Teilbarkeitsregeln
wuerg, 06.06.2005 17:42
Manche Zahlen haben einfache Teilbarkeitsregeln, andere nicht. Das liegt auch an ihrer Darstellung zur Basis 10, die eine mehr oder minder günstige Vorarbeit leistet. Deshalb gibt es einfache, allgemein bekannte Regeln für die Teiler der Zahlen 9, 10, 11 und 100, also für 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 20, 25, 50 und 100.
1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar.
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 als Endziffer.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 3 teilbar ist.
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. Das sind die Zahlen mit Endziffer 0 oder 5.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 9 teilbar ist.
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [2] durch 11 teilbar ist.
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist.
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten.
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 27 teilbar ist.
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie auf 0 endet und durch 3 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 37 teilbar ist.
Sollte die genannte Quersumme zu groß sein, kann von ihr abermals eine gleichartige Quersumme gebildet werden. Alle genannten Quersummenbildungen und Abschneidungen endständiger Ziffern erhalten den Divisionsrest. Anders in den mit [5] bezeichneten Fällen. Sie testen nur auf Teilbarkeit.
Selbstverständlich kann zur Prüfung sowohl der Ausgangszahl als auch der Quersummen oder Abschneidungen stets ein Vielfaches des Divisors zu- oder abgeschlagen werden. Beispiel: 789 dividiert durch 7 läßt den Rest 5, weil 789−100⋅7=89 es tut, aber auch 789−777=12.
Ist eine Quersumme negativ, so kann das Vorzeichen ignoriert werden, sofern man nur an Teilbarkeit interessiert ist. Beispiel: 18291 hat die alternierende Quersumme 1−9+2−8+1=−13 und ist nicht durch 11 teilbar, weil +13 es nicht ist. Doch Vorsicht: +13 läßt den Rest 2, doch 18291 den Rest 9.
Bei Quersummen von Dreierblöcken kann eine schwer im Kopf teilbare Zahl übrigbleiben. Dann mag man zu alternativen Regeln greifen, die nur für kleine Zahlen sinnvoll sind. Praktisch bleibt nur der Fall 7, in dem man die verdoppelten Hunderter den verbleibenden zwei Endziffern zuschlagen kann. Beispiel: 456 führt auf 56+2⋅4=64. Beide Zahlen lassen bei Division durch 7 den Rest 1.
[1] Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel: 123456 hat die Quersumme 1+2+3+4+5+6=21. Systematischer wäre 6+5+4+3+2+1=21.
[2] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern hinten mit den Einern beginnend abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 123456 hat die alternierende Quersumme 6−5+4−3+2−1=3.
[3] Die Quersumme der Dreierblöcke ensteht dadurch, daß hinten beginnend jeweis drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert addiert werden. Beispiel: 12.345.678 hat Quersumme der Dreierblöcke 678+345+12=1034, nicht 123+456+78 oder 123+456+780.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß hinten beginnend jeweils drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 1.234.567.890 hat die alternierende Quersumme der Dreierblöcke 890−567+234−1=556, nicht 1−234+567−890.
[5] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Vorsicht: Sie testen nur die Teilbarkeit und liefern nicht den Divisionsrest.
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1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar.
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 als Endziffer.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 3 teilbar ist.
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. Das sind die Zahlen mit Endziffer 0 oder 5.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 9 teilbar ist.
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [2] durch 11 teilbar ist.
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist.
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten.
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 27 teilbar ist.
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie auf 0 endet und durch 3 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 37 teilbar ist.
Sollte die genannte Quersumme zu groß sein, kann von ihr abermals eine gleichartige Quersumme gebildet werden. Alle genannten Quersummenbildungen und Abschneidungen endständiger Ziffern erhalten den Divisionsrest. Anders in den mit [5] bezeichneten Fällen. Sie testen nur auf Teilbarkeit.
