Zahlwort

Zu den natürlichen Zahlen 1 bis 42 schrieb ich bereits vor Jahren etwas. Nun ist 43 dran, ein Kan­didat für die klein­ste unin­teres­sante Zahl. Was ver­meldet uns die Wiki­pedia? Sie ist die Ordnungs­zahl des leich­testen Elemen­tes ohne sta­biles Iso­top [1] und die größte Zahl von McNuggets, die man mit den gän­gigen Größen 6, 9 und 20 nicht ohne Rest zusammen­stel­len kann. [2] Die Über­legung ist ein­fach: Mit 6 und 9 allein kann man alle durch 3 teil­baren Zahlen errei­chen, außer 3 selbst. Mit kein-, ein- oder zwei­mal 20 sind deshalb alle Anzah­len n=3k, n=20+3k und n=40+3k für k>1 mög­lich, darun­ter alle n≥40+3·2=46. Auch 45=5·9 und 44=20+4·6 gehen, nicht jedoch 43, denn mit einer oder keiner Zwan­ziger-​Packung müßte 43−1·20=23 bzw. 43−0·20=43 durch 3 teilbar sein. Bleiben zweimal 20. Der Rest 43−2·20=3 ist jedoch unmög­lich. So einfach ist es im allge­meinen nicht und das Problem für mehr als drei Porti­onen wohl ungelöst. [3]

Die Zahl 43 ist nicht nur eine Primzahl, sondern zusammen mit 41 auch ein Prim­zahl­zwilling. Daß es 18 Posi­tionen weiter mit 59 und 61 einen wei­teren gibt, ist nicht verwunder­lich. Es kommt aber gelegen, daß Prome­thium mit der Ord­nungs­zahl 61 nach Techne­tium mit 43 das zweite insta­bile Element ist. Peter Plichta zählt wie die Römer in Musiker­manier 19 Ele­mente von 43 bis 61, und schon ist er in seinem Denk­raster von Prim­zahlen und 19.

Ansonsten muß man 43 schon suchen. Um sie als ordent­liche Figur aus Punkten zu malen, sollte man sie irgendwo unter den figu­rierten Zahlen finden. Doch macht sie sich rar. Zu den nor­malen Poly­gonal- und Pyra­miden­zahlen gehört sie nicht. Um sie als zen­trierte Poly­gonal­zahl zu finden, muß 43−1=42 Viel­faches einer Dreiecks­zahl sein. Tatsäch­lich ist 42=7·6=7·D₄₋₁ und 43 damit vierte Sieben­eck­zahl. Auch wegen 42=2·21=2·D₇₋₁ siebte Zwei­ecks­zahl. Die Figur vom Zweieck will keiner sehen und ein Sieben­eck paßt auch schlecht ins Zeilen­raster:

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43 als vierte zentrierte Heptagonalzahl (png)

Die Sylvester-Folge [4] erhält man mit 1 begin­nend, indem alle voran­gehen­den Folge­glieder multi­pli­ziert werden und eins addiert wird, also a₀=1 und aₙ₊₁=a₀·a₁·…·aₙ₋₁+1. So ergeben sich a₁=1+1=2, a₂=1·2+1=3, a₃=1·2·3+1=7 und bereits als vierte Zahl a₄=1·2·3·7+1=43. Es folgen 1807 und 3263443. Danach werden die Zahlen schnell sehr groß. Daß die ersten Folge­glieder alle­samt nicht zusam­men­gesetzt sind, sollte nicht dazu verleiten anzu­nehmen, es folgten nur Prim­zahlen, denn schon 1807=13·139 ist keine mehr.

[1] The 43 Peculi­arity. The Big Bang Theory, Fernseh­serie, Staffel 6, Folge 8. Text. Sheldon hat 43 groß auf eine Tafel geschrieben. Die Bedeu­tung bleibt bis zum Schluß unklar. Eine Vermu­tung war Tech­netium.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Liste A214777 der McNugget-​Zahlen. Oberhalb von 43 sind alle dabei, weshalb es gerecht­fertigt ist, 43  „die“ McNugget-​Zahl zu nennen.

[3] Wolfram Mathworld. Coin Problem. Dort wird berich­tet, daß es nicht einfach, aber ein Lösungs­weg für drei Münzen (hier 6,9,20) bekannt ist.

[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A129871. Auch A000058 ohne a₀ mit der Rekursion aₙ₊₁=aₙ(aₙ−1)+1. Lustiger­weise könnte man a₀=Φ oder a₀=-φ wählen.

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