund, wenn hier bgcolor gehen würde. So mußte ich die Primzahlen zusätzlich blau machen.]

99 98 97 96 95 94 93 92 91 90
64 63 62 61 60 59 58 57 56 89
65 36 35 34 33 32 31 30 55 88
66 37 16 15 14 13 12 29 54 87
67 38 17 4 3 2 11 28 53 86
68 39 18 5 0 1 10 27 52 85
69 40 19 6 7 8 9 26 51 84
70 41 20 21 22 23 24 25 50 83
71 42 43 44 45 46 47 48 49 82
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind grün geschrieben. Es sind die Recheckzahlen R(n)=n(n+1), das Doppelte der Dreieckszahlen. Die mit geradem n gehen vom Zentrum nach rechts oben, die mit ungeradem n nach links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die rot geschriebenen Quadratzahlen an. Die geraden gehen nach links oben von der 0 aus, die ungeraden nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus, aber auch durch die Ecken der Spirale.

Jede von der Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus den Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also für n=0,1,2,... eine aufsteigende quadratische Progression. So ist zum Beispiel die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,... von der Form 2n(2n+6)+7. Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als ein Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen.

Goddard | Primzahlkreuz

... link (12 Kommentare)   ... comment



gemeinsame Nenner
Nachdem alle Parteien sich "gut aufgestellt" hatten, wechselten sie von der geblähten Sprache der Ökonomie zu Versatzstücken aus der Mathematik. Sie suchten nach den gemeinsamen "Schnittmengen", die auf einmal mächtiger waren als im Wahlkampf dargestellt, gleichwohl es zu einer regierungsfähigen Vereinigungsmenge noch nicht reicht. Den Schnittmengen folgten die "gemeinsamen Nenner", von denen sich der kleinste gegenüber dem größten durchgesetzt hat. Nur Sigmar Gabriel sollte von Angela Merkel noch einmal gesagt bekommen, daß beispielsweise bei der Addition
CDU + SPD = 7/20 + 12/35 = 49/140 + 48/140 = 97/140
die Zahl 140 den kleinsten gemeinsame Nenner bildet, weil 140 das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 35 ist.

Eine Beziehung zwischen der Schnittmenge und dem kleinsten gemeinsamen Nenner kann man wie folgt herstellen: Besteht die Menge jeder Partei aus den Vielfachen ihres Nenners
CDU = {20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,240,160,280,...}
SPD = {35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385,420,...}
dann sind in der
Schnittmenge von CDU und SPD = {140,280,420,560,...}
genau die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Nenners enthalten.

... link (0 Kommentare)   ... comment



besurfed
Wenn des öfteren im Leben aus mehreren Richtungen ähnliche Hinweise kommen, dann ist das keine den Zufall austricksende höhere Macht. Am Werke sind vielmehr unbekannte Zusammenhänge und das Bedürfnis des Menschen, durch Zusammenfassung das Gehirn zu entlasten. So wird es wohl auch mit den drei Kleinigkeiten der letzten Woche sein, die mich auf die sog. Blogroll aufmerksam machten:

1. Alpha-Blogger Donalphons wendet sich gegen die These eines Prof. Dr. Neuberger, der die Auffassung vetrete, es gäbe nur wenige A-List-Blogger, die vornehmlich auf sich selbst verwiesen und um die herum die übrigen Blogger vegetierten. Donalphons hält entgegen, daß nur wenige diesen Links folgen würden und auch er nur in einem Prozent aller Fälle über eine sog. Blogroll erreicht würde. Beide werden halbwegs recht haben: Blogrolls sind für den Erstkontakt von hoher Bedeutung, danach nicht mehr. In dieser Beziehung sind Blogs wie Poesiealben: Man registriert durchaus, wie voll sie sind und in welcher Reihenfolge wer darin zu finden ist. Man fragt aber später keinen: Wo wohnt denn der, wo in Dein Poesiealbum In meinem Zimmer rußt der Ofen, in meinem Herzen ruhst nur Du geschrieben hat?

