Zahlwort

Wie die Dreieckszahlen D(n) sich aus den Dreiecken und die Quadratzahlen Q(n) aus den Quadraten ergeben, so leiten sich die Fünfeckzahlen F(n) aus den Fünfecken ab. Mit Sechs-, Sieben und weiteren -ecken ist es nicht anders:

    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4

Man sieht schon, daß ab 5 keine vernünftige geometrische Grundlage mehr vorhanden ist. Das nehme ich einmal als Grund, von Fünfeckzahlen und nicht von Fünfeckszahlen zu sprechen. Dreieckszahlen sind sozusagen die Zahlen des(!) Dreiecks, während Funkeckzahlen nur solche sind, die vom(!) Fünfeck abgeleitet werden, denn aus rein lautlichen Gründen müßte es ja immer K-eckszahlen oder immer K-eckzahlen heißen. Doch spielt auch die innere Einstellung eine Rolle, ebenso die Häufigkeit der Benutzung. Und außerdem schreibt man doch auch dreißig nicht mit Z, gleichwohl es wie fünfzig klingt.

Wenn man nicht in der Lage ist, den Abbildungen das Bildungsgesetz für die Fünfeckzahlen F(n) oder gar das der K-Eckzahlen, den Polygonalzahlen oder polygonal numbers P(k,n) abzulesen und aus der arithmetischen Reihe das Bildungsgesetz zu finden, dann hilft eine Aufstellung der ersten Zahlen, die man notfalls durch Abzählen ermitteln kann.

P(3,n):   1  3  6  10  15  21  28  36  45  55
P(4,n):   1  4  9  16  25  36  49  64  81 100
P(5,n):   1  5 12  22  35  51  70  92 117 145
P(6,n):   1  6 15  28  45  66  91 120 153 190

Die konstanten Zuwächse 0,1,3,6,10,15,... in den Spalten sind Dreieckszahlen, so daß die sich als richtig erweisende Vermutung naheliegt, daß P(k,n)=P(k-1,n)+D(n-1) ist. Für k=4 ist das die bekannte Beziehung Q(n)=D(n)+D(n-1).

Der obenstehenden Abbildung kann man entnehmen, wie man von der Fünfeckzahl F(n-1) zur Fünfeckzahl F(n) aufsteigt, indem man 3 Kanten mit n Punkten hinzunimmt und bedenkt, daß in 2 Ecken diese Punkte aufeinander fallen. Zusammen sind es also 3n-2 Punkte. Damit ist (n)=F(n-1)+3n-2 und somit

F(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n-2) = n*(3n-1)/2

Das ist nicht schwierig zu errechnen, weil es sich um eine arithmetische Reihe handelt. Schnell verallgemeinert sich für das k-Eck wie folgt: Es kommen k-2 Kanten zu n Punkten hinzu und an k-3 Ecken fallen die Punkte aufeinander. Damit ist P(k,n)=P(k,n)+(k-2)n-(k-3) und somit

P(k,n) = 1 + 2(k-2)-(k-3) + 3(k-2)-(k-3) + ... + n(k-2)-(k-3)
       = n((k-2)n-(k-4))/2

weil es sich wieder um eine arithmetische Reihe handelt. Tatsächlich erhalten wir für die ersten Spezialfälle:

D(n) = P(3,n) = n(1n+1)/2 = n(n+1)/2
Q(n) = P(4,n) = n(2n+0)/2 = n*n
F(n) = P(5,n) = n(3n-1)/2
S(n) = P(6,n) = n(4n-2)/2 = n(2n-1)

Dem kann man S(n)=D(2n-1) entnehmen. Damit ist jede zweite Dreieckszahl eine Sechseckzahl, die man aber nicht verwechseln sollte mit der Zahl der Punkte in einem voll ausgefüllten sechseckigen Muster.

Sloane | Figurierte Zahlen

Wenn man irgendetwas aus einem Bild oder anderen Realitäten heraus formalisiert, besteht immer die Gefahr, daß es sich erst nach langer Zeit als ungenau oder falsch herausstellt. Aus diesen falschen formalen Grundlagen korrekt abgeleitete Erkenntnisse bleiben natürlich richtig, doch sagen sie nicht mehr ohne weiteres etwas über die formalisierten Bilder und Realitäten aus. Dadurch wird die unter Mühen aufgebaute Theorie nicht falsch, doch möglicherweise wertlos.

