Zweieck
Es soll immer noch so arme Leute geben, die noch nie ein Zweieck gesehen haben. Dabei kommen sie sogar im täglichen Leben vor. Nehme ich zum Beispiel alle Orte einer Zeitzone, wie sie einmal gedacht war, also ohne willkürliche, geographische oder politische Verhunzungen, dann bilden diese Orte ein Zweieck, das am Äquator immerhin 1670 Kilometer breit ist und die beiden Pole als Ecken besitzt. Aber auch Gesamtheit aller Orte, die alle nicht in dieser Zeitzone liegen, bilden ein Zweieck, wenn es auch nicht so aussieht. Es hat die gleichen Ecken und Kanten, nur eben eine andere, viel größere Fläche.

Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so trenne ich eine innere von äußere Fläche ab. Die innere Fläche ist endlich, die äußere wegen des Papierrandes auch, doch unendlich gedacht. Das Dreieck Frankfurt-Berlin-Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt innerhalb Deutschlands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigentlich? Was passiert, wenn ich die Berlin-Ecke nach Tokio verschiebe, dann die Hamburg-Ecke zum Nordpol und schließlich die Frankfurt-Ecke über den Atlantik und Südamerika nach Wellington? Ab wann wird das Innere zum Äußeren? Ab wann kann man das kein Dreieck mehr nennen?

Es gibt zwar die berühmte Frage, durch welches Sandkorn ein kleiner Haufen zu einem großen wird, doch mit solchen Spitzfindigkeiten sollte man die sphärischen Dreiecke nicht belasten. Wenn ich eine Ecke um einen Millimeter verschiebe, dann wird aus einem Dreieck kein Uneck und das Innere springt auch nicht nach außen. Drei verschiedene Punkte auf der Kugeloberfläche, die ich durch die kürzesten Linien (Großkreise) verbinde, teilen die diese Kugeloberfläche in zwei Dreiecke. Keines der beiden ist das innere.

Im Einklang mit unseren Dreiecken auf dem flachen Papier ist man aber gut beraten, sich an die folgenden Konventionen zu halten: Laufe ich den Rand eines Dreieckes (oder auch eines anderen Gebietes ab) ab, so soll das Innere alles sein, was linkerhand liegt. Das Äußere liegt dann rechterhand. Das Innere des Dreiecks Frankfurt-Berlin-Hamburg ist identisch mit dem von Berlin-Hamburg-Frankfurt und liegt vollständig in Deutschland. Es ist aber das Äußere des Dreieckes Hamburg-Berlin-Frankfurt. Bei Dreiecken auf plattem Papier sollte man es ebenso handhaben und die Ecken links herum (positiver Drehsinn, gegen den Uhrzeigersinn) betrachten. Andernfalls wäre das Innere eben außen oder auf der Rückseite oder hätte einen negativen Flächeninhalt.

Nach diesem Ausflug zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeitzonen sind Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der geradlinigen Verbindung der Punkte muß man natürlich abrücken. Aber schließlich erkennen wir Dreiecke auch als solche, wenn die Kanten ausgebeult sind, wie im Inneren eines Wankelmotors. Wegen des Fernsehers und der vielen Computer-Monitore ist es beim Rechteck sogar Folklore, in solchen Fällen von tonnenförmiger Verzerrung zu sprechen.

Wie aber malt man Ein- oder gar Nullecke. Was sind sie überhaupt. Ist der Äquator eine Eineck? Oder gar ein Nulleck? Besteht das Eineck in der Ebene nur aus dem Eckpunkt selbst? Hat es eine Kante, die man ausbeulen kann? Geht ein Kreis mit einem ausgezeichneten Punkt als Darstellung eines Eineckes durch? Ist von einem Nulleck gar nichts zu sehen? Natürlich keine (null) Ecken. Doch was ist mit den Kanten?

Um diese Frage zu beantworten, will ich für kurze Zeit der Bezeichnung von Neunmalklugen folgen, die da meinen, es müsse nicht Dreieck und Viereck, sondern Dreiseit und Vierseit heißen, denn in drei Dimensionen nennt man einen Würfel ja auch Sechsflächner und nicht Zwölfkant oder Achtpunkt. Grundsätzlich haben diese Menschen nämlich Recht. Ein k-Eck und ein k-Flächner entstehen grob gesagt dadurch, daß man den n-dimensionalen Raum k mal in zwei Hälften zerscheidet. Die Schnitte selbst sind dann von der Dimension n-1, also Linien bzw. Flächen. Das gilt auch für Dimensionen n oberhalb von 3.