Selbstverständlich kann zur Prüfung sowohl der Ausgangszahl als auch der Quersummen oder Abschneidungen stets ein Vielfaches des Divisors zu- oder abgeschlagen werden. Beispiel: 789 dividiert durch 7 läßt den Rest 5, weil 789−100⋅7=89 es tut, aber auch 789−777=12.
Ist eine Quersumme negativ, so kann das Vorzeichen ignoriert werden, sofern man nur an Teilbarkeit interessiert ist. Beispiel: 18291 hat die alternierende Quersumme 1−9+2−8+1=−13 und ist nicht durch 11 teilbar, weil +13 es nicht ist. Doch Vorsicht: +13 läßt den Rest 2, doch 18291 den Rest 9.
Bei Quersummen von Dreierblöcken kann eine schwer im Kopf teilbare Zahl übrigbleiben. Dann mag man zu alternativen Regeln greifen, die nur für kleine Zahlen sinnvoll sind. Praktisch bleibt nur der Fall 7, in dem man die verdoppelten Hunderter den verbleibenden zwei Endziffern zuschlagen kann. Beispiel: 456 führt auf 56+2⋅4=64. Beide Zahlen lassen bei Division durch 7 den Rest 1.
[1] Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel: 123456 hat die Quersumme 1+2+3+4+5+6=21. Systematischer wäre 6+5+4+3+2+1=21.
[2] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern hinten mit den Einern beginnend abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 123456 hat die alternierende Quersumme 6−5+4−3+2−1=3.
[3] Die Quersumme der Dreierblöcke ensteht dadurch, daß hinten beginnend jeweis drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert addiert werden. Beispiel: 12.345.678 hat Quersumme der Dreierblöcke 678+345+12=1034, nicht 123+456+78 oder 123+456+780.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß hinten beginnend jeweils drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 1.234.567.890 hat die alternierende Quersumme der Dreierblöcke 890−567+234−1=556, nicht 1−234+567−890.
[5] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Vorsicht: Sie testen nur die Teilbarkeit und liefern nicht den Divisionsrest.
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wuerg,
09.06.2005 10:50
Die einfachste ohne Kenntnis ausgefallener Regeln einsetzbare Methode, die Teilbarkeit zu prüfen, besteht schlicht und ergreifend darin, die Division auszuführen. Da es nicht auf das Ergebnis, sondern nur auf den Divisionsrest ankommt, können zahlreiche Vereinfachungen genutzt werden. Zum Beispiel:
123456 : 7 2345678 : 23 3456789 : 37
53 45 4597 459=456+3
44 226 6018 601=597+4
25 197 249 24=018+6
46 → nicht teilbar 138 → teilbar 27 → Rest 27
Im linken Beispiel wurde lediglich darauf verzichtet, die abzuziehenden Vielfachen von 7 zu notieren. Der Divisionsvorgang ist im Prinzip ungekürzt. Im mittleren Beispiel konnte der glückliche Umstand der führenden 23 zu einer Vereinfachung genutzt werden. Im dritten stecken schon etwas mehr Kenntnisse: Dreimal wurde ausgenutzt, daß 999 durch 37 teilbar ist. Deshalb konnte aus den vierstelligen Zwischenergebnissen die führende Ziffer gestrichen und den verbleibenden drei zugeschlagen werden. Im letzten Schritt wurde die beliebte Tatsache genutzt, daß alle dreistelligen Schnapszahlen durch 37 teilbar sind. Je mehr glückliche Umstände man kennt und sieht, desto zügiger geht es. Nochmals die ersten beiden Beispiele etwas geschickter:123456 : 7 2345678 : 23 123456 hinten 56 weg 2345678 vorne 23 weg 1234 hinten 14 weg 45678 von 46000 abgezogen 122 nicht teilbar 322 teilbarIm linken Fall konnte man durch Subtraktion von 56 zwei Nullen erreichen und streichen, im rechten ausnutzen, daß es auf das Vorzeichen nicht ankommt. Der Schreibaufwand reduziert sich weiter, wenn man nicht wie hier dargestellt die Zwischenergebnisse notiert, sondern einfach Ziffern streicht oder überschreibt. In einfachen Fällen ist sogar die gesamte Durchführung im Kopf möglich.
