... newer stories
73
wuerg, 12.01.2006 12:43
Die Zahl 73 ist nicht einfach die größere, unbedeutendere Schwester der 37, denn die Beziehungen zwischen beiden scheinen vielfältiger als zwischen 31 und 13 oder gar 52 und 25, denn es kommen zwei Eigenschaften zusammen: Die Zahl m=73 entsteht aus der n=37 zum einen durch Ziffernvertauschung, zum anderen ist m=2n-1. Unter den zweistelligen Zahlen ist das einzigartig. Wer Zahlenrätsel mag, der wird
Nimmt man fünfzackige arabische statt sechszackiger jüdischer Sterne, so sieht das mit den Punkten zwar nicht mehr so schön aus, es sind aber trotzdem Zehneckzahlen (k=10). Die dritte Zehneckzahl ist 3k+1=31, die vierte 6k+1=61 und natürlich gilt 61=2*31-1. Sehr schön zu zeichnen sind die zentrierten Sechseckzahlen (k=6). Die dritte ist 3k+1=19, die vierte 6k+1=37. Und natürlich 37=2*19-1. Da ist sie schon wieder, die 37.
In Falle k=4 erhält man die gleichfalls schön darstellbaren zentrierten Quadratzahlen. Die dritte ist 3k+1=13=4+9, die vierte 6k+1=25=9+16 wieder mit 25=2*13-1. Sehr nett sind die zentrierten Achteckzahlen (k=8). Sie lassen sich als Quadrate darstellen, weil die k-te zentrierte Achteckzahl gleich der (2k-1)-ten Quadratzahl ist. Tatsächlich entstehen mit 3k+1=25 und 6k+1=49 Quadrate. Und abermals ist 49=2*25-1.
Langer Rede kurzer Sinn: Bis hierher beruht die Einzigartigkeit des Paares aus 73 und 37 nur aus dem Zusammentreffen von einfachen Eigenschaften. In anderen Zahlpaaren treffen eben andere zusammen. Man muß sie nur suchen. Doch diese Suche gestaltet sich bei 73 und 37 irgendwie erfolgreicher, auch wenn die außerordentlichen Eigenschaften beiseite gelassen werden, die 37 für sich allein aufweist.
Zunächst fällt auf, daß sowohl 37 als auch 73 Primzahlen sind. Eine Primzahl, die umgedreht ebenfalls eine ist, nennt man Mirpzahl. Zwar gibt es mit 13 und 31 kleinere, doch 37 ist die 12. und 73 die 21. Primzahl. Und 21 ist nicht nur 3*7, sondern auch 12 ziffernvertauscht. Das ist ein Zufall, der 37 und 73 zu besonders schönen Primzahlen macht, die gerne im Verbund mit der 19 auftauchen, denn 19, 37 und 73 bilden eine schöne Primzahlkette aus der Folge
Die Formel a(k)=9*2^k+1 hat unmittelbar zur Folge, daß 19, 37 und 73 auch Primzahlen von der Form 2^k*3^l+1 sind. Diese heißen Pierpont-Primzahlen
Auch in der durch u(n)=u(n-1)+u(n-2) definierten Folge 1,1,2,3,5,8,13,... der Fibonaccizahlen findet man 19, 37 und 73, denn es gilt
Und schließlich kommt die Abfolge 19,37,73 noch an einer ganz anderen Stelle vor. Als Anzahl g(n) der benötigten Summanden, um jede natürliche Zahl aus n-ten Potenzen zu bilden, wird
Das aber alles würde weitgehend als mathematische Zahlenspielerei abgetan, wenn die beiden aus den heiligen Zahlen 3 und 7 zusammengefügten Zahlen 37 und 73 nicht auch biblische Zusammenhänge aufwiesen. An vorderster Stelle steht
37 | 666
a b + a b - 1 ----- b a =====sofort lösen. Aus der Zehnerstelle folgt b>a, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist
2b = 11 + a für die Einerstelle 2a + 1 = b für die Zehnerstellemit der einzigen Lösung a=3 und b=7. Schnell findet man nette Beziehungen zwischen 73 und 37:
73 + 37 = 11*(7+3)
73 - 37 = 9*(7-3)
99*3+73 = 370 99*7+37 = 730
99*73+73 = 7300 99*37+37 = 3700
99*373+73 = 37000 99*737+37 = 73000
99*7373+73 = 730000 99*3737+37 = 370000
99*37373+73 = 3700000 99*73737+37 = 7300000
Doch das ist Augenwischerei, denn es gilt auch für jede andere Kombination von zwei Ziffern anstelle von 3 und 7. Ebenso verhält es sich mit der Eigenschaft, daß die 73. Dreieckszahl gleich der 37. Sechseckzahl ist
D(73) = S(37) = 73*37 = 2701denn leider gilt auch dies für alle Zahlen m und n mit m=2n-1. Und wenn wir schon bei Polygonalzahlen sind, dann fällt auf, daß 37 und 73 sich beide als Stern darstellen lassen.
o
o o
o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
o o o o
o o
o
Gewiß können andere zweistellige Zahlen nicht als solche Sterne dargestellt werden, aber für jede dritte Zahl n=3k+1 mit zugehörigem m=6k+1 ist n die dritte und m die vierte zentrierte k-Eckzahl. Für n=37 ergibt sich k=12. Also ist 37 die dritte und 73 die vierte zentrierte Zwölfeckzahl. Daher also die Beziehung zwischen den Sternen, denn Sternzahlen sind zentrierte Zwölfeckzahlen.Nimmt man fünfzackige arabische statt sechszackiger jüdischer Sterne, so sieht das mit den Punkten zwar nicht mehr so schön aus, es sind aber trotzdem Zehneckzahlen (k=10). Die dritte Zehneckzahl ist 3k+1=31, die vierte 6k+1=61 und natürlich gilt 61=2*31-1. Sehr schön zu zeichnen sind die zentrierten Sechseckzahlen (k=6). Die dritte ist 3k+1=19, die vierte 6k+1=37. Und natürlich 37=2*19-1. Da ist sie schon wieder, die 37.