Nach dieser Präzisierung ist also ein Zweieck eigentlich ein Zweiseit. Sollen die Seiten geradlinig sein, so fallen sie auf dem Papier stets übereinander, womit dann ein Zweiseit wie ein Strich aussieht. Auf der Kugeloberfläche sind die geraden Linien Teile von Großkreisen, die sich im allgemeinen in zwei gegenüberliegenden Punkten schneiden, woraus sich ein Zweiseit ergibt. Ein Einseit muß deshalb aus einem Teilstück eines einzigen Großkreises bestehen. Da es schön wäre, wenn das Einseit auch genau eine Ecke hat, müßte das ein Großkreis mit einem ausgezeichneten Punkt sein. Auf der Erde zum Beispiel der Nullmeridian von einer Ecke namens Greenwich über Nord- und Südpol wieder nach Greenwich zurück.

Ein Kreis mit einem ausgezeichneten Punkt ist deshalb eine angemessene Darstellung eines Einecks, das mit einer geraden Kante auf einem Blatt Papier nicht wie ein Strich aussieht, sondern wie ein einzelner Punkt. Er bildet die Ecke und gleichzeitig die Kante der Länge 0. Ein Strich ist ein Zweieck, bestehend aus den zwei Eckpunkten und den beiden Kanten, die aufeinander fallen. Und wenn man dem folgt, dann ist ein Nulleck gar nicht zu sehen, weil es null Ecken und auch null Kanten haben soll, auch auf der Kugeloberfläche. Hier könnte die Nordhalbkugel zwar als Inneres eines Nullecks durchgehen, weil auf dem durch den Äquator gebildeten Rand keine Ecke liegt, doch sollte ein Nulleck auch ein Nullseit sein, so daß ein Nulleck aus nichts oder eben der gesamten Oberfläche besteht.

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Die Frage, wieviele Kanten ein Zweieck hat, ob man nur eine sieht, weil beide übereinander fallen, oder ob es überhaupt kein ebenes Zweieck gibt, kann jeder für sich beantworten oder besser festlegen. Wenn man aber überhaupt von Zweiecken reden will, dann ist es sinnvoll, daß gewisse Grundeigenschaften nicht von denen des Dreiecks, Vierecks usw. abweichen. Zu diesen Grundeigenschaften mag man das Vorhandensein eines Flächeninhaltes ungleich 0 zählen. Dann gibt es kein ebenes Zweieck mit geradlinigen Kanten. Doch ist dieses Flächeninhaltskriterium schwach. Ein in den Einheitskreis einbeschriebenes regelmäßiges n-Eck hat den Flächeninhalt (n/2)sin(2Pi/n). Demnach müßte ein Zweieck (n=2) durchaus die Fläche 0 haben, weil sin(2Pi/2)=0 ist.

Fast immer ist man besser beraten, sich zunächst nach den wirklichen Grundlagen zu fragen. Dazu gehören nicht Flächeninhalt oder Kantenlänge. Es ist für ein abstraktes Objekt aus Punkten, Kanten und Flächen gar nicht erforderlich, von irgendwelchen Längen sprechen zu können. Allein entscheidend ist die Beziehung zwischen ihnen, nicht die graphische Darstellung. Und deshalb gibt uns die Eulersche Polyederformel einen besseren Anhaltspunkt:
Ecken - Kanten + Flächen - Räume = 1
Wer sie für dreidimensionale Polyeder mit 2 auf der rechten Seite kennt, muß beachten, daß ein Polyeder stets einen Raum umschließt. Weil ein Zweieck keinen Raum umfaßt und zwei Ecken hat, muß es eine Kante mehr als Flächen haben. Das bringt uns unmittelbar auch nicht zu einer Entscheidung, denn es könnte eine Kante ohne Fläche oder zwei Kanten mit Fläche haben. Wenn man aber ein Zweieck wie eine Dreieck oder Viereck als zweidimensionales Gebilde sieht, dann sollte es wie diese genau eine Fläche haben, auch wenn man sie nicht sieht. Und damit ist klar: Ein Zweieck hat zwei Ecken, zwei Kanten und eine Fläche. Das war eigentlich schon jedem klar, denn jedes n-Eck hat immer n Kanten.