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evasive,
09.06.2005 11:38
Da haben Sie ja eine wunderbare Liste erstellt, alle diese alten Regeln (bis Punkt 9), gingen über die Jahre verloren und sind jetzt wieder wachgerufen worden. Danke.
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wuerg,
09.06.2005 12:24
Der praktische Wert war auch vor der Verbreitung des Taschenrechners gering. Trotzdem sollte in den Schulen weiterhin versucht werden, neben den trivialen Regeln auch die für 7 zu unterrichten. Wie das Ziehen der Quadratwurzel von Hand vermittelt es gewisse Einsichten.
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wuerg,
10.06.2005 10:47
Man kann eine Regel für die Teilbarkeit durch n finden, indem man sich überlegt, welche Reste bᵢ die i-ten Zehnerpotenzen bei Division durch n lassen. Eine Zahl a der Ziffernfolge …a₃a₂a₁a₀ läßt dann den gleichen Rest wie die Quersumme
b0·a0 + b1·a1 + b2·a2 + b3·a3 + …
Gelegentlich führt das auf einfache Regeln. Einige Beispiele:
Für n=3 ist b₀=b₁=b₂=…=1, was ein ausgesprochener Glücksfall ist und auf die Quersumme a₀+a₁+a₂+… im engeren Sprachsinne führt. Eine Zahl ist also durch 3 teilbar, wenn die Summe aller Ziffern durch 3 geteilt werden kann.
Für n=11 ergibt sich bᵢ=1 für gerade und bᵢ=10 für ungerade i. Da 10 und −1 modulo 11 gleich sind, ist eine Zahl durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme a₀−a₁+a₂−a₃+… durch 11 geteilt werden kann.
Mit n=7 tut man sich schwerer. Die bᵢ haben eine Periodenlänge von 6. Damit kann man Sechserblöcke der zu testenden Zahl addieren und muß nur noch die verbleibende sechsstellige Zahl auf Teilbarkeit prüfen, was keine für Menschen geeignete Regel ist. Da aber nicht zufällig bᵢ+bᵢ₊₃=7 ist, können alternativ Dreierblöcke abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Die Zahl a läßt bei Division durch n also den gleichen Rest wie die alternierende Quersumme
[a₀+10a₁+100a₂] − [a₃+10a₄+100a₅] + [a₆+10a₇+100a₈] − …
der Dreierblöcke. Ist das Ergebnis mehr als dreistellig, so kann erneut die Quersumme gebildet werden. Wer die verbleibende Zahl xyz nicht zügig durch 7 zu dividieren vermag, der kann wegen b₀=1, b₁=3 und b₂=2 auf 2x+3y+z reduzieren. Praktikabler ist es aber, die Hunderterstelle x verdoppelt yz zuzuschlagen, also (10y+z)+2x zu bilden.
b0·a0 + b1·a1 + b2·a2 + b3·a3 + …
Gelegentlich führt das auf einfache Regeln. Einige Beispiele:
Für n=3 ist b₀=b₁=b₂=…=1, was ein ausgesprochener Glücksfall ist und auf die Quersumme a₀+a₁+a₂+… im engeren Sprachsinne führt. Eine Zahl ist also durch 3 teilbar, wenn die Summe aller Ziffern durch 3 geteilt werden kann.
Für n=11 ergibt sich bᵢ=1 für gerade und bᵢ=10 für ungerade i. Da 10 und −1 modulo 11 gleich sind, ist eine Zahl durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme a₀−a₁+a₂−a₃+… durch 11 geteilt werden kann.
