Teilbarkeitsregeln
Zu einigen Zahlen habe ich mich zumeist mit Begründungen darüber ausgelassen, wie man die Teilbarkeit durch diese prüft. Manche Zahlen haben einfache Teilbarkeitsregeln, andere nicht. Das liegt an der Zahldarstellung zur Basis 10, die eine für manche Zahlen günstige Vorarbeit geleistet hat. Gute Regeln gibt es für die Teiler der Zehnerpotenzen und ihrer beiden benachbarten Zahlen. Hier nun die Zusammenfassung für die ersten Zahlen:

1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist [a]. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [b] durch 3 teilbar ist [a].
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 4 teilbar sind [a,c].
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist [a]. Das sind die Zahlen mit 0 und 5 am Ende.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke durch 7 teilbar ist [d,e,f]. Alternativ kann man fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer von den verbleibenden abziehen [h,i]. Und wer die Subtraktion scheut, der kann auch fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer den verbleibenden zuschlagen.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind [a,c].
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [b] durch 9 teilbar ist [a].
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer [a] eine 0 ist.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist [e,g].
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke durch 13 teilbar ist [d,e]. Alternativ kann man fortgesetzt das Vierfache der letzten Ziffer von den verbleibenden abziehen [h,i].
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind [a,c].
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den verbleibenden abziehen [h].
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den verbleibenden Ziffern zuschlagen [h].
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den verbleibenden Ziffern zuschlagen [h]. Alternativ kann man auf das Dreifache der letzten beiden Ziffern wiederholt zu den verbleibenden addieren [h].
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten [a].
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Summe der Dreierblöcke durch 27 teilbar ist [a]. Alternativ kann man fortgesetzt das Achtfache der letzten Ziffer von den verbleibenden Ziffern abziehen [i].
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den verbleibenden Ziffern zuschlagen [h].
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 10 teilbar ist, also eine durch 3 teilbare Quersumme und als letzte Ziffer eine 0 hat.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Summe der Dreierblöcke durch 37 teilbar ist [a]. Alternativ kann man fortgesetzt das Elffache der letzten Ziffer von den verbleibenden Ziffern abziehen oder das Zehnfache der letzten beiden ebenfalls zu den verbleibenden addieren [i].

[a] Diese Regel führt auch auf den gleichen Divisionsrest. Sie testet also nicht nur die Teilbarkeit, sondern kann auch feststellen, welcher Rest bei der Division bleibt.
[b] Die Quersumme ist die Summe der Ziffern.
[c] Die verbleibende (zwei/drei/vier)stellige Zahl ist durch 4/8/16 teilbar, wenn man sie (zwei/drei/vier)mal durch 2 teilen kann.
[d] Die alternierende Quersumme von Blöcken entsteht dadurch, daß sie abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Bei nicht zu großen Zahlen ist es wohl am einfachsten stets den führenden Block vom nächsten abzuziehen, bis nur noch einer übrig ist.
[e] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn die Einerstelle mit positiven Gewicht in die alternierende Quersumme eingeht.
[f] Die verbleibende dreistellige Zahl kann auf Teilbarkeit durch 7 wie folgt geprüft werden: Das Doppelte der Hunderterstelle wird den restlichen beiden zugeschlagen. Das Ergebnis wird auf Teilbarkeit durch 7 geprüft.
[g] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert werden.
[h] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Auch im Zeitalter vor dem Computer hat man sie sich nicht gemerkt, zumal die Durchführung der Division nicht deutlich länger dauert und auch noch den korrekten Divisionsrest liefert.
[i] Es empfiehlt sich auch, zunächst die erste Regel anzuwenden und dann diese zweite zu verwenden, um die letztlich zu testende Zahl noch etwas kleiner zu bekommen.

7

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Es gibt verschiedene Methoden, eine Teilbarkeitsregel zu finden. Welche gut ist, hängt davon ab, wie sehr die auf ihrer Basis auszuführenden Rechenoperation für den Menschen geeignet sind, der zum Beispiel lieber addiert als subtrahiert und lieber mit 2, 3, 10 oder 11 multipliziert als mit 7 oder 8.