Entscheidend ist also wievieldimensional man ein Zweieck sieht. Und da kommen wieder die Sprachverbesserer ins Spiel, die ja gleich gesagt haben, daß es nicht Dreieck, sondern Dreiseit heißen müsse: Demnach hätte ein Zweieck zwei Ecken und eine Kante (Strecke), ein Zweiseit dagegen zwei Ecken, zwei Kanten und eine Fläche (Sichel) und ein Zweiflach n Ecken, n Kanten, 2 Flächen und einen umschlossenen Raum. Die beiden Flächen könnten Vorder- und Rückseite eines n-Ecks sein.

Jetzt wird mancher sagen, daß Vorder- und Rückseite eines n-Eckes zwar zwei Flächen haben mögen, doch keinen umschlossenen Raum. Das ist das gleiche Problem wie mit der Darstellung eines Zweiseits als Sichel. Man muß Vorder- und Rückseite aus Gummi machen und etwas auseinander ziehen. Andere wieder mögen sagen: Wenn ich zwei gleiche Kegel an der kreisförmigen Grundlinie zusammenklebe, dann habe ich einen Zweiflächner mit zwei Ecken (Spitzen der Kegel) und nur einer Kante (Klebelinie). Richtig aber ist, daß beide Spitzen eben nur spitz aussehen, aber keine Ecken eines Polyeders sind, und die Klebelinie als Kante in einem Polyeder nur als Verbindung zwischen Punkten existieren kann, also mindestens einer auf der Klebelinie ausgezeichnet werden muß. Abermals: Vorsicht mit anschaulichen Darstellungen.

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Ecken
Wie definiert sich "Ecke" eigentlich? Ein Winkel aus zwei Geraden? Oder eben aus zwei aufeinandertreffenden Kurven?
Unter diesen Umständen läßt sich ein Null-Eck doch hervorragend mittels eines Zirkels entwerfen. Man nennt es dann Kreis, oder?
Und ein Ein-Eck würde ich praktischerweise mittels einer Waschbeckenstöpselkette erzeugen (Sie wissen schon, diese aus untereinander verbundenen Kügelchen bestehende Kette, die es gab, bevor der Waschbeckenabfluss quasi "remote" per Hebel geöffnet und geschlossen wurde). Diese Kette als Kreis gelegt und mit einem Stift eine Ecke herausgezogen oder nach innen geschubst. Im ersteren Fall entspräche dies auch einer Fahrradkette über zwei Zahnrädern, wobei das kleinere der beiden Zahnräder einfach infinitesimal schrumpfte. Der zweite Fall wäre eine Kurve, die bis zu einem bestimmten Betrag ihre Steigung verringerte, um sie dann im gekonterten Bereich um den selben Betrag wieder steigerte, allerdings beidesmal linear (exponentiell sollte es auch funktionieren). Das ganze in einem nicht definierten Koordinatensystem (nicht eindeutig, da es für jeden X-Wert zwei Y-Werte gibt).

Hilfreich?

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Es kommt immer auf den Bereich an. Beim Würfel sind es eben 8 Punkte, seine Kanten sind nichts anderes als 12 Punktpaare. Die verschwinden auch nicht, wenn ich den Würfel an einer Ecke plattdrücke. Es ist wie mit einem Butterwürfel, an dessen Ecken Sie acht Popel plazieren und diese mit 12 Haaren verbinden. Wenn die Butter schmilzt, ist der Würfel immer noch da, wenn er auch nicht so aussieht. Ein Nulleck entsteht, wenn Sie die Butter so lassen, wie Sie sie Ihren Gästen anbieten sollten, ohne Popel und ohne Haare.

Unter den Ecken eines Tintenklekses oder eines ähnlichen Gebildes kann man alle Punkte verstehen, die nicht zwischen zwei anderen liegen, was immer "zwischen" auch bedeuten mag. Für unsere normale Geometrie hätte ein Quadrat vier Ecken, auch wenn man innen noch ein Dreick ausstanzt. Die Ecken des ausgestanzten Dreieckes sind keine Ecken des Restqudrates. Ein Kreis hat nach dieser Vorstellung unendlich viele Ecken, wenn sie auch nicht so aussehen. Das Äußere des Kreises aber hat null Ecken, gleichwohl ich es nicht als Nulleck bezeichnen würde.

