Zweieck
wuerg, 06.05.2005 16:05
Es soll immer noch arme Leute geben, die noch nie ein Zweieck gesehen haben. Dabei kommen sie sogar im täglichen Leben vor. Schneidet man aus der Erdoberfläche eine Zeitzone, wie sie einmal gedacht waren, also ohne willkürliche, geographische oder politische Verhunzungen, dann entsteht ein Zweieck, das am Äquator immerhin 1670 Kilometer breit ist und die beiden Pole als Ecken besitzt. Aber auch der gesamte Rest der Erdoberfläche, der nicht in dieser Zeitzone liegt, bildet ein Zweieck, wenn es auch nicht so aussieht. Es hat die gleichen Ecken und Kanten, nur eben eine andere, viel größere Fläche.
Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so entstehen zwei Gebiete. Das konvexe, endliche ist das Innere, der Rest das Äußere. Wenn ich vom Papierrand abstrahiere, ist es unendlich groß. Das Dreieck Frankfurt–Berlin–Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt innerhalb Deutschlands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigentlich? Was passiert, wenn ich die Hamburg‐Ecke zum Nordpol, die Frankfurt‐Ecke zum Südpol und dann die Berlin‐Ecke Richtung Osten über Tokio nach New York verschiebe?
Zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeitzonen sind gute Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der geradlinigen Verbindung zweier Punkte als die kürzeste muß man dazu natürlich abrücken. Aber wir erkennen ja auch Dreiecke als solche, wenn die Kanten ausgebeult sind, wie im Inneren eines Wankelmotors. Beim Rechteck heißt es tonnenförmige Verzerrung.
Neunmalkluge meinen, es dürfe nicht Dreieck und Viereck, sondern müsse Dreiseit bzw. Vierseit heißen, denn in drei Dimensionen nenne man einen Würfel ja auch Sechsflächner oder gar Sechsflach und nicht Zwölfkant oder Achtpunkt. Grundsätzlich haben sie Recht. Man kann sich einen Polyeder als ein Gerüst aus Ecken und Kanten vorstellen, in das Flächen eingesetzt sind. Sinnvoller mag die Vorstellung sein, wie ein Schreiner vom Gesamtraum mehrfach etwas abzuschleifen, bis ein k‑Flächner übrig bleibt. Analog entsteht ein ebenes k‑Seit auch durch mehrfache Beschneidung mit der Schere, nicht nur durch Verbindung von Punkten.
Hilft uns diese Vorstellung beim Zweieck oder Zweiseit? Bei ausschließlich geraden Schnitten offensichtlich nicht. Und ich möchte mir nicht vorstellen, welche Anforderungen an gekrümmte Schnittlinien zu stellen wären. So hat sich der menschliche Sprachgebrauch wohl doch für die sinnhaftere Bezeichnung entschieden und zieht das k‑Eck dem k‑Seit vor. Deshalb ist ein Zweiseit nichts anderes als ein Zweieck, und das besteht aus zwei Punkten, die kreuzungsfrei durch zwei Linien verbunden sind, die sich evtl. überlagern, im Extremfall identisch sind.
Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so entstehen zwei Gebiete. Das konvexe, endliche ist das Innere, der Rest das Äußere. Wenn ich vom Papierrand abstrahiere, ist es unendlich groß. Das Dreieck Frankfurt–Berlin–Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt innerhalb Deutschlands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigentlich? Was passiert, wenn ich die Hamburg‐Ecke zum Nordpol, die Frankfurt‐Ecke zum Südpol und dann die Berlin‐Ecke Richtung Osten über Tokio nach New York verschiebe?
Zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeitzonen sind gute Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der geradlinigen Verbindung zweier Punkte als die kürzeste muß man dazu natürlich abrücken. Aber wir erkennen ja auch Dreiecke als solche, wenn die Kanten ausgebeult sind, wie im Inneren eines Wankelmotors. Beim Rechteck heißt es tonnenförmige Verzerrung.
