Zahlwort

Meine Einlassungen zur Zahl 73 samt ihren Beziehungen zur 37 beginnen mit

  A B
+ A B
-   1
-----
  B A
=====

als einer leicht zu lösenden Aufgabe. Aus der Zehnerstelle folgt B>A, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist

A = 2B - 11  für die Einerstelle
B = 2A + 1  für die Zehnerstelle

Die einzige Lösung ist A=3 und B=7. Wie aber sieht es mit einer größeren Aufgabe wie

  A B C D E F G H
+ A B C D E F G H
-               1
-----------------
  H G F E D C B A

aus? Erneut folgt aus der vordersten Stelle H>A, weshalb wiederum aus der Einerstelle ein Übertrag entstehen muß und A=2H-9 gilt. Nur weiß man nun nicht sofort, ob auch ein Übertrag in die vorderste Stelle erfolgt. Deshalb sind die beiden Fälle H=2A und H=2A+1 zu unterscheiden. Glücklicherweise hat nur der letzte Fall mit dem Übertrag eine Lösung, daß wieder A=3 und H=7 sein muß. Damit können wir uns zur Mitte hin vorarbeiten:

für die zweite Stelle von rechts: 2G+1=B oder 2G+1=B+10
für die zweite Stelle von links: 2B=G+10 oder 2B+1=G+10

Nur die beiden rechten Möglichkeiten, die einen Übertrag durchreichen, liefern eine Lösung B=G=9. Mit der gleichen Argumentation folgt C=F=9. Auch für die beiden mittleren Stellen ist die Lösung D=E=9 möglich. Und es gibt auch keine Probleme bei ungerader Stellenzahl. Damit sind die einzigen Lösungen für y=2x-1 mit gespiegelten Zahlen x und y:

x=3999....9997  und  y=7999...9993

Weil für einstellige Zahlen x=y=1 sein muß, ist die einzige Lösung für eine beliebige n-stellige Zahl

x=4*10n-1-3=4*(10n-1-1)+1=36*((10n-1-1)/9)+1
 =4*10..0-3=4*999..999+1=36*11111..11111+1

y=8*10n-1-7=8*(10n-1-1)+1=72*((10n-1-1)/9)+1
 =8*10..0-3=8*999..999+1=72*11111..11111+1

was für die ersten Fälle wie folgt aussieht:

n         x                  y
----------------------------------------
1        1=1+36*0           1=1+72*0
2       37=1+36*1          73=1+72*1
3      397=1+36*11        793=1+72*11
4     3997=1+36*111      7993=1+72*111
5    39997=1+36*1111    79993=1+72*1111
6   399997=1+36*11111  799993=1+72*11111

Das macht deutlich, wie sich wieder die Zahl 666 ins Spiel bringen läßt. Zum Beispiel über 3997=1+36*111=6*666+1 oder 397=6*66+1, wie so oft ohne eigene Bedeutung einfach über die Zahl 111.

Das sind alles nette Ziffernspielereien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigenschaften hinzutreten. Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen. Das ist nicht mein Anliegen. Im Gegenteil möchte ich zeigen, aus welchen schon getroffenen Festlegungen weitere Eigenschaften abgeleitet werden können. Allein aus y=2x-1 folgt sofort

S(x) = x*y = D(y)

worin D(k)=k(k+1)/2 die k-te Dreieckszahl und S(k)=k(2k-1) die k-te Sechseckzahl ist. Im zweistelligen Falle (n=2, x=37 und y=73) ergibt sich mit

S(37) = D(73) = 37 * 73 = 2701

die Summe der ersten sieben Wörter der Bibel, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlen zugeordnet werden.