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Für die n-te k-Eckzahl gilt die einfache Formel P(k,n)=n((k-2)n-(k-4))/2, die man normalerweise nur für n=1,2,3,4,5,... und k=3,4,5,6,... verwendet wird. Man kann sie natürlich ohne weiteres auf andere Werte für n und k ausdehnen und sich dann auch nach inhaltlichen Bedeutungen oder Beziehungen fragen. Hier geht es um das Zweieck, also um k=2 mit der schönen Zweieckszahl Z(n)=P(2,n)=n.
Zweieck Z(n):  1  2  3   4   5   6   7   8   9
Dreieck D(n):  1  3  6  10  15  21  28  36  45
Viereck Q(n):  1  4  9  16  25  36  49  64  81
Fünfeck F(n):  1  5 12  22  35  51  70  92 117
Es ist also klar: Das ebene Zweieck, das sog. Zweiseit hat zwar zwei Seiten, doch fallen die übereinander und bilden im Punktemuster der Zweieckszahl nur eine Linie von n Punkten. Ein Zweieck mit sechs Punkten pro Kante sieht also so
                               2 4 6 8
1 2 3 4 5 6   und nicht so   1         10
                               3 5 7 9
aus. Das hier abweichend von höheren k-Ecken die beiden Kanten und damit die Punktreihen aufeinander fallen, mag zunächst stören. Es fügt sich aber nicht nur in die Formel, sondern auch in die geometrischen Vorstellung vom regelmäßigen k-Eck mit geraden Kanten ein. Im Gegenteil muß man froh sein, daß die Zweieckzahl Z(n) nicht einfach nur 2 oder gar 0 ist. Warum? Denkt man sich die Punkte des Dreieckes oder des Quadrates als in ein Dreieck oder Quadrat eingeschlossen
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   / o \       | o o o o |
  / o o \      | o o o o |
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/ o o o o \    | o o o o |
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so klappt dies beim Übergang zum Zweieck zu, und es sind gar keine Punkte mehr drin. Deshalb sollte man seine Vorstellung dahingehend verbessern, daß man sich die Punkte als kleine Kreise (o) vom Gewicht 1 denkt und ein k-Eck betrachtet, das von den Mittelpunkten der Eckkreise gebildet wird, was man zeichenbasiert leider nur schlecht darstellen kann. Dann liegt vom Gesamtgewicht P(k,n) ein Teil k(n-1)/2+1 außerhalb. Beim Quadrat ist es 2n-1, beim Dreieck (3n-1)/2 und beim Zweieck das Gewicht n. Da es zugeklappt ist, befindet sich im Inneren nichts mehr. Das gesamte Gewicht befindet sich außen. Es ist also Z(n)=n auch im Einklang mit einer gesunden Anschauung. Es sind eben zwei Kanten mit jeweils n-1 halben Punkten, die zu n-1 ganzen verklebt zuzüglich zweier Eckpunkte, aus denen nichts herausgeschnitten wurde.

P(k,n)

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Wegen der Zugriffe auf diesen Beitrag habe ich ihn mir selbst noch einmal durchgelesen. Eine kurze Zusammenfassung scheint mir demnach sinnvoll. Ich erwähnte die Formel
Ecken - Kanten + Flächen - Räume = 1
Für dreidimensionale Polyeder (Räume=1) entsteht die Eulerschen Polyederformel
Ecken - Kanten + Flächen = 2
Ein Zweiflach (Fächen=2) hat also zwei Flächen und soviele Ecken wie Kanten. Dazu stelle man sich ein k-Eck mit Vorder- und Rückseite vor. Ein Einflach (Flächen=1) müßte eine Ecke mehr als Kanten haben. Einzig sinnvoll erscheint mir eine eizelne Ecke, weshalb ich mir ein Einflach als Kugeloberfläche mit einem Punkt drauf vorstelle.

Für zweidimensionale Polygone (Räume=0, Flächen=1) reduziert sich alles auf "Ecken=Kanten". Ein k-Seit hat also nicht nur k Seiten, sondern auch k Ecken, weshalb wir es auch k-Eck nennen. Ein Zweiseit hat also zwei Seiten und zwei Ecken. Man kann es sich als Halbkreis vorstellen. Der hat zwei Ecken, die zweifach verbunden sind, einmal direkt und einmal über die Kreislinie. Ein Einseit hat eine Ecke und eine Kante. Eine gute Vorstellung ist ein Kreis mit einem Punkt auf dem Rand.