In Falle k=4 erhält man die gleichfalls schön darstellbaren zentrierten Quadratzahlen. Die dritte ist 3k+1=13=4+9, die vierte 6k+1=25=9+16 wieder mit 25=2*13-1. Sehr nett sind die zentrierten Achteckzahlen (k=8). Sie lassen sich als Quadrate darstellen, weil die k-te zentrierte Achteckzahl gleich der (2k-1)-ten Quadratzahl ist. Tatsächlich entstehen mit 3k+1=25 und 6k+1=49 Quadrate. Und abermals ist 49=2*25-1.
Langer Rede kurzer Sinn: Bis hierher beruht die Einzigartigkeit des Paares aus 73 und 37 nur aus dem Zusammentreffen von einfachen Eigenschaften. In anderen Zahlpaaren treffen eben andere zusammen. Man muß sie nur suchen. Doch diese Suche gestaltet sich bei 73 und 37 irgendwie erfolgreicher, auch wenn die außerordentlichen Eigenschaften beiseite gelassen werden, die 37 für sich allein aufweist.
Zunächst fällt auf, daß sowohl 37 als auch 73 Primzahlen sind. Eine Primzahl, die umgedreht ebenfalls eine ist, nennt man Mirpzahl. Zwar gibt es mit 13 und 31 kleinere, doch 37 ist die 12. und 73 die 21. Primzahl. Und 21 ist nicht nur 3*7, sondern auch 12 ziffernvertauscht. Das ist ein Zufall, der 37 und 73 zu besonders schönen Primzahlen macht, die gerne im Verbund mit der 19 auftauchen, denn 19, 37 und 73 bilden eine schöne Primzahlkette aus der Folge
10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153, ...mit dem einfachen Bildungsgesetz "verdoppeln und eins abziehen". Es handelt sich um die Zahlen a(k)=9*2^k+1 für k=0,1,2,3,...., was sie für Numerologie anfällig macht, denn ihre iterierten Quersummen lauten allesamt 1.
Die Formel a(k)=9*2^k+1 hat unmittelbar zur Folge, daß 19, 37 und 73 auch Primzahlen von der Form 2^k*3^l+1 sind. Diese heißen Pierpont-Primzahlen
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, ...Sie bestimmen die Konstruierbarkeit von n-Ecken, wenn man neben Zirkel und Lineal noch ein Gerät zu Dreiteilung des Winkels verwenden darf. Ein n-Eck ist damit konstruierbar, wenn
n = 2k * 3l * p1 * p2 * p3* ...worin p1, p2, p3, .. allesamt verschiedene Pierpont-Primzahlen sein müssen. Damit sind das das 37-Eck und das 73-Eck konstruierbar.
Auch in der durch u(n)=u(n-1)+u(n-2) definierten Folge 1,1,2,3,5,8,13,... der Fibonaccizahlen findet man 19, 37 und 73, denn es gilt
73 teilt u(37), 37 teilt u(19) 19 teilt u(36), 73 teilt u(37), 37 teilt u(38)was allerdings zum größten Teil der Tatsache zuzuschreiben ist, daß alle Primzahlen p entweder u(p-1) oder u(p+1) teilen.
Und schließlich kommt die Abfolge 19,37,73 noch an einer ganz anderen Stelle vor. Als Anzahl g(n) der benötigten Summanden, um jede natürliche Zahl aus n-ten Potenzen zu bilden, wird
g(n) = 2n + [(3/2)n] - 2vermutet. Für die ersten n ergeben sich die bereits bestätigten Werte
g(2) = 22 + [(3/2)2] - 2 = 4 + [2,25] -2 = 2 g(3) = 23 + [(3/2)3] - 2 = 8 + [3,375] - 2 = 9 g(4) = 24 + [(3/2)4] - 2 = 16 + [5,0625] - 2 = 19 g(5) = 25 + [(3/2)5] - 2 = 32 + [7,59375] - 2 = 37 g(6) = 26 + [(3/2)6] - 2 = 64 + [11,390625] - 2 = 73worin wieder die Abfolge 19, 37, 73 auftritt.
Das aber alles würde weitgehend als mathematische Zahlenspielerei abgetan, wenn die beiden aus den heiligen Zahlen 3 und 7 zusammengefügten Zahlen 37 und 73 nicht auch biblische Zusammenhänge aufwiesen. An vorderster Stelle steht
S(37) = D(73) = 37*73 = 2701die Summe der ersten sieben Bibelwörter, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlwerte zugeordnet werden.
913 + 203 + 86 + 401 + 395 + 407 + 296 = 2701Ich kann es nicht nachprüfen. Es wird hoffentlich stimmen. Die beiden letzten Wörter addieren sich auf 703=D(37), der Rest ist dreimal 666. Doch dabei bleibt es nicht. Mit den Kubikzahlen 27 und 64 sowie Sechsecken und Sternen mit 13, 19, 37, und 73 Punkten steht ein weites Feld von Zahlen wie
27*37=999, 27+73=100, 27+37=64, 73-37=36, 36+64=100, ...bereit, um Beziehungen zu Jesus=888=24*37, Christus=1480=40*37, Gott und die Welt=296=8*37 zu schaffen. Auch wenn vieles konstruiert wirkt und auf den zweiten Blick nicht sehr überrascht, so ist das Gesamtgebäude doch beeindruckend.
37 | 666
... link (4 Kommentare) ... comment
... older stories
