Zahlwort

Zur Darstellung der natürlichen Zahlen verwenden wir üblicher­weise die auch Ziffern genannten Zeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Einer Ziffern­folge, zumeist als Zeichen­kette aus diesen Ziffern geschrie­ben, kann leicht in der uns bekannten Weise eine Zahl zuge­ordnet werden. Umgekehrt kann jede natür­liche Zahl auch als eine solche Ziffern­folge geschrie­ben werden. Diese dezi­male Darstel­lung der natür­lichen Zahlen ist ein­deutig, wenn man keine führen­den Nullen erlaubt. [1]

Bekanntlich wurde die 0 erst spät benutzt, manche sagen erfunden. Sie war entbehr­lich, solange man mit Rechen­brettern arbeitete, wie die Römer für jede Stelle andere Zahl­zeichen hatte oder sich wie die Baby­lonier die leeren Posi­tionen nur dachte bzw. andeu­tete. Auch ein Posi­tions­system wie unseres, das den Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängig macht, benö­tigt nicht unbedingt eine Null.

Warum verzichtet der Finger zählende Mensch auf ein eigenes Zahl­zeichen für zehn? Mit einem solchen Zeichen, das ich hier wie die Römer als X schreibe, hätte man sich die Null ersparen können. Sonst bliebe alles, wie wir es kennen. Eine um eins höhere Position erhöht den Wert um den Faktor zehn. Dieses alter­native Zahlsystem (ANS, alter­nate number system) ist also wie das gebräuch­liche (ENS, exi­sting number system) ein Dezimal­system:

ENS: 1 ... 9 10 11 ... 20 21 ... 99 100 101 ... 109 110 111 ...
ANS: 1 ... 9  X 11 ... 1X 21 ... 99  9X  X1 ...  X9  XX 111 ...

Robert R. Forslund [2] hält das ANS unserem ENS für überlegen, denn dank der fehlenden 0 ist jeder Ziffern­kette eindeutig eine Zahl zuge­ordnet und umge­kehrt. Im ANS gibt es 10 (besser X) ein­stel­lige, 100 (besser 9X) zwei­stel­lige und 1000 (besser 99X) drei­stel­lige Zahlen. In unserem ENS sind es nur 9, 90 und 900.

Gewiß muß man sich daran gewöhnen, im ANS zu rechnen. Es allein deshalb dem ENS als unter­legen zu sehen, ist natür­lich unfair. Man sollte sich schon fragen, ob jahre­langes Trai­ning in der Schule nicht die gleiche Geläu­fig­keit nach sich zöge. Ich glaube nicht. Betrach­ten wir dazu nur ein­fache Addi­tions­aufgaben, die viele Men­schen nur durch­zuführen imstande sind, wenn sie die Über­träge notieren. Ein Beispiel:

ENS   ANS
2005  19X5
1907  18X7
..1.  .21.
----  ----
3912  3912

Schon bei der Addition zweier Zahlen treten im ANS Überträge von 2 auf. Das haut einen geübten Rechner nicht vom Hocker, zumal er mit 10 gut rechnen kann und Zahlen ohne X der üblichen Darstellung entsprechen. Doch eine kleine Erschwer­nis ist durchaus schon bei leichten Adddi­tionen zu erkennen und damit ein Anzei­chen dafür, daß die 0 gegenüber der X wohl die bessere Wahl ist, die Evolution sich hier nicht geirrt hat.

Oftmals überlegen ist das ANS bei Zahlen­spiele­reien mit Ziffern­vertau­schungen. So entsteht nicht die Frage, ob 3 oder 03 die Umkeh­rung von 30 ist. Die Suche nach EPORN, also nach Zahlen, die auf zwei­fache Weise durch das Produkt zweier ziffern­vertausch­ter Zahlen sind, führt nicht auf eine Reihe von entar­teten Fällen wie dem der klein­sten ENS-EPORN

2520 = 210 · 012 = 021 · 120

Im ANS muß man schon etwas über diese Zahl hinaus­gehen. Die kleinste aller ANS-EPORN ist

634X4 = 441 · 144 = 252 · 252 = 63504

Da in den Faktoren keine X vorkommt, ist die Zahl zugleich normale ENS-EPOPN, nämlich die kleinste unter den nicht entar­teten. Es gibt auch allei­nige ANS-EPORN. Die kleinste ist:

1623X9 = 961 · 169 = 3X3 · 3X3, also ANS-EPORN
162409 = 961 · 169 = 403 · 403 scheitert im ENS

Der skeptische Leser wird sich fragen, ob 162409 nicht auf eine andere Weise spie­gelbild­lich fakto­risiert werden könnte und so dennoch ENS-EPORN sein könnte. Doch weitere zwei Faktoren lassen sich aus 162409=13·13·31·31 offen­sicht­lich nicht zusam­men­basteln.