Der Vollständigkeit halber auch der eindimensionale Fall (Räume=0, Flächen=0, Kanten=1): Es müssen dann wohl zwei Ecken sein. Daß einzige Gebilde ist also die Strecke mit ihren zwei Endpunkten. Man könnte sie nun systematischerweise "Zweieck" nennen. Ein eindimensionales "Eineck" gibt es nach dieser Vorstellungsweise nicht. Was bleibt ist der nulldimensionale Extremfall (Räume=0, Flächen=0, Kanten=0, Ecken=1): Das ist ein einzelner Punkt.

Die Frage, was denn ein Zweieck oder gar Eineck sei, beantworte ich abschließend für mich wie folgt:
  • Ein Zweieck besteht aus zwei Punkten, die durch zwei Linien verbunden sind und eine Fläche einschließen.
  • Ein Eineck besteht aus einem Punkt, der durch eine Linie mit sich selbst verbunden ist und eine Fläche einschließt.
Ein Halbkreis, eine Sichel, eine Segment, ein Kreis mit zwei Punkten auf dem Rand oder eine plattgedrückte Banane sind gute Vorstellung für ein Zweieck. Für das Eineck ist es der Kreis mit einem Punkt auf dem Rand oder eine plattgedrückte Birne.

Handyforum

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Merkwürdigerweise wird im Handyforum schon lange Zeit über das Zweieck diskutiert, insbesondere auch über die Winkelsumme. Deshalb will ich kurz darlegen, daß diese Winkelsumme, aber auch der Umfang und die Fläche sich natürlich in die Werte für Dreiecke, Vierecke usw. einordnen.

Am einfachsten ist es für die Winkelsumme. Die erste von zwei einfachen Überlegungen: Ein k-Eck besteht aus k Dreiecken mit jeweils 180° Winkelsumme. Alle zusammen haben k*180°, wovon man die Winkel im Mittelpunkt im Gesamtwert von 360° abziehen muß. Die zweite Überlegung: An jeder Ecke fehlt zu 180° der Außenwinkel. Dieser ist gleich dem Mittelpunktswinkel von 360°/k. Zusammen ergibt sich in beiden Fällen die Winkelsumme
w = (k-2)*180° = (k-2)π
Für das Viereck sind es also wie bekannt 360°, für das Dreieck 180°, für das Zweieck 0° und für das Eineck -180°. Auch letzteres muß nicht verwundern: Umfährt man den Mitelpunkt auf irgendeiner Linie genau einmal, so ist die Summe der Außenwinkel stets 360°. Bei einem Polygon muß diese Summe an den Ecken erwirtschaftet werden. Sind alle Ecken gleich, so entfallen 360°/k auf jede der k Ecken. Beim Eineck ist das eine Abknickung von 360° an nur einer Ecke. Ohne Richtungsänderung trägt eine Ecke aber nur 180° zur Winkelsumme bei.

Ein regelmäßiges k-Eck innerhalb eines Kreises mit Radius r hat eine Kantenlänge a, einen Umfang U und eine Fläche F von
a = 2r*sin(180°/k) = r*sin(π/k)

U = 2kr*sin(180°/k) = 2kr*sin(π/k)

F = (k/2)r2*sin(360°/k) = (k/2)r2*sin(2π/k)
Für den Kreis (k gegen unendlich) ergibt sich tatsächlich a=0, U=2π*r und F=π*r^2. Der einfachste Fall ist das Quadrat mit k=4:
a = 2r*sin(45°) = r*sqrt(2)

U = 8r*sin(45°) = 4r*sqrt(2) = 4a

F = 2r2*sin(90°) = 2r2 = a2
Für das Zweieck (k=2) ergeben sich durchaus im Einklang mit der unmittelbaren Vorstellung:
a = 2r*sin(90°) = 2r

U = 4r*sin(90°) = 4r

F = r2*sin(180°) = 0
Es hat keine Fläche, die Kantenlänge ist der Kreisdurchmesser und der Umfang ist doppelt so groß, weil es sich ja um zwei übereinander liegende Kanten handelt. Nun das Eineck:
a = 2r*sin(180°) = 0

U = 2r*sin(180°) = 0

F = (r2/2)*sin(360°) = 0
Auch hier ist die Welt in Ordnung. Die eine Kante führt von dem einen Punkt geradlinig zu dem einen, hat also die Länge 0. Der Umfang kann dann nicht größer sein, und eine Fläche ist nicht eingeschlossen, aber auch nicht negativ.

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