2. Die wenigen Leser meiner Beiträge kommen vornehmlich über Suchanfragen bei Google. In letzter Zeit wollen sie alle wissen, was eine Quadratzahl ist. Um ihnen und letztlich auch mir einen Überblick über interessantere Einlassungen zu geben, habe ich ein paar Übersichtsseiten erstellt. Und im nächsten Schritt habe ich Links auf diese Übersichten unter Favorite Items eingetragen, wo sich jahrelang nur Werbung tummelte und in letzter Zeit ein Hinweis auf Serverüberlastung. Bisher bin ich in meinem Blog-Layout keinen Zentimeter vom Standard abgewichen. Das geschah aus Faulheit und der Lebenserfahrung, daß verbogene Software nur schlecht zu pflegen ist.

3. Den wenigen sog. Backlinks, die nicht auf Suchanfragen zurückgehen und auch nicht von der Blogger-de-Startseite kommen, folge ich gelegentlich. Zumeist sehe ich dort auf mich einen kleinen Hinweis, und sei er von mir selbst. Doch gestern fand ich keinen im Text, daß ich auch einmal links und rechts davon schaute. Und tatsächlich hatte mich Herr Kid37 in sein Stationendrama aufgenommen, nachdem ich mich schon bei Herrn Mark793 unter Goethes letzten Worten gesehen hatte. Deshalb gehe ich nun einen Schritt weiter, verweise nicht nur auf mich selbst, sondern nehme auch andere auf: Damit folge ich dem im normalen Leben so erfolgreichen Vitamin-B-Prinzip und berücksichtige eine aus der menschlichen Liebe übertragene Erkenntnis: Surfen ist nicht so wichtig wie gesurft zu werden.

Donalphons

... link (10 Kommentare)   ... comment



Treueherzen
Heute ist der letzte Tag, um meine 40 Treueherzen bei Tengelmann einzulösen. Dafür bekomme ich eine Müslischale oder unter Zuzahlung von 9,99 Euro ein fünfteiliges Gedeck. Stünde mir der Sinn nach mehr Geschirr, könnte ich zusätzlich eine Müslischale für 9,99 Euro und ein Gedeck für 39,99 Euro erwerben. Was soll ich tun? Das ist die einfachere von zwei Fragen. Da mir ein einzelnes Gedeck keine 9,99 Euro wert ist, zwei nicht 49,98 Euro und erst recht nicht zwölf 449,88 Euro, ist die Entscheidung klar: Ich werde heute die Müslischale abholen. Eigentlich wollte ich das schon gestern tun, doch gab es natürlich keine mehr.

Die zweite Frage treibt mich schon eine Weile um und muß nun endlich beantwortet werden. Wie kalkuliert Tengelmann den Wert der Punkte, um wieviel Prozent Rabatt handelt es sich da eigentlich? In meiner Kindheit gab es einfach 3 Prozent auf jede Mark. Ein Rabattmarkenbuch zu 50 DM erbrachte eins-fuffzig. Heutzutage geht es nicht mehr ohne Verwirrung: Es gibt nur für vollständige 5 Euro ein Herz und auch kein direkt verrechenbares Geld zurück, sondern irgendwelche überbewerteten Sachen. Der Wert ist unklar, überzählige Herzen verfallen, und es wird der Eindruck erweckt, man könne durch Zuzahlung ein Schnäppchen machen. Vielen Kunden ist das zu blöd. Sie nehmen keine Herzen mit oder holen die Prämien nicht ab.

Nun aber zurück zu einer hypothetischen Kalkulation im Falle der Tengelmann-Treueherzen, die heute noch eingelöst werden können. Es gibt:
  1. Eine Müslischale zu 9,99 Euro
  2. Eine Müslischale für 40 Herzen
  3. Ein Gedeck für 39,99 Euro
  4. Ein Gedeck für 40 Herzen und 9,99 Euro
  5. Ein Gedeck für 120 Herzen
Zunächst dachte ich daran, die späteren Herzen könnten mehr wert sein als die ersten, damit die Leute viel Umsatz machen nach dem Motto: Nimm drei, zahl zwei. Doch so scheint es nicht zu sein. Die Müslischale bekommt man für 40 Herzen oder 9,99 Euro, beim Gedeck benötigt man aber 80 Herzen zur Vermeidung von 9,99 Euro Zuzahlung.