Verschärft gilt das, wenn man versucht, wirtschaftliche Zusammenhänge, das menschliche Verhalten oder andere schwer durchschaubare Systeme zu formalisieren. Sie müssen stets ungenau bleiben und sind möglicherweise auch in einigen Aspekten falsch. Die auf dieser Basis formal und korrekt gewonnenen Erkenntnisse bleiben zwar in Ewigkeit gültig, es ist jedoch stets zu überprüfen, ob sich eine Ungenauigkeit übermäßig entwickelt hat und ob die Ergebnisse die Realität noch treffen.

Um später nicht nachbessern zu müssen, ist es also angebracht, auch in einfachen Fällen mehrere Wege zu einer Formalisierung einzuschlagen. Erweisen sich die Ergebnisse als gleich oder äquivalent, dann bestärkt das den Glauben, richtig abstrahiert zu haben. So sollte man es auch mit den Fünfeckzahlen halten, denn bei den Redeweisen "nehme ich k-2 Kanten hinzu" und "ziehe dann k-1 doppelte Ecken ab" könnten sich doch leicht Denkfehler eingeschlichen haben. Deshalb nochmals der Bildungsprozeß:

       1                  o                     1
     2   2              o   o                 2   2
   3  2 2  3          o       o             3  2 2  3
 4  3     3  4      o           o         4  3     3  4
  4  3 3 3  4  +  5               5  =  5  4  3 3 3  4  5
   4       4       5             5       5  4       4  5
    4 4 4 4         5           5         5  4 4 4 4  5
                     5         5           5         5
                      5 5 5 5 5             5 5 5 5 5

Wieder soll ermittelt werden, wieviele Punkte (im Beispiel mit 5 bezeichnet) hinzu kommen, wenn man von einer Fünfeckzahl (hier n-1=4) zur nächsten (hier n=5) übergeht. Dazu zählen wir nicht wie zuvor die Zahl der neuen Punkte als (5-2)n-(5-3)=3n-2, sondern nehmen erst einmal das ganze hohle Fünfeck mit 5(n-1) Punkten hinzu und ziehen die Anzahl 2n-3 der mit o gekennzeichneten doppelten Punkte wieder ab. Das führt ebenfalls auf 5(n-1)-(2n-3)=3n-2. Wir kommen also zum gleichen Ergebnis.

Im Falle k=5 bringt das noch keinen richtigen Vorteil. Im allgemeinen Falle hatten wir zuvor (k-2)n-(k-3) Punkte als hinzukommend gezählt, weil wir k-2 Kanten und k-3 doppelte Ecken zu sehen glaubten. Dieser Glaube wird bestätigt, wenn wir nun nach der neuen Methode das gleiche Ergebnis erzielen. Wir nehmen k(n-1) Punkte für ein hohles k-Eck hinzu und ziehen wieder 2n-3 doppelte Punkte ab. Zusammen ergibt das K(n-1)-(2n-3)=(k-2)n-(k-3).

Die neue Methode liefert nicht nur das gleiche Ergebnis wie die alte, sie ist auch sicherer, da nur einmal k vorkommt, und dann auch noch ohne Abzüge wie zuvor mit k-2 und k-3. Trotzdem basiert diese Methode auf dem gleichen Bild und dem gleichen Prozeß. Es könnten sich also gleichartige Fehler eingeschlichen haben. Deshalb soll eine dritte Methode Sicherheit bringen. Dazu wird das doch ab dem Fünfeck recht unebenmäßige Bild durch Verschiebung der Punkte verändert, um sie dann einfacher direkt und ohne Aufstieg von kleineren zu größeren Gebilden zählen zu können.

1 2 3 4 5           1         5 5 5 5 5     B B B B A
2 2 3 4 5         2 2 2        4 4 4 4 5     B B B A A
3 3 3 4 5       3 3 3 3 3       3 3 3 4 5     B B A A A
4 4 4 4 5     4 4 4 4 4 4 4      2 2 3 4 5     B A A A A
5 5 5 5 5   5 5 5 5 5 5 5 5 5     1 2 3 4 5     1 2 3 4 5

Alle vier vorstehenden Figuren beinhalten 25=5*5 Punkte und sind auch alle sinngemäß auf andere Größen n als 5 fortzusetzen. Das erste Bild ist das normale Quadrat und besagt direkt, daß Q(n)=n*n ist. Das zweite Bild gibt das Bildungsgesetz Q(n)=1+3+5+...+(2n-1) wieder. Das dritte Bild zeigt eine rautenförmige Verzerrung des ersten Bildes. Und das vierte bezeichnet dessen Punkte nur anders und macht direkt deutlich, daß Q(n)=n+2*D(n-1) ist.

