Zahlwort

Unsere normalen Papier­formate haben sich glück­licher­weise nicht am goldenen Schnitt ausge­richtet, sondern an der einfachen Teil­barkeit. Ohne diese starke Eigen­schaft hätten die DIN-​Formate in mehr als 20 Jahren mit zahl­reichen Drucker­problemen der Vormacht von 8×12 Zoll großem Endlos­papier nicht wider­standen. Ich erinnere mich noch gerne an meine ersten ordent­lich forma­tierten Adressen auf handels­üblichen Aufkle­bern mit sieben mal drei Stück pro DIN‑A4-​Blatt. Doch fünfzehn Jahre später gibt immer noch Behörden und Reise­büros, die um einen Zenti­meter zu lange Papier­bögen bevor­zugen.

Wie groß ist aber ein DIN‑A4-​Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbar­keit in zwei gleiche und wie das Ausgangs­blatt propor­tio­nierte Hälften für die Breite b und die Höhe h≥b die Bezie­hung „b zu h wie h/2 zu b“, also h=b·√2 im Hoch­format. Für die abso­lute Größe muß beach­tet werden, daß ein DIN‑A0-​Blatt genau einen Quadrat­meter groß sein soll, womit neben h=b·√2 auch b·h=1m² gelten muß. Damit ist h in Metern gemes­sen die vierte Wurzel aus 2, die Breite b in Metern der Kehrwert davon. Da auf Milli­meter gerundet wird ist ein DIN‑A0-​Blatt 1,189 Meter hoch und 0,841 Meter breit. Ein DIN‑Ai-​Blatt entsteht daraus durch i‑fache Halbie­rung samt Abrun­dung auf Milli­meter. Es ist also

h_i = ⌊1189/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2+1/4 Meter hoch und
b_i =  ⌊841/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2−1/4 Meter breit.

Das allseits bekannte DIN‑A4-​Blatt mißt somit 297×210 Milli­meter.

Für die Fläche Fᵢ=bᵢ·hᵢ eines DIN‑Ai-​Blattes gilt die einfachere Formel Fᵢ=(1/2ⁱ)m². Damit hat ein DIN‑A4-​Blatt 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadrat­meter handelt. In einen Standard­brief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.

Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadrat­wurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Ver­größe­rungen und Ver­kleine­rungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Ver­größe­rung von A4 auf A3 wegen √2=1,4142… unge­fähr 140 Pro­zent beträgt und umge­kehrt eine Ver­kleine­rung auf 70 Pro­zent redu­ziert. Dann macht die Anwei­sung des Chefs „100 Ver­kleine­rungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tieff­lug“ nicht nervös, weil sie sogleich in „bitte 100 Ko­pien auf 65% ver­klei­nert, so schnell es Ihnen möglich ist“ über­setzt werden kann.

Ein DIN‑A3-​Blatt ist stolze 40 Pro­zent länger und breiter als eines in DIN‑A4. Dieser Abstand ist manchmal etwas groß. Und so brachte der Wunsch nach einem Zwischen­format die DIN‑B-​Reihe hervor. Die Defini­tion ist einfach DIN‑Bi als das geome­trische Mittel zwischen DIN‑Ai und DIN‑A(i‑1). Und zwar in Höhe und Breite und damit auch Fläche.

Das geometrische Mittel c zweier Zahlen a und b ist die Quadrat­wurzel aus deren Produkt, also c=√(ab). Es ist für posi­tive a und b kleiner als das allseits bekannte und oftmals gedan­kenlos gebil­dete arithme­tische Mittel d=(a+b)/2 und berück­sichtigt einen multi­plika­tiven Zusam­men­hang. Aus den bekann­ten Größen der DIN‑Ai-​Blätter erhält man durch diese geome­trische Mittel­lung für ein DIN‑Bi-​Blatt, daß es

h_i = ⌊1414/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2+1/2 Meter hoch und
b_i = ⌊1000/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2 Meter breit

ist, womit eine Breite von genau einem Meter für ein DIN‑B0-​Blatt nicht ver­wundert.

Da ein A4‑Blatt schlecht in einen A4‑Umschlag paßt und ein B4‑Umschlag recht groß ist, gibt es zwischen beiden noch ein weite­res Format. Es wird schon fast lang­weilig, doch das C‑Format liegt wieder im geome­tri­schen Mittel, diesmal von A und B. Damit ist ein DIN‑Ci-​Blatt oder -Umschlag

h_i = ⌊1267/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2+3/8 Meter hoch und
b_i =  ⌊917/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2−1/8 Meter breit.

Ein C6‑Umschlag für zweimal gefaltete A4‑Blät­ter muß deshalb fast 2 hoch −2,625 Meter hoch und 2 hoch −3,125 Meter breit sein. Das sind 162 bzw. 115 Mil­li­meter. Meinet­wegen auch umge­kehrt, da man C6‑Um­schläge zumeist im Quer­format benutzt.

Wenn man zwischen DIN‑A und DIN‑B ein Zwischen­format DIN‑C oberhalb von DIN‑A einzieht, so könnte man es aus Symmetrie­gründen auch unter­halb tun. Das führt auf das DIN‑D-​Format, was wohl keiner wirk­lichen Norm ent­spricht und für das ich kein Einsatz­gebiet vergleichbar zu den C‑Brief­umschlä­gen sehe. Aber dennoch: Ein DIN‑Di-​Blatt ist

h_i = ⌊1090/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2+1/8 Meter hoch und
b_i =  ⌊771/2ⁱ⌋ mm ≈ 2^−i/2−3/8 Meter breit

Das D‑Format ist wenig verbreitet. Jedoch soll DIN D5 mit 192×136 Milli­metern einer DVD-Box ent­sprechen, die aber mit 190×135 Millimetern etwas kleiner ist.

Nicht nur in den USA, auch in Japan ist immer etwas anders, auch wenn man es von der west­lichen Welt über­nommen hat. So wird dort das B‑Format nicht im geome­trischen, sondern im arithme­tischen Mittel ange­siedelt. Die Schwach­sinnig­keit erkennt man schon an der Folge­frage: Im arithme­tischen Mittel von was denn, von der Kanten­länge oder der Fläche? Beim geome­trischen Mittel ist das egal.

Werden die Flächen arith­metisch statt geome­trisch gemittelt, wird das B‑Blatt gegen­über unserem um den Faktor

((1+2)/2) / √2 = (3/4)·√2 = √(9/8) ≈ 1,06

also um etwa 6 Prozent in der Fläche zu groß und damit um 3 Pro­zent zu hoch und zu breit. Besser ist die arith­metische Mitte­lung der Längen. Dann ist mit

((1+√2)/2)² / √2 = (4+3√2)/8 ≈ 1,03

der Flächen­fehler mit 3 Pro­zent nur halb so groß. Der Längen­fehler reduziert sich auf 1,5 Pro­zent.

Die Japaner haben sich für den größeren Fehler ent­schieden, weil dann ein Japan-​B0-​Blatt genau 1,5 Qua­drat­meter groß ist. Könnte man die 6 Prozent Flächen­abwei­chung hören, erklänge ein Halbton, genauer wegen √(9/8) ein halber pytha­gorei­scher Ganzton.