Die einfachste Methode besteht einfach darin, die Division auszuführen, dabei aber zur Schreibverkürzung die Subtraktion im Kopf auszuführen. Ein Beispiel:
123456 : 7                 2345678 : 23 
 53                          45
  44                         226
   25                         197
    46 --> nicht teilbar       138 --> teilbar
Im zweiten Beispiel konnte der glückliche Umstand der führenden 23 zu einer Vereinfachung ausgenutzt werden. Andere glückliche Umstände sind Nullen am Ende, die man durch geeignete Additionen und Subtraktionen auch herbeiführen kann. Beide Beispiele mit weniger Rechenaufwand:
123456  hinten 56 weg     2345678  vorne 23 weg
1234    hinten 14 weg       45678  von 46000 abgezogen
122     nicht teilbar         322  teilbar
Der Schreibaufwand hat sich ebenfalls verringert und reduziert sich weiter, wenn man nicht wie hier in der Computerdarstellung Zahlen wiederholt notiert, sondern Ziffern einfach streicht und überschreibt. In einfacheren Fällen ist sogar die gesamte Durchführung im Kopf möglich.

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Da haben Sie ja eine wunderbare Liste erstellt, alle diese alten Regeln (bis Punkt 9), gingen über die Jahre verloren und sind jetzt wieder wachgerufen worden. Danke.

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Der praktische Wert war auch vor der Verbreitung des Taschenrechners gering. Trotzdem sollte in den Schulen weiterhin versucht werden, neben den trivialen Regeln auch die für 7 zu vermitteln. Wie das Ziehen der Quadratwurzel von Hand vermittelt es gewisse Einsichten.

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Eine weitere Methode, eine Regel für die Teilbarkeit durch n zu finden, besteht darin, sich vorab in einer stillen Stunde zu überlegen, welche Reste b(i) bei der Division der i-ten Zehnerpotenz bleiben. Eine Zahl a mit den Ziffern a(0), a(1), a(2), ... läßt dann bei der Division durch n den gleichen Rest wie die "Quersumme"
q(a) = b(0)*a(0) + b(1)*a(1) + b(2)*a(2) + ...
Manchmal führt das auf einfache Regeln, zumeist sind sie für den Menschen wenig praktikabel. Einige Beispiele:

Für n=3 ist b(0)=b(1)=b(2)=...=1, was ein ausgesprochener Glücksfall ist und auf die Quersumme q(a)=a(0)+a(1)+a(2)+... im engeren Sprachsinne führt. Eine Zahl ist also durch 3 teilbar, wenn die Summe aller Ziffern durch 3 teilbar ist.

Für n=11 ergibt sich b(i)=1 für gerade und b(i)=10 für ungerade i. Da 10 und -1 modulo 11 gleich sind, ist eine Zahl durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme r(a)=a(0)-a(1)+a(2)-a(3)+... durch 11 teilbar ist. Dieses Verfahren ist noch gut geeignet, im Kopf ausgeführt zu werden. Schriftlich wird man die Subtraktionen vermeiden wollen. Das geht auch, wenn man die sehr kurze Periodenlänge 2 der b(i) ausnutzt. Die Original-Quersumme ist nämlich
q(a) = [a(0)+10a(1)] + [a(2)+10a(3)] + [a(4)+10a(5)] + ...
was der Summe von Zweierblöcken entspricht. Damit ist eine Zahl durch 11 teilbar, wenn die Summe der Zweierblöcke durch 11 zu teilen ist.

Mit n=7 tut man sich schwerer. Die b(i) haben eine Periodenlänge von 6. Damit kann man Sechserblöcke der zu testenden Zahl addieren und muß nur noch die verbleibende sechstellige Zahl auf Teilbarkeit prüfen, was aber von Menschen nicht als eine gute Regel gesehen werden kann. Da nicht zufällig b(i)+b(i+3)=7 ist, können alternativ Dreierblöcke abwechselnd addiert und subtrahiert werden. So entsteht letztlich eine dreistellige alternierende Quersumme xyz, die wegen b(0)=1, b(1)=3 und b(2)=2 auf q=2x+3y+z reduziert werden kann. Praktikabler ist es aber, nur die Tausenderstelle z verdoppelt der verbleibenden zweistelligen Zahl yz zuzuschlagen. Ein Beispiel:
864.197.523   523   90
              864   22 (2*11)
              ---   --
             1387  112 teilbar
              197   
             ----
             1190
Im Ablauf wurde ausgenutzt, daß die 11 aus 1190 durchaus als Hunderterstelle gesehen werden kann. Möglich aber ist es auch, die 1190 zunächst auf 190-1=189 zu reduzieren, um dann auf 89+2=91 geführt zu werden. Wie man verfährt, hängt von der Kopfrechenkunst ab. Ist sie bescheiden, kann man auch die 112 auf 12+2=14 reduzieren.

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