Die Lösung ist letztlich einfach: Die fünf genannten Fakten führen auf drei Gleichungen, in die ich drei Unbekannte einfließen lassen kann. Als vernünftige Wahl dieser drei Unbekannten erweisen sich die wahren Werte t des Treueherzens, m der Müslischale und g des Gedecks.
  • Aus 1 und 2 ergibt sich: m = 40t
  • Aus 3 und 4 ergibt sich: g = 40t + 10
  • Aus 3 und 5 ergibt sich: g = 120t
Dabei habe ich mir erlaubt, die optische Täuschung rückgängig zu machen und alle Preise um einen Cent zu erhöhen, um das zu können, was Geschäfte vermeiden wollen, nämlich im Kopf zu rechnen. Das Ergebnis ist g=15, m=5 und t=1/8. Das Geschirr ist nach dieser Rechnung also nur die Hälfte wert. Ein Treueherz von 1/8 Euro oder 12,5 Cent auf 5 Euro ergibt einen Rabatt von 2,5 Prozent.

In jedem Fall sollte man seine Herzen einlösen, zuzahlen aber nur, wenn einem die Sachen mehr als die Hälfte des Kaufpreises wert sind, weil man sie benötigt oder teurer weiterverkaufen kann. Vollkauf wird sich kaum lohnen, auch wenn man ganz scharf auf das Geschirr ist, denn woanders wird es nicht unbedingt teurer sein. Am liebsten wäre mir ein Handel mit Treueherzen an der Börse. Es würde mich nicht wundern, wenn sie dort mit 15 Cent über den Tresen gingen, ab 5 Cent würde ich verkaufen und auf Geschirr verzichten. Dann hätte ich 2,50 Euro für alle meine 50 Herzen.

... link (8 Kommentare)   ... comment



Fortpflanzung
Gerade den kleinen Zahlen werden gerne menschliche Eigenschaften zugeordnet. So gelten die geraden als weiblich, die ungeraden als männlich. Und wie Menschen sich mehr oder minder stark fortpflanzen, so ist es mit den Zahlen. Die Ziffer 5 pflanzt sich mit 50% fort, weil jedes zweite Vielfache einer auf 5 endenden Zahl wieder eine 5 am Schluß aufweist. Besser ist nur noch die triviale 0 mit 100% Fortpflanzungsrate. Mit 20% mäßig breiten sich die geraden Ziffern 2, 4, 6 und 8 aus. Ganz schlecht sind die verbleibenden vier Ziffern 1, 3, 7 und 9, die es nur auf 10% bringen. Im zweistelligen Bereich haben 25 und 75 eine Rate von 25%, denn
5*25=125, 9*25=225, 13*25=325, 17*25=425, ...
5*75=375, 9*75=675, 13*75=975, 17*75=1275, ...
Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die trivialen Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, ..., 4% für 04, 08, 12, 16, 24, ..., 2% für 02, 06, 14, 18, 22, ... und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen, so wie es die 5 im einstelligen Bereich ist.

Daraus sollte man nicht vorschnell eine Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, da andere Zahlen sich in anderen Basen ebenso gut fortpflanzen könnten. Man überlegt sich leicht, daß zur Basis b die n-stellige Fortpflanzungsrate r(b,n,a) einer Zahl a kleiner als b^n (zur Basis b maximal n Stellen) sich gemäß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)
bestimmen läßt. Darin ist ggT der größte gemeinsame Teiler und kgV das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den Paradefall a=25, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(25,100)=25 und kgV(25,100)=100, also r=25/100=25%. Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18, also r=18/3600=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
  2a=00:04:12,   3a=00:06:18, ...,  10a=00:21:00,  11a=00:23:06
 12a=00:25:12,  13a=00:27:18, ...,  20a=00:42:00,  21a=00:44:06
 22a=00:46:12,  23a=00:48:18, ...,  30a=01:03:00,  31a=01:05:06
 ............
 92a=03:03:12,  93a=03:05:18, ..., 100a=03:30:00, 101a=03:32:06
 ............
192a=06:33:12, 193a=06:35:18, ..., 200a=07:00:00, 201a=07:02:06
nach 200 Schritten endet 201a wieder mit 02:06. Vorher ist das nicht der Fall. Hinter den Punkten versteckt sich kein Treffer. Alle 10 Schritte wird **:06 erreicht, 10 mal 10 Schritte sind für *2:06 erforderlich und 200 dann für 02:06.

Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen mit hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100-prozentige Fortpflanzung muß a=0 (mod b^n) sein. Damit ist a=0 die einzige Zahl, die sich zu 100% fortpflanzt, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht? Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=b^n/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die 5 ist als nichts besonderes. Die zweistelligen sind 2,8,18,32,50,72,... zu den Basen 2,4,6,8,10,12,...

Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%). Sie wird bei 3a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur durch 3 teilbare Basen b erlauben eine Rate von 1/3. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=b^n/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen nämlich in der Basis b, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
01:00:00/2=30:00 mit Rate 1/2 (3*30:00=01:30:00, 5*30:00=02:30:00)
01:00:00/3=20:00 mit Rate 1/3 (4*20:00=01:20:00, 7*20:00=02:20:00)
   2*20:00=40:00 mit Rate 1/3 (4*40:00=02:40:00, 7*40:00=04:40:00)
01:00:00/5=12:00 mit Rate 1/5 (6*12:00=01:12:00,11*12:00=02:12:00)
   2*12:00=24:00 mit Rate 1/5 (6*24:00=02:24:00,11*24:00=04:24:00)
   3*12:00=36:00 mit Rate 1/5 (6*36:00=03:36:00,11*36:00=06:36:00)
   4*12:00=48:00 mit Rate 1/5 (6*48:00=04:48:00,11*48:00=08:48:00)
Die mehrstelligen Fortpflanzungen mit Raten 1/p sind also nichts anderes als mit Nullen aufgeblähte einstellige. Interessant sind nur Zahlen a mit nicht-trivialer Fortpflanzung bei hoher Rate. Die sind zunächst bei 25% zu suchen. Dafür muß 4a=0 (mod b^n) sein, nicht aber schon 2a=0 (mod b^n). Für eine einstellige Fortpflanzung muß die Basis b durch 4 teilbar sein. Und dann sind a=b/4 und das Dreifache davon die einzigen Zahlen mit 25-prozentiger Fortpflanzung. Zur Basis 10 gibt es sie deshalb nicht, wohl aber wieder zur Basis 60, nämlich 15 und 45.

Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht unbedingt durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=b^n/4 und das Dreifache davon. Damit sind 1 und 3 zur Basis 2, 4 und 12 zur Basis 4, 9 und 27 zur Basis 6, 16 und 48 zur Basis 8, 25 und 75 zur Basis 10, 36 und 108 zur Basis 12 usw. die zweistelligen Fortpflanzungen mit 25%. Die drei- und mehrstelligen liefern wieder nichts grundlegend neues: Dezimal sind es 250 und 750, 2500 und 7500 usw.

Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x*x und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, aber die übrigen 1,3,4,9,12,16,... nicht mit 1%,3%,4%,9%,12%,16%,..., ist eine unzulässige Eigenschaft, da mit "Prozenten" die 100 reingesteckt wird und dadurch die Basis 10 herauskommt. So wie die 25 in der Basis 10 eine Rate von 25/100 (25 Prozent) hat, so erreicht zum Beispiel 9 in der Basis 6 eine Rate von 9/36 (9 Pro36). Für die Suche nach Besonderheiten sollte man sich deshalb die Zahlen a in der zugehörigen Basis b dargestellt ansehen:
Basis   Zahlen mit Rate 25%
  b     dezimal     Basis b
---------------------------
  2      1    3     01   11
  4      4   12     10   30
  6      9   27     13   43
  8     16   48     20   60
 10     25   75     25   75
 12     36  108     30   90
 14     49  147     37   A7
 16     64  192     40   C0
 18     81  243     49   D7
Ist die Basis b durch 4 teilbar, so ist die Einerstelle 0. Das sind also auch triviale Fälle, die man außen vor lassen kann. In den übrigen Basen b=4k+2 für k=0,1,2,... ist die Einerstelle 2k+1 und die "Zehnerstelle" k bzw. 3k+1. Das Produkt (2k+1)k bzw. (2k+1)(3k+1) aus Zehner- und Einerstelle ergibt die Basis b=4k+2 nur im ersten Falle und nur für k=2. Damit ist die Basis b=4k+2=10 ausgezeichnet. Die Einerstelle ist 2k+1=5, die Zehnerstelle k=2. Das ist die Zahl 25. Sie ist eine der Zahlen mit der größten nicht-trivialen Fortpflanzungsrate (nämlich 25%) und unter diesen die einzige, deren Einer- und Zehnerstelle in der zugehörigen Basis multipliziert eben diese Basis ergeben.