[1] Wikipedia. Bijec­tive Nume­ration. Das gilt als mathema­tische Folk­lore und wurde deshalb häufig ‚wieder­entdeckt‘. Im Artikel ist Forslund [2] erwähnt, aber auch ein Band von Donald E. Knuth [3], den ich mein eigen nenne.

[2] Robert R. Forslund: A Logical Alter­native to the Existing Posi­tional Number System. South­west Journal of Pure and Applied Mathe­matics 1:27, 1995. Nicht als gedruckte Zeit­schrift und im Netz wohl auch nur mit Hand­ständen. Hier als PS-Datei, woanders auch DVI. Mein alter Verweis, der dem unter A007932 (ANS-Ternär­zahlen ohne 0, aber mit 3) ent­sprach, scheint zwischen­zeitlich tot. So wird sich das ANS nie durch­setzen.

[3] Donald E. Knuth: The Art of Computer Program­ming - Volume 2 / Semi­nume­rical Algo­rithms. Addison-​Wesley, 2. Auf­lage, 1981. Die Wiki­pedia [1] verweist recht verquer auf auf eine Bemer­kung in der der Ant­wort zur Übung 4.1-24 auf Seite 195 der 1. Auflage: „If we drop the restric­tion 0∈D, there are many other cases, some of which are quite inte­resting, espe­cially {1,2,3,4,​5,6,7,​8,9,10}, …“

13 | 31 | EPORN

Der Gedanke, dass die Null nur ein Produkt unserer gebräuchlichen Darstellungsweise ist, stürzt mich in tiefe Verwirrung. Was ist denn bei den alten Römern rausgekommen, wenn die eins minus eins gerechnet haben? Nihil?

Hätte sich die Menschheit für das ANS (alter­nate number system) zur Basis 10 ent­schie­den, lebten wir jetzt gerade im Jahre 19X6. Ein Jahr-​2000-​Problem hätten wir dann gar nicht gehabt, nur elf Jahre später ein Jahr-​1X11-​Problem, wenn die Endzif­fern XX des Jahres 19XX=2010 auf 11 des Jahres 1X11=2011 springen und die Gefahr einer Verwech­selung mit dem Jahre 1911 bestünde. Wir hätten uns also elf Jahre länger auf damit verbun­dene Schwie­rig­keiten vorbe­reiten können. Und der Jahr­tausend­wechsel (besser Wechsel der letzten drei Stellen) wäre erst von 1XXX=2110 auf 2111 in über hundert Jahren.

Über diese elf Jahre Aufschub hinaus ist Robert R. Forsl­und wohl auch der Meinung, daß die Menschheit samt ihren Computern so und so schon viel weiter wäre, hätten wir nicht auf die Null gewartet und gleich das ANS benutzt. Diese Ansicht vermag ich nicht zu teilen. Viel­mehr ist es gut möglich, daß mit dem ANS gerade eben erst die Dampf­maschine ihren Sieges­zug ange­treten hätte. Mit dem ANS läßt sich näm­lich sehr schlecht rechnen.

Addition und Multi­pli­kation gehen noch, doch die Divi­sion ist schreck­lich. Nehmen wir einmal eine einfache Divi­sions­aufgabe:

2387543 : 793 = 3010 Rest 613
2379
----
   854
   793
   ---
    613

Verfährt man analog im ANS, kommt man schnell in eine Sackgasse:

2387543 : 793 = 3...
2379
----
   85

Die 85 ist zu klein, und man kann die 4 nicht runterholen, um zur 854 zu gelangen, weil dazu ja eine Ziffer 0 im Divisions­ergebnis akzep­tiert werden müßte. Also darf im ersten Schritt nur zweimal 793 abge­zogen werden, gleichwohl 793 dreimal in 2387 reingeht:

2387543 : 793 = 2X1.
1586
----
 7X15
 792X
 ----
   854
   793
   ---
    61

Auch die 61 ist zu klein. Die 793 kann also nur neu­nmal von 7X15 abgezogen werden, obwohl sie zehnmal reingeht:

2387543 : 793 = 29XX Rest 613
1586
----
 7X15
 7137
 ----
  8784
  792X
  ----
   8543
   792X
   ----
    613

Nun hat es endlich geklappt. Wie hätte man die beiden Fehl­versuche ver­meiden können?

