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22
wuerg, 18.03.2005 00:42
Mit der 22 ist es eigentlich nicht anders als mit 20 und 21. Es gibt irgendwelche Zufallstreffer aus dem täglichen Leben, numerologische Bedeutungen und mehr oder minder konstruierte kombinatorische oder mathematische Vorkommnisse. Am Fußballspiel sind 22 Spieler beteiligt, elf auf jeder Seite. Snooker wird mit 22 Bällen gespielt, 15 rote, 6 farbige und der weiße Stoßball. Numerologen reduzieren normalerweise durch wiederholte Quersummenbildung auf eine Ziffer von 1 bis 9. Zweistelligen Zwischenergebnissen werden gelegentlich Zusatzbedeutungen zugesprochen, um Genauigkeit und Differenzierung vorzutäuschen. Zumeist begnügt man sich aber mit den Engelszahlen 11, 22 und 33.
Kombinatorisch ist immer etwas zu finden. So soll es 22 Möglichkeiten geben, fünf Sechsecke aneinander zu kleben. Und ich selbst fand vor vielen Jahren die 22 beim Naphthalin, das aus zwei Benzolringen besteht. An den zwei Positionen 0 des nachstehenden Bildes befindet sich nur ein Kohlenstoffatom, an den Positionen 1 bis 8 ebenfalls, jedoch mit Wasserstoff dran. Substituiert man einen, so gibt es zwei Möglichkeiten. An Position 1, 4, 5, 8 heißt es Alpha-Stellung, an Position 2, 3, 6, 7 Beta-Stellung. Mein uralter Holleman-Richter [2] schreibt dazu: „Die Anzahl der Disubstitutionsprodukte ist sehr groß. Bei zwei gleichen Substituenten sind 10 möglich, bei zwei ungleichen 14.“ Doch bei vier gleichen Substituenten ist die Zahl gar nicht so hoch, nämlich nur 22.
Das Bild zeigt neben dem Naphthalin die 22 als vierte Fünfeckzahl 1+4+7+10=22. Sie übersteigt die Dreieckszahl 21 um eins, ist also die sechste Pizzazahl. Um eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 22 Stücke zu teilen, kann man sich ein kleines Heptagramm in die Mitte malen und sechs der Kanten des siebenzackigen Sternes bis zum Rand verlängern. Die Wikipedia erwähnt noch, daß 22/7 eine gute Näherung für π ist, Amerikaner gerne mit Kaliber 22 um sich balllern (0,22″=5,6mm), das hebräische Alphabet 22 Buchstaben und deshalb der Lebensbaum 22 Wege hat, und jetzt kommt es: „Die Kettenbruchzerlegung von π hoch e beginnt mit 22“. Das ist ja toll für etwa 22,5.
Es bleibt die Look-And-Say-Folge von Convay. Man beginnt mit einer (gesehenen) Folge aus k₁ Ziffern z₁, k₂ Ziffern z₂ bis kₙ Ziffern zₙ ohne identische Nachbarn und geht über zu der Folge k₁, z₁, k₂, z₂ bis kₙ, zₙ (gesprochen: k₁ mal z₁, k₂ mal z₂ bis kₙ mal zₙ) über. Dieser Prozeß wird immer und immer wiederholt. Da Ziffern oberhalb von 3 und damit mehr als dreifache Wiederholungen unbedeutend sind, kann man die Folgen einfach als Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 auffassen. [1]
[1] Treten in der Anfangsfolge Zahlen über 9 (oder gar andere Zeichen) auf, so verschwinden sie zwar nicht vollständig, spielen aber keine Rolle, da die Musik nach wenigen Schritten nur zwischen ihnen spielt. Ein Beispiel: (23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23)→(12,23)→(1,12,1,23)→(1,1,1,12,1,1,1,23)→(3,1,1,12,3,1,1,23) und so weiter.
[2] Holleman, Richter: Lehrbuch der organischen Chemie. Walter de Gruyter, Berlin, 1961. Seite 468.