... link (0 Kommentare)   ... comment



24
Die Zahl 24 habe ich bisher ausgespart, weil ich für eine annähernd kompetente Äußerung zu ihrer Bedeutung noch jahrelang studieren müßte. Es soll mir undurchsichtige Verbindung zur möglichen realen Welt geben, die nicht drei- oder vier Dimensionen, sondern 8+2 oder 24+2 haben soll. Eine damit im Zusammenhang stehende herausragende Eigenschaft der 24 ist die Packung des 24-dimensionalen Raumes mit 24-dimensionalen Kugeln, in der jede Kugel 196560 andere berührt.

Mathematisch kommt die 24 leicht wegen 4!=1*2*3*4=24 ins Spiel. Die Zahl der Möglichkeiten, vier Dinge aus n zu ziehen ist n(n-1)(n-2)(n-3)/24. Doch das allein hebt die Zahl 24 nicht aus der Reihe 1,2,6,24,120,720,... der Fakultäten hervor. Gemeinsam mit diesen Zahlen ist der 24 die hohe Zahl an Teilern und eine entsprechend große Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Da diese Summe 60 die Zahl 24 selbst um mehr als das Doppelte übersteigt, ist 24 wie auch 12 oder 36 ein Teilerprotz.

Verblüffender ist das Vorkommen der Zahl 24 in der Beziehung
1*1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + 23*23 + 24*24 = 70*70
denn für keine andere Zahl n ist die Summe der ersten n Quadratzahlen selbst wieder eine Quadratzahl. Es ist nicht schwer, sich zu überlegen oder nachzuschlagen, daß eine quadratische Pyramide mit n Punkten auf jeder Kante genau
P(n) = 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + n*n = n(n+1)(2n+1)/6
Punkte umfaßt. Somit lautet die Frage, für welche n diese Anzahl P(n) eine Quadratzahl m*m ist, also n*(n+1)*(2n+1)=6*m*m gilt. Die einzige Lösung ist n=24 und m=70. Richtig verwunderlich ist es aber auch nicht: Man überlegt sich, daß n, n+1 und 2n+1 alle drei Quadratzahlen oder das Zwei-, Drei- oder Sechsfache davon sein müssen. Und damit reduziert sich alles auf Beziehungen zwischen Quadratzahlen. So könnte man n=8=2*(2*2) und n+1=9=3*3 probieren, doch leider ist 2n+1=8+9=17 keine Quadratzahl. Erfolgreicher ist natürlich n=24=6*(2*2) und n+1=25=5*5, denn 2n+1=24+25=49=7*7 ist eine Quadratzahl.

Das beweist selbstverständlich nicht, daß n=24 die einzige Lösung ist, macht aber deutlich, warum gerade dies Zahl. Zum einen liegt 24 genau vor einer Quadratzahl, zum anderen ist 24 selbst das Sechsfache einer Quadratzahl. Der Faktor 6 rührt letztlich aus der Dreidimensionalität der Aufgabenstellung und ist schon die halbe Miete. Doch ohne das Glück von 24+25=49 geht es natürlich auch nicht.

Kurz: Die Häufigkeit der Zahl 24 ist zwar bemerkenswert, doch so verwunderlich auch nicht. Ein Faktor kommt aus der einen, der andere aus der anderen Ecke, und schon hat man die 24 beisammen. So hat der Tag 24 Stunden, weil er wie die Nacht früher 12 hatte. Ein Faktor 2 kommt aus der Verdoppelung, der andere Faktor 12 wohl aus dem Mondlauf. Trotzdem könnte die alles erklärende Zahl nicht 42, sondern doch 24 sein.

196560

... link (5 Kommentare)   ... comment