Die erste Idee ist, stets einen genügend großen Rest zu lassen, der aber auch nicht zu groß sein darf, sonst kommt es zu ‚Ziffern‘ oberhalb von X. Leider ist es eine unan­genehme Entschei­dung, ob man ein Viel­faches weniger als möglich abziehen soll. Besser ist sicher­lich, im Divi­sions­ergeb­nis die Ziffer 0 zuzu­lassen, also das ENS-​Ergeb­nis zu berechnen und erforder­lichen­falls in die ANS-Zahl zu wandeln. Doch das kann die reine Lehre nicht durch­gehen lassen. Und so ist es wohl das beste, wie üblich stets einen mög­lichst kleinen Rest zu lassen und wie im ENS notfalls mehr als eine Ziffer herunter zu holen, aber die dadurch im Ergebnis auftre­tende 0 zu ver­meiden, indem das Zwischen­ergebnis sofort korri­giert wird:

2387543 : 793
2379          = 3...  (3 mal, also Beginn mit 3) 
----
   85
  nix         = 2X..  (nix, aber 2X statt 3)
  ---
   854
   793        = 2X1.  (1 mal, also 1 angehängt)
   ---
    613
    nix       = 29XX  (nix, aber 9XX statt X1)
    ---
    613

Damit ist zwar das Verfahren analog dem im ENS, doch leider durch die Zusatz­arbeit erschwert, die entsteht, wenn mehr als eine Ziffer runter­zuho­len ist. Und ein ganz anderes, auf das ANS zuge­schnit­tenes Divi­sions­ver­fahren sehe ich nicht.

Vordergründig wirbt Robert R. Forslund mit dem ANS (alter­nate number system) nur für eine Zahl­bezeich­nung ohne die Ziffer 0. Ich vermute aber, es geht ihm um ihre voll­stän­dige Vermei­dung, zumin­dest um eine Reduk­tion ihrer Bedeu­tung. Sie soll nicht mehr die positiven von den negativen trennen und beide zu den ganzen Zahlen ergän­zen. Deshalb betrach­tet er zwei oder sogar mehr gleich­berech­tigte Kopien der natür­lichen Zahlen.

Ich beschränke mich auf zwei Bereiche, die ich rot und grün dar­stelle, um eine vor­schnelle Zuord­nung auf positiv und negativ zu ver­meiden. Zunächst gestat­tet Fors­lund nur Addi­tionen inner­halb einer Farbe. So ist für ihn 2+3=5 und 4+6=X, wäh­rend 2+6 undefiniert bleibt. [1]

Die Multiplikation sieht Forslund als eine fort­gesetze Addi­tion. So ist er eigent­lich nur zu Pro­dukten wie 3·2=2·3=2+2+2=6 und 4·5=5·4=1X bereit. [2] Er schickt sich auch an, die Multi­plika­tion mit den schwar­zen natür­lichen Zahlen als innere Ver­knüp­fung in die rote und grüne Kopie zu über­nehmen, also 2·3=3·2=6 und 4·5=1X zu setzen. Mit unseren ganzen Zahlen (auch ohne 0) ist das nur unter Aufgabe der Symme­trie in Ein­klang zu bringen ist. Gemischt­farbige Produkte können nicht alle die gleiche Farbe haben. Eine Lösung wären allen­falls Produkte, die stets die Farbe des Multi­plikan­den oder des Multi­plika­tors aufweisen. [3] Zum Beispiel 2·3 = 6 und
2·3 = 6. Damit würde aber das Kommu­tativ­gesetz nicht mehr gelten. Wenn die Multi­plika­tion der beiden Farben rot und grün sinn­voller­weise den üblichen Rechen­gesetzen gehor­chen soll, dann ist nur

rot·rot = grn·grn = rot  und  rot·grn = grn·rot = grn
                       o d e r
grn·grn = rot·rot = grn  und  grn·rot = rot·grn = rot

möglich. [4] Im ersten Falle sind die roten Zahlen die positiven, im zweiten die grünen. Beide Struk­turen sind letztlich gleich und Ausformungen dessen, was wir normalerweise als ganze Zahlen (ohne 0) bezeichnen.