Neunmalkluge meinen, es dürfe nicht Dreieck und Viereck, sondern müsse Dreiseit bzw. Vierseit heißen, denn in drei Dimensionen nenne man einen Würfel ja auch Sechsflächner oder gar Sechsflach und nicht Zwölfkant oder Achtpunkt. Grundsätzlich haben sie Recht. Man kann sich einen Polyeder als ein Gerüst aus Ecken und Kanten vorstellen, in das Flächen eingesetzt sind. Sinnvoller mag die Vorstellung sein, wie ein Schreiner vom Gesamtraum mehrfach etwas abzuschleifen, bis ein k‑Flächner übrig bleibt. Analog entsteht ein ebenes k‑Seit auch durch mehrfache Beschneidung mit der Schere, nicht nur durch Verbindung von Punkten.
Hilft uns diese Vorstellung beim Zweieck oder Zweiseit? Bei ausschließlich geraden Schnitten offensichtlich nicht. Und ich möchte mir nicht vorstellen, welche Anforderungen an gekrümmte Schnittlinien zu stellen wären. So hat sich der menschliche Sprachgebrauch wohl doch für die sinnhaftere Bezeichnung entschieden und zieht das k‑Eck dem k‑Seit vor. Deshalb ist ein Zweiseit nichts anderes als ein Zweieck, und das besteht aus zwei Punkten, die kreuzungsfrei durch zwei Linien verbunden sind, die sich evtl. überlagern, im Extremfall identisch sind.
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wuerg,
07.05.2005 23:33
Die Frage, wieviele Kanten ein Zweieck hat, ob man nur eine sieht, weil beide übereinander fallen, oder ob es überhaupt kein ebenes Zweieck mit geradlinigen Kanten gibt, kann jeder für sich beantworten oder festlegen. Ich bevorzuge eine Vorstellung, die in ihren Grundzügen nicht von denen des Dreiecks, Vierecks usw. abweicht. Nicht dazu gehört das Vorhandensein eines Flächeninhaltes ungleich 0. Dann gäbe es kein ebenes Zweieck mit geraden Kanten, auch kein Quadrat der Fläche 0. Eine Fläche von 0 reiht sich durchaus ein in die Abfolge der Flächeninhalte
2k · (sin(2π/2k)·cos(2π/2k)/2 = (k/2)·sin(2π/k)
regulärer k‑Ecke im Einheitskreis. Für das Quadrat (Diagonale 2) erhält man 2·sin(90°)=2, für das Dreieck (3/2)·sin(60°)=(3/4)√3≈1,3 und für das Zweieck eben 1·sin(180°)=0. Grundlegender sind die formalen Beziehungen zwischen Punkten, Linien, Flächen, Zellen usw. Dazu kommt mir für konvexe, kreuzungsfreie, geschlossene Polygone, Polyeder, Polytope usw. die Eulersche Polyeder‐Formel
Ecken − Kanten + Flächen − Zellen + … = 1
in den Sinn. Hier eine kleine Auswahl bekannter Gebilde samt Zweieck:
2k · (sin(2π/2k)·cos(2π/2k)/2 = (k/2)·sin(2π/k)
regulärer k‑Ecke im Einheitskreis. Für das Quadrat (Diagonale 2) erhält man 2·sin(90°)=2, für das Dreieck (3/2)·sin(60°)=(3/4)√3≈1,3 und für das Zweieck eben 1·sin(180°)=0. Grundlegender sind die formalen Beziehungen zwischen Punkten, Linien, Flächen, Zellen usw. Dazu kommt mir für konvexe, kreuzungsfreie, geschlossene Polygone, Polyeder, Polytope usw. die Eulersche Polyeder‐Formel
Ecken − Kanten + Flächen − Zellen + … = 1
in den Sinn. Hier eine kleine Auswahl bekannter Gebilde samt Zweieck:
Hyperwürfel 16 - 32 + 24 - 8 + 1 = 1 Tetraeder 4 - 6 + 4 - 1 + 0 = 1 Würfel 8 - 12 + 6 - 1 + 0 = 1 2 Würfel 12 - 20 + 10 - 1 + 0 = 1 Fußball 32 - 90 + 60 - 1 + 0 = 1 Maultasche 4 - 4 + 2 - 1 + 0 = 1 Quadrat 4 - 4 + 1 - 0 + 0 = 1 Dreieck 3 - 3 + 1 - 0 + 0 = 1 Zweieck 2 - 2 + 1 - 0 + 0 = 1Auch wenn in der Ebene ein Zweieck mit geraden Kanten nur als eine einzelne Strecke mit zwei Punkten und ohne Fläche erscheint, so sollte man nicht 2−1+0=1, sondern 2−2+1=1 denken, also zwei Linien übereinander und eine Fläche ohne Inhalt sehen, zumindest denken. Wir sind keine alten Griechen, die geometrische Beweise führten, sondern stellen abstrakte Überlegungen an. Wir freuen uns trotzdem über schöne Zeichnungen, werden aber nicht aus der Lebensbahn geworfen, wenn es nur unzureichende gibt.
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pathologe,
09.05.2005 15:01
Ecken
Wie definiert sich "Ecke" eigentlich? Ein Winkel aus zwei Geraden? Oder eben aus zwei aufeinandertreffenden Kurven?
Unter diesen Umständen läßt sich ein Null-Eck doch hervorragend mittels eines Zirkels entwerfen. Man nennt es dann Kreis, oder?
Und ein Ein-Eck würde ich praktischerweise mittels einer Waschbeckenstöpselkette erzeugen (Sie wissen schon, diese aus untereinander verbundenen Kügelchen bestehende Kette, die es gab, bevor der Waschbeckenabfluss quasi "remote" per Hebel geöffnet und geschlossen wurde). Diese Kette als Kreis gelegt und mit einem Stift eine Ecke herausgezogen oder nach innen geschubst. Im ersteren Fall entspräche dies auch einer Fahrradkette über zwei Zahnrädern, wobei das kleinere der beiden Zahnräder einfach infinitesimal schrumpfte. Der zweite Fall wäre eine Kurve, die bis zu einem bestimmten Betrag ihre Steigung verringerte, um sie dann im gekonterten Bereich um den selben Betrag wieder steigerte, allerdings beidesmal linear (exponentiell sollte es auch funktionieren). Das ganze in einem nicht definierten Koordinatensystem (nicht eindeutig, da es für jeden X-Wert zwei Y-Werte gibt).
Hilfreich?
Unter diesen Umständen läßt sich ein Null-Eck doch hervorragend mittels eines Zirkels entwerfen. Man nennt es dann Kreis, oder?
Und ein Ein-Eck würde ich praktischerweise mittels einer Waschbeckenstöpselkette erzeugen (Sie wissen schon, diese aus untereinander verbundenen Kügelchen bestehende Kette, die es gab, bevor der Waschbeckenabfluss quasi "remote" per Hebel geöffnet und geschlossen wurde). Diese Kette als Kreis gelegt und mit einem Stift eine Ecke herausgezogen oder nach innen geschubst. Im ersteren Fall entspräche dies auch einer Fahrradkette über zwei Zahnrädern, wobei das kleinere der beiden Zahnräder einfach infinitesimal schrumpfte. Der zweite Fall wäre eine Kurve, die bis zu einem bestimmten Betrag ihre Steigung verringerte, um sie dann im gekonterten Bereich um den selben Betrag wieder steigerte, allerdings beidesmal linear (exponentiell sollte es auch funktionieren). Das ganze in einem nicht definierten Koordinatensystem (nicht eindeutig, da es für jeden X-Wert zwei Y-Werte gibt).
Hilfreich?
