Zahlwort

Der päpst­lichen 84 hätte ich nicht irgend­eine Zahl wie 230 fol­gen las­sen dür­fen. Es hätte gleich 53 sein müssen, denn

2 hoch 84 = 19342813113834066795298816 und
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723

liegen bemer­kens­wert nah bei­ein­ander, was zur Tei­lung der Oktave in 53 glei­che Inter­valle ver­lei­tet. Die Quinte läge mit 84−53=31 Inter­val­len nur 0,069 Cent unter der reinen. Auch große und kleine Terz werden mit 17 und 14 recht genau getrof­fen. Ihre Diffe­renz von 3 Ton­schrit­ten ist deut­lich gerin­ger als die 5 eines dia­toni­schen Halb­tones. Zwei davon über­steigen die 8 und 9 eines klei­nen bzw. großen Ganz­tones deut­lich. Und deren Diffe­renz von einem Schritt trifft gut das syn­toni­sche Komma.

Damit ist die 53‑Tei­lung der Oktave geeig­net, die enhar­moni­schen Ver­wech­selun­gen unse­rer 12‑Ton­lei­ter zu stu­die­ren. Und selbst­verständ­lich wurde begin­nend mit der Tei­lung der schwar­zen Tasten ver­sucht, geeig­nete Instru­mente zu bauen. Heut­zutage kann man die Töne elektro­nisch erzeu­gen und eine ge­schick­te Bele­gung der Compu­ter­tasta­tur ver­suchen. Doch prak­tisch sind auch dann 53 Töne einfach zuviel.

Wie kommt man auf 53, nicht 24 oder 36? Und eigent­lich auch: Warum 12? Dazu ent­wickelt man die reine Quinte von ld(3∕2) Okta­ven ein­fach in einen Ketten­bruch:

1,0000000 : 0,5849625 = 1 Rest 0,4150375  1=1·1+0    1=0·1+1
0,5849625 : 0,4150375 = 1 Rest 0,1699250  2=1·1+1    1=1·1+0
0,4150375 : 0,1699250 = 2 Rest 0,0751875  5=2·2+1    3=2·1+1
0,1699250 : 0,0751875 = 2 Rest 0,0195500 12=2·5+2    7=2·3+3
0,0751875 : 0,0195500 = 3 Rest 0,0165375 41=3·12+5  24=3·7+3
0,0195500 : 0,0165375 = 1 Rest 0,0030125 53=1·41+12 31=1·24+7
0,0165375 : 0,0030125 = 5 Rest 0,0014750

Eine gemessen am Auf­wand sehr gute gleich­schwe­bende Tei­lung der Oktave erhält man durch Abschnei­dung des Ketten­bruches ld(3/2)=[0;1,1,2,2,3,1,5,…] vor einer mög­lichst großen Stelle. So ergibt [0;1,1,2,2]=7/12 unsere 12‑Ton­leiter mit einer um 1,995 Cent zu klei­nen Quinte. Die nächste bessere aus [0;1,1,2,2,3,1]=31/53 ist die 53‑Ton­leiter, deren Quinte nur um 0,069 Cent zu klein ist. Das kann kein Mensch mehr hören. Auch die 2 Cent Verstim­mung der 12‑Ton­leiter nur anhand von Schwebungen.

31 | 84 | Oktave | Quinte

Auf der Suche nach der Zahl 53 lese ich von einer Hysterie der Italiener zu Beginn dieses Jahres, weil die Zahl 53 schon lange nicht mehr im Lotto gezogen wurde. Wie gelassen rea­gieren dagegen die Deutschen: In ihrem Lotto kam die 53 noch nie vor, und keiner regt sich auf.

Doch Spaß beiseite: In meiner Kindheit habe ich die Lotto- und Toto-​Nach­richten gelesen. Darin waren die Ziehungs­häufig­keiten und Rück­stände der 49 Lotto­zahlen ver­zeichnet, die zwei Klassen gleicher­maßen falsch denkender Menschen bedienen. Die einen meinen, es gäbe einen Grund für die Häufig­keit mancher Zahlen, der auch in der Zukunft bestehen bleibt. Die anderen glauben noch abstruser, daß die ausge­lassenen Zahlen in der Zukunft dran sein müßten, da letzt­lich alle gleich oft gezogen würden.

Viele Menschen ordnen einer zwei­stelligen Zahl gerne die ziffern­ver­tauschte zu. Gestern schrieb ich etwas zur Zahl 35, und schon seit Tagen verfolgt mich im Werbe­fern­sehen die 53 auf einem VW‑Käfer namens Herbie.