Zahlwort

Es gibt deutlich einfachere Zahlen als die primen, doch sind sie von funda­mentaler Bedeutung und gewiß würdig vor den Quadraten betrach­tet zu werden, gleich­wohl dies in keiner Weise auch nur annä­hernd erschöp­fend möglich ist, zumal es über sie viele Bücher gibt und sich ein ganzer Zweig der Mathe­matik, nämlich die Zahlen­theorie, großen­teils und gerne mit Prim­zahlen beschäf­tigt.

Eine natürliche Zahl n=1,2,3,... heißt prim, wenn die Anzahl ihrer Teiler d(n)=2 ist.¹ Dabei heißt eine natür­liche Zahl a Teiler von n, wenn es eine natür­liche Zahl b mit ab=n gibt. Die beiden Teiler einer Primzahl n sind natür­lich 1 und n selbst. Damit ist auch klar, daß 1 keine Primzahl ist, weil sie nur einen einzigen Teiler hat, also d(1)=1 ist. Alle Nicht-​Prim­zahlen außer 1 heißen zusammen­gesetzt. Für sie ist d(n)>2, womit sie einen echten Teiler a haben. Das ist einer mit 1<a<n.

Die Definition sondert aus der Menge ℕ der natür­lichen Zahlen die Teil­menge ℙ der Prim­zahlen aus. Die Primzahl­folge² ergibt sich in kano­nischer Weise durch die Anord­nung der Prim­zahlen nach ihrer Größe. Dies führt zu einer mit Posi­tion 1 begin­nenden Numerie­rung der Prim­zahlen. Die erste ist p(1)=2, die zweite p(2)=3, die dritte p(3)=5 usw. Ein kurzes Anfangs­stück der gerne bis zum Qualmen der CPU berech­neten Prim­zahlen lautet:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 ...

Das alles mag einem einfach und selbst­verständ­lich erscheinen, doch selbst mit den Prim­zahlen verbun­dene simple Fragen können schon sehr schwer zu beant­worten sein. Das wohl berühm­teste Beispiel ist die Goldbach-​Vermutung, daß sich jede gerade Zahl größer als 4 als Summe zweier (ungerader) Prim­zahlen schreiben läßt:

 6 = 3 + 3   14 = 3 + 11   22 = 3 + 19   30 = 7 + 23   38 = 7 + 31
 8 = 3 + 5   16 = 3 + 13   24 = 5 + 19   32 = 3 + 29   40 = 3 + 37
10 = 3 + 7   18 = 5 + 13   26 = 3 + 23   34 = 3 + 31   42 = 5 + 37
12 = 5 + 7   20 = 3 + 17   28 = 5 + 23   36 = 5 + 31   usw.

Bis heute ist diese Behauptung unbewiesen und auch nicht widerlegt, obwohl sie sehr plau­sibel erscheint, weil man zumeist wie hier bis zur Zahl 42 mit recht kleinen Summanden hinkommt. Deshalb möge der geneigte Leser die 98 versuchen, um zu erahnen, daß es bei sehr großen Zahlen doch recht unan­genehm werden könnte.

 ¹ Das ist im Bereich der natürlichen Zahlen äqui­valent zu einer in weiteren Bereichen gültigen Defini­tion: p ist prim, wenn sie weder 0 noch eine Einheit ist und für alle durch p teil­baren Pro­dukte ab bereits einer der Faktoren durch p geteilt wird, wenn man p also nicht auf mehrere Faktoren ver­teilen kann. Da 1 eine Einheit in den natür­lichen Zahlen ist, scheidet sie als Primzahl aus. Man kann also nicht d(n)=2 durch d(n)≤2 ersetzen.
 ² The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Primzahlen A000040, nicht zusammen­gesetzt A008578.

Sieb des Eratosthenes