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wuerg,
09.05.2005 16:34
Es kommt immer auf den Bereich an. Beim Würfel sind es eben 8 Punkte, seine Kanten sind nichts anderes als 12 Punktpaare. Die verschwinden auch nicht, wenn ich den Würfel an einer Ecke plattdrücke. Es ist wie mit einem Butterwürfel, an dessen Ecken Sie acht Popel plazieren und diese mit 12 Haaren verbinden. Wenn die Butter schmilzt, ist der Würfel immer noch da, wenn er auch nicht so aussieht. Ein Nulleck entsteht, wenn Sie die Butter so lassen, wie Sie sie Ihren Gästen anbieten sollten, ohne Popel und ohne Haare. Solche Bilder hinken: Eigentlich auch ohne Butter.
Unter den Ecken eines Tintenklekses oder eines ähnlichen Gebildes kann man alle Punkte verstehen, die nicht zwischen zwei anderen liegen, was immer zwischen auch bedeuten mag. Für unsere normale Geometrie hätte ein Quadrat vier Ecken, auch wenn man innen noch ein Dreieck ausstanzt. Die Ecken des ausgestanzten Dreieckes sind keine Ecken des Restquadrates. Ein Kreis hat nach dieser Vorstellung unendlich viele Ecken, wenn sie auch nicht so aussehen. Das Äußere des Kreises aber hat keine Ecken, gleichwohl ich es nicht als Nulleck bezeichnen würde.
Unter den Ecken eines Tintenklekses oder eines ähnlichen Gebildes kann man alle Punkte verstehen, die nicht zwischen zwei anderen liegen, was immer zwischen auch bedeuten mag. Für unsere normale Geometrie hätte ein Quadrat vier Ecken, auch wenn man innen noch ein Dreieck ausstanzt. Die Ecken des ausgestanzten Dreieckes sind keine Ecken des Restquadrates. Ein Kreis hat nach dieser Vorstellung unendlich viele Ecken, wenn sie auch nicht so aussehen. Das Äußere des Kreises aber hat keine Ecken, gleichwohl ich es nicht als Nulleck bezeichnen würde.
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wuerg,
12.05.2005 17:03
Die n‑te k‑Eckzahl ist Pᵏₙ=n((k−2)n−(k−4))/2, die normalerweise nur für natürliche n und k>2 verwendet wird. Man kann sie aber ohne weiteres auf alle reellen Zahlen ausdehnen. Hier geht es um das Zweieck, also um k=2 mit der schlichten Zweieckszahl Zₙ=P²ₙ=n.
[1] Dreiecke oder Quadrate können zu der Schnapsidee verleiten, sich die Punktdiagramme zu den k‑Eckzahlen in einem flächengleichen k‑Eck vorzustellen. Doch nur für Quadratzahlen ist die Kantenlänge a=n. Für Dreieckszahlen ergibt sich mit a=√(n(n+1)/√3) eine deutlich zu kleine Kantenlänge. Für k>4 ist es umgekehrt, was nicht verwundert, wenn man sich die löchrigen Diagramme ansieht.