Mit n=7 tut man sich schwerer. Die bᵢ haben eine Periodenlänge von 6. Damit kann man Sechserblöcke der zu testenden Zahl addieren und muß nur noch die verbleibende sechsstellige Zahl auf Teilbarkeit prüfen, was keine für Menschen geeignete Regel ist. Da aber nicht zufällig bᵢ+bᵢ₊₃=7 ist, können alternativ Dreierblöcke abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Die Zahl a läßt bei Division durch n also den gleichen Rest wie die alternierende Quersumme
[a₀+10a₁+100a₂] − [a₃+10a₄+100a₅] + [a₆+10a₇+100a₈] − …
der Dreierblöcke. Ist das Ergebnis mehr als dreistellig, so kann erneut die Quersumme gebildet werden. Wer die verbleibende Zahl xyz nicht zügig durch 7 zu dividieren vermag, der kann wegen b₀=1, b₁=3 und b₂=2 auf 2x+3y+z reduzieren. Praktikabler ist es aber, die Hunderterstelle x verdoppelt yz zuzuschlagen, also (10y+z)+2x zu bilden.
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wuerg,
09.11.2024 16:21
Schon bei 17 versagt die Methode, eine passable Teilbarkeitsregel aus den Divisionsresten der Zehnerpotenzen abzuleiten. Deshalb wurde für 17 darauf verzichtet, den Divisionsrest zu bestimmen. So konnte wie folgt überlegt werden: 17 teilt 10a+b genau dann, wenn 17 auch 5·(10a+b)=50a+5b teilt, weil 5 und 17 teilerfremd sind, was wegen 51=3·17 gleichbedeutend dazu ist, daß −a+5b oder schöner a−5b durch 17 zu teilen ist. Also: Um die Teilbarkeit einer Zahl durch 17 zu testen, kann fortlaufend das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abgezogen werden.
Und wer sich fragt, warum meine Liste zwischen 30 und 37 eine Lücke aufweist: Mit 31 geht es analog: 31∣10a+b ⇔ 31∣30a+3b ⇔ 31∣−a+3b ⇔ 31∣a−3b. Also: Um die Teilbarkeit einer Zahl durch 31 zu testen, kann fortlaufend das Dreifache der letzen Ziffer von den übrigen abgezogen werden.
Mit der unscheinbaren 32 versagt diese Methode, weil deren Vielfache nie direkt neben eine Zehnerpotenz fallen. Es bleibt wohl nur die Fortsetzung der Regeln für 2, 4, 8 und 16: Eine Zahl ist durch 32 teilbar, wenn die letzten fünf Stellen durch 32 teilbar sind. Das ist wenig nützlich, wenn die zu testende Zahl so und so nicht mehr als fünf Stellen abcde hat. Dann kann 16a+8b+4c+10c+d getestet werden. Einfacher ist aber wohl der Versuch, diese letzten fünf Stellen fünfmal durch 2 zu teilen.
Für 33 kann man auf Teilbarkeit durch 3 und 11 testen, also sowohl die einfache als auch die alternierende Quersumme bilden. Da aber 99 sowohl durch 3 als auch durch 11 teilbar ist, bildet man geschickterweise lieber die Quersumme der Zweierblöcke und testet diese auf Teilbarkeit durch 33.
Für 34 prüft man auf Teilbarkeit durch 17 und schaut, ob die letzte Ziffer gerade ist. Für 35 tut es die Teilbarkeit durch 7 und eine Endziffer 0 oder 5. Und für 36 reicht es, wenn die Quersumme durch 9 und die beiden Endziffern durch 4 zu teilen sind.
Wer Spaß daran hat, kann weiter aufsteigen. Nach 37 mit dem glücklichen Umstand, das wegen 999=27⋅37 die zur 27 analoge Regel gilt, folgen die zusammengesetzten Zahlen 38, 39 und 40. Für 41 greift wieder die neue Methode: Fortlaufend das Vierfache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen.
Der aufmerksame Leser mag einwenden, daß ein Vielfaches der letzten Ziffer den verbleibenen zuzuschlagen oder von ihnen abzuziehen, letztlich nicht deutlich schneller ist als eine normale schriftliche Division, weil es sich statt der Division von vorne um eine Multiplikation von hinten handelt. Doch ist die einfacher und vielleicht doppelt oder dreimal so schnell, zumindest für kleine Zahlen und für den Menschen.