Und so man schon einmal bei den Dreiecks-, Sechseck- und anderen Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen

n=1: x=1=s(1)
     y=1=z(1)

n=2: x=37=36+1= 6*6+1= 6*D(3)+1=s(4)
     y=73=72+1=12*6+1=12*D(3)+1=z(4) 

n=3: x=397=36*11+1= 6*(12*11)/2+1= 6*D(11)+1=s(12)
     y=793=72*11+1=12*(12*11)/2+1=12*D(11)+1=z(12)

n=4: x=3997=36*111+1= 6*(36*37)/2+1= 6*D(36)+1=s(37)
     x=7993=72*111+1=12*(36*37)/2+1=12*D(36)+1=z(37)

worin s(k) für die k-te zentrierte Sechseckzahl und z(k) für die k-te zentrierte Zwölfeckzahl steht. Letztere ist zugleich die k-te Sternzahl für sechszackige Sterne. Zu Ehren von Mitblogger y=mark793 (x=397kram) stelle ich den Fall n=3 dar, auch wenn das Bild in werbebeladenen Fenstern vielleicht rechts abgeschnitten wird:

                                 o
                                o o
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                            o o o o o o
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                          o o o o o o o o
                         o o o o o o o o o
                        o o o o o o o o o o
                       o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o o
 o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o
   o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o
    o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o
     o o o o o o x x x x x x x x o x x x x x x x x o o o o o o
      o o o o o x x x x x x x x o o x x x x x x x x o o o o o
       o o o o x x x x x x x x o o o x x x x x x x x o o o o
        o o o x x x x x o o o x x x x o o o x x x x x o o o
         o o x x x x x x o o x x x x x o o x x x x x x o o
          o x x x x x x x o x x x x x x o x x x x x x x o
           x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
          o x x x x x x x o x x x x x x o x x x x x x x o
         o o x x x x x x o o x x x x x o o x x x x x x o o
        o o o x x x x x o o o x x x x o o o x x x x x o o o
       o o o o x x x x x x x x o o o x x x x x x x x o o o o
      o o o o o x x x x x x x x o o x x x x x x x x o o o o o
     o o o o o o x x x x x x x x o x x x x x x x x o o o o o o
    o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o
   o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o
  o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o
 o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x o o o o o o o o o o o
                       o o o o o o o o o o o
                        o o o o o o o o o o
                         o o o o o o o o o
                          o o o o o o o o
                           o o o o o o o
                            o o o o o o
                             o o o o o
                              o o o o
                               o o o
                                o o
                                 o

Dieser Stern (n=3) besteht aus insgesamt 793 Punkten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 Punkten verbleibt innen ein Sechseck aus 397 Punkten. In dieses Sechseck hinein habe ich einen kleineren Stern (n=2) gezeichnet. Er hat 73 Punkte. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 6 Punkten verbleibt innen wieder ein Sechseck aus 37 Kreuzen.

Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999...9997 und y=7999...9993 für mehr als 5 Stellen sich auch als Sechsecke und Sterne darstellen lassen. Dazu betrachtet man einfach die Gleichung

4*(10n-1-1) = x-1 = 6*D(m) = s(m+1)-1 = 3m(m+1)

die auf eine einfache quadratische Gleichung führt. Die Lösung

m = ( sqrt(48*10n-1-39) - 3 ) / 6

liefert für die ersten n die folgenden Werte:

n=1: m=(sqrt(48-39)-3)/6=(sqrt(9)-3)/6
      =(3-3)/6=0/6=0
n=2: m=(sqrt(480-39)-3)/6=(sqrt(441)-3)/6
      =(21-3)/6=18/6=3
n=3: m=(sqrt(4800-39)-3)/6=(sqrt(4761)-3)/6
      =(69-3)/6=66/6=11
n=4: m=(sqrt(48000-39)-3)/6=(sqrt(47961)-3)/6
      =(219-3)/6=216/6=36
n=5: m=(sqrt(480000-39)-3)/6=(sqrt(479961)-3)/6
      =(692,792-3)/6=689,792/6=114,965

Daß es nicht ewig so weitergehen kann, war auch ohne Rechnung klar. Desto bemerkenswerter ist die Darstellbarkeit mit Sechsecken und Sternen in den Fällen n=1,2,3,4, in deren Berechnung auch wieder die üblichen Verdächtigen 6, 66, 216, 18 und 36 vorkommen. Das muß aber keine 666-Angst auslösen, denn wo man Dreieckszahlen, Ziffernwiederholungen und Sechsen reinsteckt, da kommen sie auch wieder raus.

37 | 73 | Mark793