Forslund will das nicht wahrhaben, sieht konse­quenter­weise (-2)(-3)=(-6) und -2 als Quadrat­wurzel aus -4. Das könnte so manchem Schüler gefallen. Es ist auch nicht verboten, sich mit solchen Struk­turen zu beschäf­tigen. Nur sind es eben nicht die ganzen Zahlen und schon gar keine Ver­besse­rungen der­selben.

[1] Unsere Vorfahren rechne­ten lange Zeit nur mit Mühen über die Grenze zwischen nega­tiven und posi­tiven Zahlen hinweg, kannten erstere eigent­lich gar nicht. Sie bil­deten zu den natürlichen (positiven) Zahlen eine weitere Entität wie Soll und Haben auf einem Giro­konto. Multi­pli­ziert wurden beide nur mit einer dritten, den (posi­ti­ven) Multi­plika­toren. Gleiches galt für die Divi­sion. Allein die Subtrak­tion konnte aus dem jewei­ligen Bereich heraus­führen. Dann hat man besten­falls die Subtrak­tion umge­dreht und das Ergeb­nis in der anderen Enti­tät gesehen. Das war nicht blöd, denn wir Menschen machen es immer noch so, weil es anschau­lich ist.

[2] Das ist ähnlich einem Skalar­produkt von schwar­zen Körper­elemen­ten mit farbi­gen Vekto­ren. Die schwar­zen Multi­plika­toren sind die natürlichen Zahlen, aus denen die roten und grünen kopiert wurden.

[3] Der normale Mensch kennt nur Summanden und Faktoren, weil die Multi­pli­kation der reelen Zahlen kommu­tativ ist. Da die Multi­pli­kation aber als ite­rierte Addi­tion einge­führt wird, haben linker und rechter Faktor eigene Namen. Offen­sicht­lich hat man sich ent­schieden, rechts einen Multi­plika­tor zu sehen, der auf den linken Multi­pli­kanden wirkt. Schließ­lich steht der Divisor ja eben­falls rechts. Ober­schlaue Lehrer sehen 3·5=5+5+5 als falsch umge­formt. Und ebenso ober­schlaue Schüler antworten auf die Frage, wieviel denn 3 mal 5 sei: 3 mal 5 ist 5 mal 3, denn es gilt ja das Kommu­tativ­gesetz. Ich dagegen sähe den Multi­pli­kator lieber links, weil man Ska­lare fast immer vor den Vektor schreibt, sofern es nicht gerade ein Rechts­vektor­raum über einem nicht­kommu­tativen Körper ist.

[4] Einzig originell fände ich eine dritte Farbe mit der Regel: Das Produkt zweier gleicher Farben erhält sich, das Produkt zweier ver­schie­dener hat die dritte. Das ist in etwa so, als gäbe es drei Geschlech­ter und zwei gleich­farbige ver­mehr­ten sich gar nicht nicht oder zeugten stets ein Kind der eigenen Farbe, wäh­rend der Nach­wuchs ver­schie­denfar­biger Eltern immer die dritte Farbe hätte.

Trigender

Das Problem von Robert R. Forslund besteht darin, das ANS (alter­nate number system) nicht allein als eine andere Schreib­weise der natür­lichen Zahlen zum Zwecke beson­derer Bedürfnisse vorzu­schlagen. In seinem missio­nari­schen Null-​Vermei­dungs-​Eifer mag man noch darüber hinweg­sehen, daß die Zehner­poten­zen schlecht darge­stellt werden, die Multi­plika­tion mit zehn zu schwer ist und das Divi­sions­ver­fahren viel Gefühl ver­langt. Sich dann aber nicht nur an die nega­tiven, sondern auch die gebro­chenen Zahlen heran­zumachen, unter­gräbt sein eigenes Anlie­gen:

ENS: 0,1,2,...,8,9   ANS: 1,2,3,...,9,X

1     1,00  1,0000   1      .9X   .999X
1,05  1,05  1,0500    .X5   .X5   .X49X
1,1   1,10  1,1000   1.1    .XX   .X99X
1,15  1,15  1,1500   1.15  1.15  1.149X
1,2   1,20  1,2000   1.2   1.1X  1.199X
8,09  8,09  8,9000   7.X9  7.X9  7.X89X 

In der üblichen Weise geht es offen­sicht­lich nicht, auch wenn man sich nach einer Weile an 9999X statt 100000 gewöhnt haben mag. Daß die 0 fehlt, wenn man mehr Nach­komma­stellen als erfor­der­lich schrei­ben will, ist ein leichter Mangel. Viel schwerer wiegt, daß im Bereich von n bis n+1/9 vor dem Komma nicht die ganze Zahl n, sondern n−1 steht. Dabei bin ich mit dem Beispiel 1,05=.X5 noch groß­zügig gewesen. Wie sähe 0,05 im ANS aus? Man kann doch den Zahlen nicht ver­bieten, kleiner als 1/9 zu werden.

