Zahlwort

Ein Herzensanliegen der Zahlmystikern ist, die herausragende Bedeutung unserer üblichen dezimalen Darstellung der Zahlen zu belegen, denn sie ist Basis aller numerologischer Überlegungen und nur sie erlaubt es, Naturkonstanten als Realisierung von Ziffernfolgen unabhängig von der Position des Kommas zu sehen. Wie aber begründet man von den zehn Fingern abgesehen die dezimale Zahldarstellung? Ein beliebter Weg führt über die Zahl 81 mit Kehrwert

1/81 = 0,0123456790123456790...

in dem die Folge aller Zahlen vorkommt, wenn man auch Ziffern über 9 zuläßt:

1/81 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15...

Die fehlende 8 entsteht also durch den Übertrag von der Ziffer 10. Und damit ist für Einfältige schon klar, daß die zweistelligen Zahlen mit der zehn zu beginnen haben. Doch leider ist es in anderen Basen das gleiche. Zum Beispiel für die oktale Darstellung:

1/61 = 0,012345701234570... = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.10.11.12...

Es ist also etwas tiefer zu schürfen. Zunächst kommt nach der Basis b=10 und dem die Welt der Zahlen erklärenden Quadrat x=(b-1)^2=81 das Komplement y=2b-1=19 zu z=b^2 ins Spiel, denn ganz allgemein zaubert man aus einfachen geometrischen Reihen

z/x = z/(z-y) = 1/(1-y/z) = 1+ y/z + (y/z)2 + (y/z)3 + ...

so scheinbar verwunderliche Beziehungen wie

100/81 = 1 + 0,19 + 0,192 + 0,193 + 0,194 + ...

Zwar geht das in anderen Basen natürlich auch, doch spätestens mit den in der Natur vorfindlichen 19 reinen Elementen unter den 81 stabilen scheint der Schöpfer durch diese Zahlen die Basis 10 im Auge gehabt zu haben. Das wird auch weiterhin in

x=1+a(y+1) mit a=b/2  (81=1+4(19+1))

deutlich. Nur für b=10 ergibt sich a=4, die Grundlage für die Vierteilung der x=81 stabilen Elemente in y=19 Reinelemente, y=19 Doppelisotope, 2y=38 Mehrfachisotope und a+1=5 Ausnahmen. Die a normalen Ausnahmen sind die Elemente mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6 und 3, die eine Super-Ausnahme ist das 19. Element Kalium. Es ist das einzige ungerader Ordnungszahl mit mehr als zwei natürlichen Isotopen. Und nun die Überraschung:

19/81 = 4,263

mit den Ausnahmen 4,2,6,3 als Ziffern. Das geht mit keiner anderen Basis als b=10. Auch abseits der chemischen Elemente, ist die Basis b=10 über die Zahlen x=81 und y=19 mit der Gliederung in a=4 Teile verbunden. Und diese Vierteilung kommt allenthalben vor. So hätte es in anderen Basen ausgesehen:

in Dezimaldarstellung    Darstell. in Basis b
a   b    x   y    q      a   b   x   y    q

1   4    9   7  1,285    1  10  21  13  1,102
2   6   25  11  2,272    2  10  41  15  2,134
3   8   49  15  3,266    3  10  61  17  3,210
4  10   81  19  4,263    4  10  81  19  4,263
5  12  121  23  5,260    5  10  A1  1B  5,316
6  14  169  27  6,259    6  10  C1  1D  6,38B
7  16  225  31  7,258    7  10  E1  1F  7,421
8  18  289  35  8,257    8  10  G1  1H  8,4B5
9  20  361  39  9,256    9  10  I1  1J  9,52B

Gewiß hätte man auch etwas anderes entdecken können. Zur Basis b=8 ergäbe sich eine Dreiteilung und ein auf die drei Gruppen verweisenden Quotienten 3,21. Ganz allgemein sind die Zweierpotenzen b=2^n besonders schöne Fälle, denn wegen

q = x/y = ( 2b - 3 + 1/2b + (1/2b)2 + (1/2b)3 + ... ) / 4

weist q eine periodische Ziffernfolge aus Zweierpotenzen auf. Für b=32 ist q=F,84210G84210G..., worin natürlich F für die Ziffer 15 und G für 16 steht. Die Formel macht aber auch deutlich, daß unabhängig von der Basis b im Quotienten q immer eine Vierteilung steckt. Für große b ist q nur wenig größer als a+1/4. Damit kann man die Viertelung als bevorzugt ansehen. Und aus a=4 ergibt sich b=10, x=81 und y=19. Die besondere Bedeutung der Basis 10, der Zahlen 4, 19 und 81, sowie der Ziffernfolge 4263 scheint damit begründet.

81 | 19 | Isotope