Diese vierte Bild ist interessant. Die Raute entsteht dadurch, daß der Winkel des Quadrates an der mit 1 bezeichneten Ecke von 90 Grad auf 120 Grad aufgedreht wird. Das kann man auch mit dem Fünfeck machen. Man dreht den Winkel von 108 Grad auf 180 auf und erhält:

     5 5 5 5 5           B B B B A
    5 4 4 4 4 5         C B B B A A
   5 4 3 3 3 4 5       C C B B A A A
  5 4 3 2 2 3 4 5     C C C B A A A A
 5 4 3 2 1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5

Am zweiten Bild ist sofort zu erkennen, daß F(n)=n+3*D(n-1) sein muß, was mit den bisherigen Ergebnissen übereinstimmt. Das so gebildete halbe Sechseck verdeutlicht eine Beziehung zu anderen Zahlen, auf die es hier aber nicht ankommt, denn hier geht es um die Verallgemeinerung auf größere n. Für n=6 muß der Winkel bei der 1 von 120 Grad auf 240 Grad aufgebogen werden, um aus der häßlichen Originalfigur für Sechseckzahlen ebenfalls eine ebenmäßige zu machen:

     5 5 5 5 5           B B B B A
    5 4 4 4 4 5         C B B B A A
   5 4 3 3 3 4 5       C C B B A A A
  5 4 3 2 2 3 4 5     C C C B A A A A
 5 4 3 2 1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5
  5 4 3 2             D D D D
   5 4 3               D D D
    5 4                 D D
     5                   D

Wieder erhalten wir eine ähnliche Formel, nämlich S(n)=n+4*D(n-1). Und das setzt sich für k-Ecke so fort mit P(k,n)=n+(k-2)*D(n-1). Ich rechne nicht vor, daß dies wieder auf das gleiche Ergebnis führt. Nur auf einen Umstand will ich noch hinweisen, der abermals zur Vorsicht im Umgang mit endlichen Bildern für die Unendlichkeit mahnen soll. Für n=7 kann ich dem Bild ja noch ein fünftes Dreieck aus lauter E hinzufügen, doch bei n=8 liegen die F schon auf den Zahlen und bei n=9 fallen die G auf die A, usw. Das macht aber nichts. Will man die Punkte alle einzeln zeichnen, dann muß man mehrere Papierblätter an der Linie "1 2 3 4 5" aufschneiden und zu einer Spirale verkleben.

Die der Definition der Polygonalzahl leitete sich von Bildern ab, die ab den Fünfeckzahlen (k=5) löchrich und unschön sind. Für eine eigenständige Bedeutung bedarf es also zusätzlicher Argumente. Die Griechen hätten schon die Zahl 5 für ausreichend gehalten. Eine geometrische Rechtfertigung der Fünfeckzahlen besteht in der schon erwähnten halben Sechsecken:

     5 5 5 5 5           B B B B A
    5 4 4 4 4 5         C B B B A A
   5 4 3 3 3 4 5       C C B B A A A
  5 4 3 2 2 3 4 5     C C C B A A A A
 5 4 3 2 1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5

Das beruht auf der Formel F(n)=n+3*D(n-1) als Spezialfall von P(n,k)=n+(k-2)*D(n-1), aus der man leicht für alle l<k die Beziehung P(n,k)=P(n,l)+(k-l)D(n-1) ableitet. Deshalb kann man für Fünfeckzahlen auch Quadrate und Dreiecke zu Häusern gemäß F(n)=Q(n)+D(n-1) zusammensetzen:

    5           D
   4 5         D D
  3 4 5       D D D
 2 3 4 5     D D D D
1 2 3 4 5   Q Q Q Q Q
2 2 3 4 5   Q Q Q Q Q
3 3 3 4 5   Q Q Q Q Q
4 4 4 4 5   Q Q Q Q Q
5 5 5 5 5   Q Q Q Q Q

Für Sechseckzahlen nunmehr noch ein Dreieck an das Quadrat zu kleben wäre etwas blöd. Schöner sind drei drei Dreiecke an ein weiteres gemäß S(n)=D(n)+3*D(n-1)

      o               4
     o o             4 4
    o o o           3 4 4
   x x x x         3 3 4 4
  o x x x o       2 3 3 4 4
 o o x x o o     2 2 3 3 4 4
o o o x o o o   1 2 2 3 3 4 4

Das verdeutlicht auch die schon erwähnte Beziehung S(n)=D(2n-1). Für Siebeneckzahlen fällt mir kein vernünftiges Bild ein. Aber für Achteckzahlen ein vierzackiger Stern

               O

             O   O

           O   O   O

         X   X   X   X
      O                 O
   O     X   X   X   X     O
O     O                 O     O
   O     X   X   X   X     O
      O                 O
         X   X   X   X

           O   O   O

             O   O

               O

denn P(8,n)=Q(n)+4*D(n-1)=n(3n-2).