Polygonalzahlen
Punkte je Kante n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zweieckszahlen Zn: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dreieckszahlen Dn: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 Viereckszahlen Qn: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 Fünfeckszahlen Fn: 1 5 12 22 35 51 70 92 117Es ist also klar: Das ebene Zweieck hat zwar zwei Seiten, doch fallen beide übereinander und bilden im Punktemuster der Zweieckszahl nur eine Linie von n Punkten. Ein Zweieck mit sechs Punkten pro Kante sieht also so
2 4 6 8
1 2 3 4 5 6 und nicht so 1 10
3 5 7 9
aus. Daß hier abweichend von der Punktdarstellung höherer k‑Ecke die beiden Kanten und damit die Punktreihen aufeinander fallen, mag zunächst stören. Da wir aber nicht mehr der schlichten Anschauung den Vorrang einräumen, sondern den formalen Grundlagen, sollten wir eine geeignete (richtige) Vorstellung erarbeiten. Schlecht ist es, sich die n‑te k‑Eckzahl als Pᵏₙ Punkte in einem k‑Eck mit Kantenlänge n vorzustellen. [1] Dann klappt beim Übergang zum Zweieck die Fläche zu, und man fragt sich, wie darin die n Punkte Platz finden sollten. Besser ist ein k‑Eck der Kantenlänge n−1 durch die Mittelpunke der Randpunkte, von denen ein Anteil k(n−1)/2+1 außen liegt. Beim Quadrat sind es 2n−1, beim Dreieck (3n−1)/2 und beim Zweieck n. Innen bleibt also korrekterweise nichts mehr übrig. Im Gegensatz zum Quadrat oder Dreieck liegen die zwei Eckpunkte vollständig außen, die übrigen n−2 geben auf der einen Kante die eine Hälfte ab, auf der anderen ihren Rest.[1] Dreiecke oder Quadrate können zu der Schnapsidee verleiten, sich die Punktdiagramme zu den k‑Eckzahlen in einem flächengleichen k‑Eck vorzustellen. Doch nur für Quadratzahlen ist die Kantenlänge a=n. Für Dreieckszahlen ergibt sich mit a=√(n(n+1)/√3) eine deutlich zu kleine Kantenlänge. Für k>4 ist es umgekehrt, was nicht verwundert, wenn man sich die löchrigen Diagramme ansieht.
Polygonalzahlen
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wuerg,
06.04.2006 19:19
Merkwürdigerweise wird im Handyforum schon lange Zeit das Zweieck diskutiert, insbesondere auch die Winkelsumme. Deshalb will ich kurz darlegen, wie sich Winkel, Umfang und Fläche des Zweiecks harmonisch in die Werte für Dreiecke, Vierecke und andere regelmäßige k Ecke einordnen.
Am einfachsten ist es für den Zentralwinkel, also den Teil der Kreislinie, den jede der k Kanten abdeckt. Er ist einfach μ=360°/k, der k‑te Teil des Kreises. Die zugehörigen k Dreiecke haben alle eine Winkelsumme von 180°, weshalb die k Peripheriewinkel jeweils φ=π−μ=180°(1−2/k) betragen. Die Winkelsumme, also die Summe aller k Peripheriewinkel ist dann σ=k·φ=180°(k−2). Läuft man entlang des Randes des k‑Eckes, so knickt man an jeder Ecke um den Außenwinkel α=180°−φ=μ ab. Diese Gleichheit sollte einleuchten, denn nach einer Umrundung hat man seine Richtung ja um 360° geändert. Hier die Winkel der kleinsten k‑Ecke:
Welche Kantenlänge, welchen Umfang, welche Fläche hat ein Zweieck? Diese Frage stellt man sich auch gerne für normale regelmäßige Polygone. Ich will sie für den Einheitskreis beantworten. Für andere Radien sind die Längen mit r zu multiplizieren, die Fläche mit r zum Quadrat.