Ein auf riesige Zahlen angesetzter Computer würde evtl. zunächst Quersummen recht langer Blöcke bilden und auf diese das menschliche Verfahren ansetzen oder die Gesamtzahl einfach dividieren. Es sein denn, daß immer und immer wieder durch die gleiche Zahl dividiert und auch der Rest bestimmt werden muß. Dann kann sich sogar gesonderte Hardware auszahlen, wie die Division durch 28 für die Spur- und Sektorberechnung eines Fastrand‑II-Trommelspeichers. Für Interessierte die Frage: Wann ist eine Zahl durch 28 teilbar, wenn sie nicht dezimal, sondern binär vorliegt?
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Und wer sich fragt, warum meine Liste zwischen 30 und 37 eine Lücke aufweist: Mit 31 geht es analog: 31∣10a+b ⇔ 31∣30a+3b ⇔ 31∣−a+3b ⇔ 31∣a−3b. Also: Um die Teilbarkeit einer Zahl durch 31 zu testen, kann fortlaufend das Dreifache der letzen Ziffer von den übrigen abgezogen werden.
Mit der unscheinbaren 32 versagt diese Methode, weil deren Vielfache nie direkt neben eine Zehnerpotenz fallen. Es bleibt wohl nur die Fortsetzung der Regeln für 2, 4, 8 und 16: Eine Zahl ist durch 32 teilbar, wenn die letzten fünf Stellen durch 32 teilbar sind. Das ist wenig nützlich, wenn die zu testende Zahl so und so nicht mehr als fünf Stellen abcde hat. Dann kann 16a+8b+4c+10c+d getestet werden. Einfacher ist aber wohl der Versuch, diese letzten fünf Stellen fünfmal durch 2 zu teilen.
Für 33 kann man auf Teilbarkeit durch 3 und 11 testen, also sowohl die einfache als auch die alternierende Quersumme bilden. Da aber 99 sowohl durch 3 als auch durch 11 teilbar ist, bildet man geschickterweise lieber die Quersumme der Zweierblöcke und testet diese auf Teilbarkeit durch 33.
Für 34 prüft man auf Teilbarkeit durch 17 und schaut, ob die letzte Ziffer gerade ist. Für 35 tut es die Teilbarkeit durch 7 und eine Endziffer 0 oder 5. Und für 36 reicht es, wenn die Quersumme durch 9 und die beiden Endziffern durch 4 zu teilen sind.
Wer Spaß daran hat, kann weiter aufsteigen. Nach 37 mit dem glücklichen Umstand, das wegen 999=27⋅37 die zur 27 analoge Regel gilt, folgen die zusammengesetzten Zahlen 38, 39 und 40. Für 41 greift wieder die neue Methode: Fortlaufend das Vierfache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen.
Der aufmerksame Leser mag einwenden, daß ein Vielfaches der letzten Ziffer den verbleibenen zuzuschlagen oder von ihnen abzuziehen, letztlich nicht deutlich schneller ist als eine normale schriftliche Division, weil es sich statt der Division von vorne um eine Multiplikation von hinten handelt. Doch ist die einfacher und vielleicht doppelt oder dreimal so schnell, zumindest für kleine Zahlen und für den Menschen.
Ein auf riesige Zahlen angesetzter Computer würde evtl. zunächst Quersummen recht langer Blöcke bilden und auf diese das menschliche Verfahren ansetzen oder die Gesamtzahl einfach dividieren. Es sein denn, daß immer und immer wieder durch die gleiche Zahl dividiert und auch der Rest bestimmt werden muß. Dann kann sich sogar gesonderte Hardware auszahlen, wie die Division durch 28 für die Spur- und Sektorberechnung eines Fastrand‑II-Trommelspeichers. Für Interessierte die Frage: Wann ist eine Zahl durch 28 teilbar, wenn sie nicht dezimal, sondern binär vorliegt?
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