Um die Notationsschwierigkeiten zu mindern, wenn man die 0 meidet wie der Teufel das Weih­wasser, habe ich bereits die ameri­kanische Schreibweise ohne eine ein­zelne 0 vor dem Komma gewählt und bin auch bereit, insbe­sondere für Zahlen unter­halb von 1/9 eine Dar­stellung zu wählen, wie man sie vor allem vom Rech­nen mit Loga­rith­men kennt:

lg(1024) ≈ 3,10200 = 0,010200+3   lg(X24) ≈ .9XX19X+2
lg(10)   = 1       = 0,0+1        lg(X)   = .+1

Doch man mogelt sich nicht aus dem Umstand heraus, daß auch im ANS die hinten und vorne nicht geschriebenen Ziffern im Geiste Nullen sind. Alle diese Probleme sieht wohl auch Robert R. Fors­lund und schlägt vor, gebro­chene Zahlen durch einen Ketten­bruch oder einen nor­malen Bruch darzu­stellen:

0,105 = .XX5-1 = X5/99X = 21/19X = [;9,1,1,X] = [0;9,1,1,10]

Doch wer kann schon Kettenbrüche addieren oder Brüche runden? Eine nahe­liegende Methode wäre, die ANS-​Zah­len zunächst in das allge­mein bekannte ENS zu wan­deln, darin die Rech­nung auszu­führen, um das Ergeb­nis wieder in eine ANS-​Dar­stel­lung zu über­führen. Auf diesem Stand waren auch die alten Griechen, die mit ihren Zahlen eben­falls nicht rechnen konnten. Sie wandel­ten erst in baby­loni­sche, rech­neten damit und über­setzen das Ergeb­nis wieder in ihre ver­queren Buch­staben. So wurden sie zu Geo­metern.

Robert R. Forslund scheint letztlich einzu­sehen, daß sein ANS nur einge­schränkt taug­lich ist: „I fully realize the useful­ness of deci­mal values in calcu­lations, however the point is that in the theory of numbers, deci­mals are not neces­sary.“ Mit deci­mals meint er die nor­malen Dezimal­zahlen, gleich­wohl seine auch welche sind.

Aber das wußte man doch schon immer: Dezimal­zahlen sind in der Zahlen­theorie nur von Bedeu­tung, wo ihre Darstel­lung selbst selbst betrach­tet wird. Es ist auch jedem Zahlen­theore­tiker klar, daß die Nutzung von Dezimal­zahlen nur ihrer Geläu­fig­keit geschul­det ist und er auch andere Darstel­lungen, ja sogar das ANS nutzen könnte, wenn es sein müßte und seine Lebens­zeit dies zuließe.

Daß auch Außerirdische Zahlen so dar­stellen werden, wie wir es übli­cher­weise tun, wenn auch mit anderen Zeichen und zu einer anderen Basis, von oben nach unten oder rechts nach links, scheint mir ziem­lich gewiß. Die alter­nativen Mög­lich­keiten wie Ketten­brüche werden sie selbst­ver­ständ­lich kennen, doch gleich­falls nur in beson­deren Situa­tionen ein­setzen. Sie werden keine Hand­stände voll­führen, nur um auf eine unge­liebte Null ver­zichten zu können.

Deshalb hat es mich nicht gewundert, die Einlassungen von Robert R. Fors­lund bei [1] zu finden, wenn auch die dort vorge­nommene Einstu­fung „crankiest“ mir nicht voll gerecht­fertigt erscheint. Immer­hin ist es grund­sätz­lich einen Gedan­ken wert, die Ziffer 0 durch eine für die Zahl 10 zu erset­zen, zumin­dest zu ergrün­den, warum das nicht sinnvoll und deshalb auch so nicht gekom­men ist.

[1] crank DOT NET. Es sind Jahre vergangen, und ich habe dort nichts mehr gefunden. Wahr­schein­lich weil der Verweis auf den Aufsatz von Robert R. Fors­lund ungül­tig wurde.