Zahlwort

Eine Zahl heißt k‑fach vollkommen, wenn ihre Teiler­summe genau k mal so groß ist wie sie selbst. Die einzige einfach voll­kommene Zahl ist die 1. Die zweifach voll­kommenen Zahlen wie 6, 28 und 496 heißen schlicht voll­kommen. Die kleinste dreifach voll­kommene ist 120, denn

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3·120

und es gibt keine kleine­ren. [1] Man kann den Ergeb­nissen anderer ver­trauen oder zum Beweis alle Zahlen bis 119 durch­pro­bieren. Nicht unbe­dingt schneller, doch lehr­reicher geht es wie folgt: Der Faktor k(n)=σ(n)/n mit dem die Teiler­summe σ(n) die Zahl n über­steigt ist multi­plika­tiv. [2] Deshalb reicht es, seine Werte für die Primzah­potenzen zu kennen:

k(p^m) = (1+p+p²+…+p^m)/p^m = ((p^m+1−1)/(p−1))/p^m < p/(p−1)

Sie bleiben unter einer oberen Schranke von p/(p−1). Die beiden größten zu p=2,3 multi­pli­zieren sich zu (2/1)·(3/2)=3, weshalb k=3 nicht mit zwei Primzahl­potenzen allein möglich ist. Somit kommen in einer Zahl n<120 mit k(n)=3 wegen 119/(3·5)<8 nur 2 und 4 als Zweier­poten­zen infrage, wegen 119/(2·5)<12 auch nur die Dreier­potenzen 3 und 9. Und da 119/(2·3)<20, sind größere Prim­zahlen allen­falls unpoten­ziert möglich, ab 23 scheiden sie gänz­lich aus. Das führt auf eine über­sicht­liche Palette mög­licher Prim­potenz­teiler:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 5  1   5   6    2·3/5
 7  1   7   8  2·2·2/7
11  1  11  12  2·2·3/11
13  1  13  14    2·7/13
17  1  17  18  2·3·3/17
19  1  19  20  2·2·5/19

In den Brüchen für k(p^m) tauchen die Primfaktoren 11, 17 und 19 nur in Nennern auf. Sie können deshalb nicht zu einem Produkt k(n)=3 einer Zahl n<120 bei­tragen, und scheiden deshalb aus. Es bleiben:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2k
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 5  1   5   6    2·3/5
 7  1   7   8  2·2·2/7
13  1  13  14    2·7/13

Aus dem gleichen Grund entfällt nun auch die 5. Zudem kommt die 13 nur im Nenner zu sich selbst und im Zähler zur 9 vor. Beide können also nur gemein­sam auf­treten und gestatten wegen 9·13>119/2 keinen weiteren Primfaktor:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 7  1   7   8  2·2·2/7

Damit ist maximal k(4·3·7)=k(4)·k(3)·k(7)=(7/4)·(4/3)·(8/7)=8/3<3 zu erzielen. Somit gibt es keine dreifach voll­kommene Zahl unter 120.

So einfach geht es jedoch nicht weiter, auch wenn man in analoger Weise mit etwas mehr Geduld den Bereich bis 1000 aus­schöpfen kann und noch 672 findet. Ins­gesamt sind nur sechs drei­fach voll­kommene Zahlen bekannt. Weitere gibt es wohl nicht.

Natürlich ist 120 als dreifach voll­kommene Zahl ein Teiler­protz [3] und erwar­tungs­gemäß auch eine super­abun­dant und sogar colos­sally abun­dant number. Zudem ist sie largely, highly und sogar supe­rior highly compo­site. Sie ist auch eine prak­tische Zahl, weil bis zur Teiler­summe sich jede Zahl als Summe ausge­wählter Teiler dar­stellen läßt. [4] Alles nicht ver­wunder­lich für die fünfte Fakul­tät 120=5!=1·2·3·4·5.

Natürlich kommt die 120 auch in der Bibel vor. So soll Moses mit 120 Jah­ren gestor­ben sein. Und zur Ausgie­ßung des Hei­ligen Geistes seien irgend­wann einmal etwa 120 versam­melt gewesen. Das ist zu mager für fromme Zahl­akro­baten. Doch glück­licher­weise gibt es neben 3·40 noch die 12 und die 10, aus denen man 120, 600, 42360, 144000, 600000 und andere mehr zau­bern kann.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Teiler­summen A000203 und drei­fach voll­kommene Zahlen A005820.

[2] Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multi­plikativ, wenn f(ab)=f(a)f(b) für teiler­fremde a und b gilt.

[3] Zahlen n mit einer Teiler­summe σ(n)=2n heißen (zweifach) voll­kommen, darunter defi­zient, darüber abun­dant. Wenig­stens für letztere gibt es auch die schöne deut­sche Bezeich­nung Teiler­protz.

[4] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Abundant A005101, super­abun­dant (SA) A00439, colos­sally abun­dant (CA) A004490 numbers. Largely compo­site numbers A067128, highly compo­site num­bers (HCN), stark zusam­menge­setzte Zahlen A002182, supe­rior highly compo­site (SHCN) numbers A002201, prac­tical numbers, prak­tische Zahlen A002201.

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