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Kombinatorisch ist immer etwas zu finden. So soll es 22 Möglichkeiten geben, fünf Sechsecke aneinander zu kleben. Und ich selbst fand vor vielen Jahren die 22 beim Naphthalin, das aus zwei Benzolringen besteht. An den zwei Positionen 0 des nachstehenden Bildes befindet sich nur ein Kohlenstoffatom, an den Positionen 1 bis 8 ebenfalls, jedoch mit Wasserstoff dran. Substituiert man einen, so gibt es zwei Möglichkeiten. An Position 1, 4, 5, 8 heißt es Alpha-Stellung, an Position 2, 3, 6, 7 Beta-Stellung. Mein uralter Holleman-Richter [2] schreibt dazu: „Die Anzahl der Disubstitutionsprodukte ist sehr groß. Bei zwei gleichen Substituenten sind 10 möglich, bei zwei ungleichen 14.“ Doch bei vier gleichen Substituenten ist die Zahl gar nicht so hoch, nämlich nur 22.
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Das Bild zeigt neben dem Naphthalin die 22 als vierte Fünfeckzahl 1+4+7+10=22. Sie übersteigt die Dreieckszahl 21 um eins, ist also die sechste Pizzazahl. Um eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 22 Stücke zu teilen, kann man sich ein kleines Heptagramm in die Mitte malen und sechs der Kanten des siebenzackigen Sternes bis zum Rand verlängern. Die Wikipedia erwähnt noch, daß 22/7 eine gute Näherung für π ist, Amerikaner gerne mit Kaliber 22 um sich balllern (0,22″=5,6mm), das hebräische Alphabet 22 Buchstaben und deshalb der Lebensbaum 22 Wege hat, und jetzt kommt es: „Die Kettenbruchzerlegung von π hoch e beginnt mit 22“. Das ist ja toll für etwa 22,5.
Es bleibt die Look-And-Say-Folge von Convay. Man beginnt mit einer (gesehenen) Folge aus k₁ Ziffern z₁, k₂ Ziffern z₂ bis kₙ Ziffern zₙ ohne identische Nachbarn und geht über zu der Folge k₁, z₁, k₂, z₂ bis kₙ, zₙ (gesprochen: k₁ mal z₁, k₂ mal z₂ bis kₙ mal zₙ) über. Dieser Prozeß wird immer und immer wiederholt. Da Ziffern oberhalb von 3 und damit mehr als dreifache Wiederholungen unbedeutend sind, kann man die Folgen einfach als Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 auffassen. [1]
1 n 333 11 1n 33 21 111n 2k 1211 311n 121k 111221 13211n 1112111k 312211 1113211n 3112311k 13112221 311312211n 13211213211kIn der zweiten Spalte kann n=0,2,3,… in der dritten k=0,3,4,… sein. Folgen 10 bis 19 ergeben sich aus 0 bis 9, die 20 und 23 bis 29 kommen in Spalte 3 vor, 21 in Spalte 1. Es bleibt 22 als die einzige Zahl, die in sich selbst übergeht. Alle anderen verlängern sich Schritt für Schritt im Mittel um etwa 30 Prozent. Dieser Convay-Konstante genannte Wachstumsfaktor 1,303577… ist von 22 abgesehen für alle Anfangswerte gleich und die einzige positive reelle Nullstelle eines Polynoms 71. Grades. Das zu wissen, ist schon erstaunlich für eine solche willkürlich und unsystematisch wirkende Folge.
[1] Treten in der Anfangsfolge Zahlen über 9 (oder gar andere Zeichen) auf, so verschwinden sie zwar nicht vollständig, spielen aber keine Rolle, da die Musik nach wenigen Schritten nur zwischen ihnen spielt. Ein Beispiel: (23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23)→(12,23)→(1,12,1,23)→(1,1,1,12,1,1,1,23)→(3,1,1,12,3,1,1,23) und so weiter.
[2] Holleman, Richter: Lehrbuch der organischen Chemie. Walter de Gruyter, Berlin, 1961. Seite 468.
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