Zahlwort

Zur Zeit wundern sich einige nicht nur über die privaten Reichtümer in armen Ländern, sondern auch über die enorme Abwei­chung des durch­schnitt­lichen Ver­mögens eines deut­schen Haus­haltes von 195.200 Euro im Ver­gleich zum soge­nannten Medianwert von nur 51.400 Euro [1]. Und obwohl eben­falls zur Zeit allent­halben erklärt wird, was diese Werte bedeuten, will ich es wieder­holen: Verteilt man das gesamte Privat­vermögen der Deutschen gleich­mäßig auf alle, so besäße jeder Haushalt 195.200 Euro, aber die Hälfte dieser Haus­halte hat in Wirk­lich­keit weniger als 51.400 Euro. Was bedeutet das? Was wir eigent­lich alle wissen: Die Vermögen sind ungleich verteilt! Aber wäre die Gesell­schaft gerecht, wenn Median und Mittel­wert beiein­ander lägen oder gar iden­tisch wären? Nicht unbedingt:

Haben 37 Menschen jeweils 18 Euro in der Tasche, so sind Mittelwert und Median mit 18 Euro gleich groß, weil die 666 Euro so schön gleich­mäßig verteilt sind. Geben wir aber dem ärmsten nichts, dem nächsten einen Euro bis hin zum letzten, der 36 Euro erhält, so sind Mittelwert und Median ebenfalls gleich, beide wiede­rum 18 Euro. Geht es noch unge­rechter, ohne Median und Mittelwert ausein­ander zu bringen? Natür­lich: Die ersten 18 bekommen nichts, näch­sten 18 jeweils 18 Euro und der 37. den ganzen Rest von 342 Euro. Und ganz brutal: 19 Leute haben nichts und 18 jeweils 37 Euro. Dann wäre der Median sogar 0 bei einem Mittelwert von weiterhin 18 Euro. [2]

Möchte man allein aus Mittelwert M und Median m einen Grad an Gerechtigkeit berechnen, so darf man nur Vertei­lungen verglei­chen, die im wesent­lichen einen ähnli­chen Verlauf aufwei­sen. [3] Wenn ich einmal unter­stellen darf, daß dies in den meisten Ländern der Fall ist, es sich ins­beson­dere nicht wie im voran­gehen­den Absatz amge­deutete Extrem­fälle handelt, dann kann auch bei Unkennt­nis des Verlau­fes der Wert g=m/M als ein halb­wegs geeig­netes Maß der Gerech­tig­keit gelten. Ein Wert nahe der 1 steht für hohe Gerech­tig­keit, einer bei 0 für das Gegen­teil. [4] Deutsch­land kommt auf g=0,26. Salopp gespro­chen: In Deutsch­land ist allen­falls ein Vier­tel (26%) des Vermögens ‚gerecht‘ verteilt.

[1] So reich und arm sind die Deutschen, SZ, 21.03.2013.

[2] Noch brutaler geht es, wenn die Ärmsten auch noch Schulden hätten.

[3] 2026: Im Jahre 2013 hatte ich der Einfach­heit halber einen quadra­tischen Verlauf ange­setzt. Doch erwies sich der Anteil der Verschul­deten als viel zu hoch und das Vermögen der Reich­sten als viel zu klein. Deshalb habe ich die nach­folgen­den darauf basie­renden viel­leicht lehr­reichen, aber reali­täts­fernen Rechne­reien entfernt.

[4] Werte unter 0 oder über 1 sollten nicht vor­kommen und wiesen auf eine abar­tige Vertei­lung ähnlich denen im voran­gehen­den Absatz geschil­derten hin.

Danke, dass Sie das einmal so schön verdeutlicht haben.

Die folgenden Mediane und Mittel­werte der Vermögen privater Haushalte in Euro konnte ich der Presse entnehmen:

Land         Median m   Mittel M   g=m/M
Deutschland    51.400    195.000    26%
Österreich     76.400
Frankreich    113.500    229.000    50%
Italien       163.900
Spanien       178.300    285.000    63%

Man gewinnt den Eindruck, daß zumindest in der Eurozone nicht nur die Gerechtigkeit mit dem Polwinkel zunimmt, sondern auch der Mittelwert und vor allem der Median. Das könnte einen normal denkenden Menschen zu der Auffas­sung verleiten, die ‚armen‘ Südstaaten hätten aus­reichend vermö­gende Bürger, die in der Not ihrem Gemein­wesen bei­springen können.

Sofort stehen Schönredner auf der Matte, verweisen auf die in anderen Ländern größeren Haushalte, den stärker verbrei­teten Immo­bilien­besitz und den vergleich­baren Reichtum deutscher Haus­eigen­tümer. So ein Schwach­sinn! Wohnen Deutsche etwa beengter? Fließen Miet­wohnun­gen nicht über die Vermieter in das Vermögen ein? [1] Gut, der Median könnte bei uns durch die ein­seitige Wohn­eigentums­verteilung geringer sein, nicht aber der Mittelwert.

Als nächstes führen die Gutmen­schen an, woanders müsse man mehr für die Alters­vorsorge ansparen. Früher hielten sich Unter­nehmer und Frei­berufler auch hierzu­lande für schlau und strichen sieben Prozent Rendite ein statt in die Gemein­schafts­kasse zu zahlen. Wie die nun gern zitierte zyprische Oma mit 150.000 Euro auf dem Konto und einer monat­lichen Zinser­wartung von 1.000 Euro.

