Zahlwort

Soll ein Mensch eine Farbe, ein Werkzeug und eine zwei­stel­lige Zahl nennen, die keine Schnaps­zahl oder ein Viel­faches von zehn ist, dann soll zumeist „rot, Hammer und 37“ geant­wortet werden. Dabei wird sich kaum einer von den Bezie­hungen zur 73 und zur 666 leiten lassen, auch nicht von Sechs­ecken und Sternen aus 37 Punk­ten. Ich erkläre mir das wie folgt: Wann immer man um eine solche Zahl gebeten wird, droht die Gefahr eines Zahlen­tricks, dem man unwill­kür­lich durch die Auswahl einer schweren Zahl begeg­nen möchte. Diesen Ein­druck erweckt die Prim­zahl 37, deren Ziffern beide wiederum Prim­zahlen sind.

Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwin­gen sie Teil­bar­keit durch sich selbst. Insbe­sondere sind die Umkeh­rungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Prim­zahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 aus­scheiden lassen, weil 1 keine Prim­zahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Frage­stel­lungen heißt es durchaus „nicht zusammen­gesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotz­dem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu ein­faches Aus­sehen. So bleibt als ein­ziger Konkur­rent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nach­sehen hat.

Nach diesen Vorbemer­kungen ist es nicht ver­wunder­lich, wenn in Prim­zahl­spiele­reien gerne die Ziffern 3 und 7 vor­kommen. Eine davon gipfelt in folgen­dem Diagramm:

     7
    7 3
   7 3 9
  7 3 9 3
 7 3 9 3 9
7 3 9 3 9 7
 3 9 3 9 7
  9 3 9 7
   3 9 7
    9 7
     7

Alle 11 Zahlen sind prim, und es gibt kein größeres Dia­gramm dieses Typs, alle anderen sind sogar wesent­lich kleiner:

   3         3
  3 7       3 1       7       3       3       3
 3 7 9     3 1 3     7 9     3 7     3 1     3 1
3 7 9 7   3 1 3 7   7 9 7   3 7 3   3 1 7   3 1 3
 7 9 7     1 3 7     9 7     7 3     1 7     1 3
  9 7       3 7       7       3       7       3
   7         7

Und das sind auch schon alle mit mehr als zwei Stellen. Prim­zahlen, von denen man bestän­dig die nieder­wertig­ste (rechte) Ziffer ent­fernen kann und stets eine Primzahl bleibt, heißen rechts(seitig) stutz­bar. [1] Geschieht das mit der höchst­wer­tigen Ziffer, so heißen sie links(seitig) stutz­bar. [2] Und man kann es sich denken: Zahlen, die von links und rechts stutzbar sind, heißen beid­seitig oder einfach nur stutzbar. Es sind gerade einmal 15 Stück:

2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397

Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünf­stel­lige beid­seitig stutz­bare Zahl gibt, insbe­so­ndere sind die beiden Stut­zungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch ein­seitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.

Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutz­bar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der glei­chen Seite gestutzt werden, viel­mehr könne es in belie­biger Abfolge vorne und hinten gesche­hen. Dann ent­fallen aus der so und so schon kurzen Liste zunächst alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben

2,3,5,7,23,37,53,73,373

die auch wirklich alle in belie­biger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleich­bedeu­tend mit der Forde­rung, daß alle Teil­ketten (sub­strings) prim sein müssen.

Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Compu­ters mit den einstel­ligen Prim­zahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Prima­lität prüfen, um sodann den entstan­denen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzu­fügen oder voranzu­stellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutz­baren Zahlen, aus denen man dann die vor­stehend genann­ten beid­seiti­ger Abschnei­dung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutz­bare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutz­baren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]

[1] Wenn man sich mit Mathe­matik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn Deutsch ist nicht mehr die führende Wissen­schafts­sprache und Begriffs­bildung findet zunächst englisch statt. So benö­tigte ich eine Weile, bis ich für die „trunca­table numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürz­bar oder abschneid­bar, doch stutzbar ist viel schöner.

[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zuge­lassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleich­wohl 03 und 3 ja prim sind.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beid­seitig stutzbar, A085823 auch abwech­selnd.

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Ich hatte mich mit Abschneidung, Verkür­zung, links­seitig, rechts­seitig und gleich­zeitig umständ­lich ausge­drückt. Eine Schwie­rigkeit bestand darin, daß nicht ohne weiteres klar ist, ob man nur auf einer Seite abschnei­den darf oder doch auf beiden, dann aber nur wahl­weise auf immer derselben oder doch auf beiden gleich­zeitig. Hinzu kam, daß zumindest mir verbind­liche deutsche Begriffe unbekannt waren. Die englische Wiki­pedia ist geradezu weise und erwähnt die „trun­catable numbers“ gar nicht. Sie auf deutsch stutzbar zu nennen, ist wohl auch nur ein origi­neller Vorschlag, dem ich schließ­lich im meinem Haupt­beitag folgte. Und so wird es wegen der Bedeu­tungs­losig­keit wohl nie zu einer verbind­lich verein­barten deut­schen Bezeich­nung kommen. Leider findet auf vielen Gebieten Begriffs­bildung vorwie­gend in engli­scher Sprache statt. Liegt eine Über­setzung nicht auf der Hand, bleiben oftmals Unklar­heiten. Das befördert einen arglosen Einbau engli­scher Begriffe in die deutsche Sprache. Eine Unsitte, die vorwie­gend unter sich modern gebenden Angebern ganz allgemein um sich greift.