Zahlwort

Manche Zahlen haben einfache Teilbar­keits­regeln, andere nicht. Das liegt an ihrer Dar­stel­lung zur Basis 10, die eine mehr oder minder günstige Vor­arbeit leistet. Des­halb gibt es ein­fache, allge­mein bekannte Regeln für die Teiler der Zahlen 9, 10, 11 und 100, also für 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 20, 25, 50 und 100.

1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. [1] Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quer­summe [2] durch 3 teilbar ist. [1]
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. [1] Das wie­derum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal hal­biert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. [1] Das sind die Zahlen mit 0 oder 5 am Ende.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alter­nie­rende Quer­summe der Dreier­blöcke [4] durch 7 teilbar ist. [5] Verbleiben mehr als drei Stellen, kann der Prozeß wieder­holt werden. Ver­bleiben drei Stellen, kann das Doppelte der Hunder­ter­stelle den anderen beiden zuge­schlagen werden.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. [1] Das wie­derum ist der Fall, wenn diese drei dreimal hal­biert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quer­summe [2] durch 9 teilbar ist. [1]
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer [1] eine 0 ist.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alter­nierende Quer­summe [3] durch 11 teilbar ist. [6]
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alter­nie­rende Quer­summe der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist. [5]
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. [1] Das wie­derum ist der Fall, wenn diese vier viermal ha­lbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünf­fache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teil­bar­keit prüfen. [7]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschla­gen und den Rest auf Teil­bar­keit prüfen. [7]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vor­letzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Sieben­fache der letzten Ziffer den übri­gen zu­schlagen. [7]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten. [1]
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quer­summe der Dreier­blöcke [8] durch 27 teilbar ist. [1]
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Drei­fache der letzten Ziffer den übrigen zuschla­gen. [7]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 10 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quer­summe der Dreier­blöcke [8] durch 37 teilbar ist. [1]

[1] Diese Regel führt auch auf den gleichen Divi­sions­rest. Sie testet also nicht nur die Teil­bar­keit, sondern bestimmt auch den bei der Divi­sion blei­benden Rest.
[2] Die Quersumme ist die Summe der Ziffern.
[3] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern abwech­selnd addiert und subtra­hiert werden.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreier­blöcke entsteht dadurch, daß sie abwech­selnd addiert und subtra­hiert werden. Bei Zahlen mit weniger als sechs Stellen ist es wohl am einfach­sten, die füh­renden von den hinteren drei abzu­ziehen.
[5] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisions­rest, wenn der gesamte rechte Dreier­block (Hun­derter, Zehner, Einer) addiert wird.
[6] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divi­sions­rest, wenn die Einer­stelle addiert wird.
[7] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren ein­fallen. Auch im Zeit­alter vor dem Computer hat man sie sich nicht gemerkt, zumal die Durch­führung der Division nicht deut­lich länger dauert und dazu noch den Divi­sions­rest liefert.
[8] Die alternierende Quer­summe der Dreier­blöcke ist die Summe aller Dreier­blöcke der normalen Zahl­glie­derung in Tausen­dern.

7

Die einfachste ohne Kenntnis ausge­fallener Regeln einsetz­bare Methode, die Teil­bar­keit zu prüfen, besteht schlicht und ergrei­fend darin, die Divi­sion auszu­führen. Da es nicht auf das Ergeb­nis, sondern nur auf den Divi­sions­rest ankommt, können zahl­reiche Verein­fachun­gen genutzt werden. Zum Beispiel:

123456 : 7              2345678 : 23       3456789 : 37
 53                       45                4597
  44                      226                6018 
   25                      197                 249
    46 --> nicht teilbar    138 --> teilbar     27 --> Rest 27