Stellt man sich ein k‑Eck aus 2k gleichen rechtwinkligen Dreiecken vor, so hat jedes eine Hypotenuse von 1, eine Ankathete von cos(μ/2)=cos(180°/k) und eine Gegenkathete von sin(μ/2)=sin(180°/k). Jede Kante besteht aus zwei dieser Gegenkatheten, hat also ein Länge von a=2sin(180°/k). Der Umfang ist dann k‑mal so groß, nämlich U=2ksin(180°/k). Jedes der 2k rechtwinkligen Dreiecke hat somit eine Fläche von sin(180°/k)cos(180°/k)/2. Das ist das gleiche wie sin(360°/k)/4. Damit ergibt sich eine Gesamtfläche von F=(k/2)sin(360°/k). Hier die Werte für ausgewählte k‑Ecke:
Am einfachsten ist es für den Zentralwinkel, also den Teil der Kreislinie, den jede der k Kanten abdeckt. Er ist einfach μ=360°/k, der k‑te Teil des Kreises. Die zugehörigen k Dreiecke haben alle eine Winkelsumme von 180°, weshalb die k Peripheriewinkel jeweils φ=π−μ=180°(1−2/k) betragen. Die Winkelsumme, also die Summe aller k Peripheriewinkel ist dann σ=k·φ=180°(k−2). Läuft man entlang des Randes des k‑Eckes, so knickt man an jeder Ecke um den Außenwinkel α=180°−φ=μ ab. Diese Gleichheit sollte einleuchten, denn nach einer Umrundung hat man seine Richtung ja um 360° geändert. Hier die Winkel der kleinsten k‑Ecke:
Ecken- und Kantenzahl k 6 5 4 3 2 1 Mittelpunktswinkel μ=360°/k 60 72 90 120 180 360 Peripheriewinkel φ=180°(1-2/k) 120 108 90 60 0 -180 Winkelsumme σ=180°(k-2) 720 540 360 180 0 -180 Außenwinkel α=360°/k 60 72 90 120 180 360Das Zweieck macht also das, was man sich vorstellen sollte, nämlich an jeder der zwei Ecken eine Kehrtwende um 180°. Da bleibt nichts mehr für den Peripheriewinkel und die Winkelsumme. Man sieht sie ja auch nicht. Und da man keine verkehrte Sicht auf das Eineck haben sollte: Es geht in einem Schritt einmal um den Kreis, Außen- und Mittelpunktswinkel sind also 360°. Schon bei einer Kehrtwende von 180° wie beim Zweieck bleibt kein Peripheriewinkel mehr übrig. Wendet man sich beim Übergang zum Eineck um weitere 180°, so sinkt er auf −180°, also 180° in die andere Drehrichtig.
Welche Kantenlänge, welchen Umfang, welche Fläche hat ein Zweieck? Diese Frage stellt man sich auch gerne für normale regelmäßige Polygone. Ich will sie für den Einheitskreis beantworten. Für andere Radien sind die Längen mit r zu multiplizieren, die Fläche mit r zum Quadrat.
Stellt man sich ein k‑Eck aus 2k gleichen rechtwinkligen Dreiecken vor, so hat jedes eine Hypotenuse von 1, eine Ankathete von cos(μ/2)=cos(180°/k) und eine Gegenkathete von sin(μ/2)=sin(180°/k). Jede Kante besteht aus zwei dieser Gegenkatheten, hat also ein Länge von a=2sin(180°/k). Der Umfang ist dann k‑mal so groß, nämlich U=2ksin(180°/k). Jedes der 2k rechtwinkligen Dreiecke hat somit eine Fläche von sin(180°/k)cos(180°/k)/2. Das ist das gleiche wie sin(360°/k)/4. Damit ergibt sich eine Gesamtfläche von F=(k/2)sin(360°/k). Hier die Werte für ausgewählte k‑Ecke:
Ecken/Kanten k 6 4 3 2 1 Kantenlänge a=2sin(180°/k) 1 √2 √3 2 0 Umfang U=2ksin(180°/k) 6 4√2 3√3 4 0 Fläche F=(k/2)sin(360°/k) (3/2)√3 2 (3/4)√3 0 0 Ecken/Kanten k 6 4 3 2 1 Kantenlänge a=2sin(180°/k) 1,000 1,414 1,732 2 0 Umfang U=2ksin(180°/k) 6,000 5,657 5,196 4 0 Fläche F=(k/2)sin(360°/k) 2,598 2,000 1,299 0 0Das Fünfeck ist ausgelassen, gleichwohl es eine schöne Aufgabe ist, den Sinus von 36 und 72 Grad auszurechnen. Für das Zweieck ergibt sich erwartungsgemäß eine Kantenlänge vom Kreisdurchmesser 2, das Doppelte 4 als Umfang und eine verschwindende Fläche.
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