Im linken Beispiel wurde ledig­lich darauf ver­zichtet, die abzu­ziehen­den Viel­fachen von 7 zu notie­ren. Der Divi­sions­vorgang ist im Prinzip unge­kürzt. Im mitt­leren Beispiel konnte der glück­liche Umstand der füh­ren­den 23 zu einer Verein­fachung genutzt werden. Im dritten stecken schon etwas mehr Kennt­nisse: Dreimal wurde ausge­nutz, daß 999 durch 37 teil­bar ist. Deshalb konnte aus den vier­stelli­gen Zwischen­ergeb­nissen die füh­rende Ziffer gestri­chen und den verblei­benden drei zuge­schlagen werden. Im letzten Schritt wurde die beliebte Tat­sache genutzt, daß alle drei­stel­ligen Schnaps­zahlen durch 37 teilbar sind. Je mehr glück­liche Umstände man kennt und sieht, desto zügiger geht es. Nochmals die ersten beiden Beispiele:

123456  hinten 56 weg     2345678  vorne 23 weg
1234    hinten 14 weg       45678  von 46000 abgezogen
122     nicht teilbar         322  teilbar

Im linken Fall konnte man durch Subtraktion von 56 zwei Nullen errei­chen und streichen, im rechten aus­nutzen, daß es auf das Vorzei­chen nicht ankommt. Der Schreib­aufwand redu­ziert sich weiter, wenn man nicht wie hier darge­stellt die Zwischen­ergeb­nisse notiert, sondern einfach Ziffern streicht oder über­schreibt. In ein­fachen Fällen ist sogar die gesamte Durch­führung im Kopf möglich.

Da haben Sie ja eine wunderbare Liste erstellt, alle diese alten Regeln (bis Punkt 9), gingen über die Jahre verloren und sind jetzt wieder wachgerufen worden. Danke.

Man kann eine Regel für die Teilbarkeit durch n finden, indem man sich über­legt, welche Reste b(i) die i-ten Zehner­poten­zen bei Divi­sion durch n lassen. Eine Zahl a der Ziffern­folge ...a(3)a(2)a(1)a(0) läßt dann den gleichen Rest wie die Quersumme

b(0)·a(0) + b(1)·a(1) + b(2)·a(2) + b(3)·a(3) + ...

Gelegentlich führt das auf einfache Regeln. Einige Beispiele:

Für n=3 ist b(0)=b(1)=b(2)=...=1, was ein ausge­spro­chener Glücks­fall ist und auf die Quer­summe a(0)+a(1)+a(2)+... im engeren Sprach­sinne führt. Eine Zahl ist also durch 3 teilbar, wenn die Summe aller Ziffern durch 3 geteilt werden kann.

Für n=11 ergibt sich b(i)=1 für gerade und b(i)=10 für ungerade i. Da 10 und -1 modulo 11 gleich sind, ist eine Zahl durch 11 teilbar, wenn die alter­nie­rende Quer­summe a(0)-a(1)+a(2)-a(3)+... durch 11 geteilt werden kann.

Mit n=7 tut man sich schwerer. Die b(i) haben eine Periodenlänge von 6. Damit kann man Sechser­blöcke der zu testen­den Zahl addie­ren und muß nur noch die verblei­bende sechs­stel­lige Zahl auf Teil­barkeit prüfen, was keine für Menschen geeig­nete Regel ist. Da aber nicht zufäl­lig b(i)+b(i+3)=7 ist, können alter­nativ Dreier­blöcke abwech­selnd addiert und subtra­hiert werden. Die Zahl a läßt bei Divi­sion durch n also den gleichen Rest wie die alter­nierende Quer­summe

[a(0)+10a(1)+100a(2)] - [a(3)+10a(4)+100a(5)] + [a(6)+10a(7)+100a(8)] - ...

der Dreier­blöcke. Ist das Ergeb­nis mehr als drei­stellig, so kann erneut die Quer­summe gebil­det werden. Wer die verblei­bende Zahl xyz nicht zügig durch 7 zu divi­dieren vermag, der kann wegen b(0)=1, b(1)=3 und b(2)=2 auf 2x+3y+z redu­zieren. Prakti­kabler ist es aber, die Hunder­ter­stelle z verdop­pelt xy zuzu­schlagen.