Wir hätten unser Geld ausge­geben für Gemein­schafts­leistungen, für Alters­siche­rung, für Infra­struktur, für ordent­liche Straßen, für Sicher­heit, für die Müll­abfuhr und auch für Arme, wodurch der im Vergleich zu anderen auf unge­rechte Vertei­lung hinwei­sende hohe Quotient von Mittel­wert und Median sich relati­viert: Die stär­keren und besseren Leistungen unseres Gemein­wesens kämen allen einiger­maßen gleich­mäßig zugute. [2]

[1] Vielleicht zählt in den veröffent­lichen Beträgen das Ver­mögen von Wohnungs­gesell­schaf­ten nicht mit, weil es kein ‚Privat‘­vermögen‘ sei. Dann aber frage ich nach dem Sinn dieser Zahlen. Sollen sie nur deutlich machen, daß in südli­chen Gefilden alles in privaten Händen liegt, sie aber trotzdem arm sind, weil Infra­struk­tur und Wirt­schaft schwä­cheln?

[2] 2026: Das habe ich schon 2013 als Beschö­nigung gesehen, die nunmehr allent­halben deut­lich zutage tritt: Die Renten­kasse ist leer, die Kranken­kassen verarmt, die Straßen sind marode, überall Müll und Gold­stücke. Der mora­lische, zivi­lisato­rische, ja gei­stige Reich­tum schwin­det eben­falls zugun­sten von Hal­tung und Rea­litäts­ferne.

Spiegel Online hat sich des Themas auch angenommen, wenngleich mit etwas anderem Schwerpunkt.

Die Menschen der südlichen Ländern müssen einfach ärmer sein als wir, weil wir uns für besser halten und nicht zugeben können, auf deren Gejammer rein­gefallen zu sein. Deshalb müssen wir uns reich rechnen, streichen den Immo­bilien­besitz, halten unsere Haus­halte für nur halb so groß, rechnen Renten­ansprüche hinzu und lassen unser Armen­haus außen vor. Doch gibt es auch inner­halb Deutsch­lands immer noch einen deut­lichen Ost-​West-​Unter­schied, den es wegzu­disku­tieren gilt:

Deutsch- Haush.  Mittel-   Median  Gerecht.Median-
land     anteil   wert M     m      g=m/M  gewicht
Ost      21,5%    67.500   21.400   31,7%   47,8%
Gesamt     -     195.200   51.400   26,3%     -
West     78,5%   230.240   78.900   34,3%   52,2%

Daran interessiert mich vornehm­lich die Frage, warum das Ver­hält­nis von Median und Mittel­wert für Gesamt­deutsch­land nicht zwischen, sondern deutlich unter dem beider Teile liegt. Stimmen die Zahlen nicht?

Ich habe diesen Effekt an Beispielen nachge­rechnet. Er ist aber auf den zweiten Blick auch plau­sibel. Besit­zen die berühm­ten ober­sten 10% einen recht großen Anteil des Gesamt­vermö­gens und treten vorwie­gend ärmere Men­schen in die Gemein­schaft ein, so wird keiner dieser Reichen aus der Gruppe der ober­sten 10% verdrängt. Die Hinzu­treten­den sind nicht mehr ganz so begütert, aber immer noch reicher als die meisten Neulinge, die sich vorwie­gend unten einord­nen. Damit erhöht sich der Ver­mögens­anteil der ober­sten 10%, gleich­wohl ihr Durch­schnitts­vermögen fällt. Die Vertei­lung wird unge­rechter.

Der Mittelwert M sinkt zwar, doch der Median m stärker, denn im unteren Bereich ist der Anteil der Neu­linge höher als in der Gesamt­gruppe. Dadurch wird der Median stärker nach unten gezogen als der Mittel­wert, die Wuerg-​Gerech­tig­keit g=m/M fällt. Ebenso der Gini-​Koeffi­zient, der nicht nur zwei Werte einbe­zieht, sondern den gesamten Verlauf der Ver­mögens­vertei­lung, die einfach extremer wird.

Der Anteil östlicher Haushalte von 21,5% ist aus den Mittel­werten abge­leitet. Für den Median gelten offen­sicht­lich andere Gewichte, die für den Osten mit 48% deut­lich höher aus­fallen.

Auch Frau Merkel sieht Südländer nur „rein statistisch reicher“ [1] als uns. Solche Äußerungen unter­stellen, stati­stische Zahlen lägen regel­mäßig neben der Wirk­lich­keit und seien eigent­lich nichts wert. Gewiß kann man durch geschickte Auswahl von Fakten, Kriterien und Model­len sich gewünsch­ten Zahlen nähern. Zumeist aber ist nur ihre Inter­preta­tion falsch. So stimme ich gerne zu, daß Süd­länder ärmer sind, nicht jedoch an Vermögen.

Damit bei der nächsten Pleite die Deutschen nicht auf ihr beschei­denes Bankkonto blicken, schlägt im glei­chen Artikel ein Wirt­schafts­pro­fessor Paul De Grauwe vor, das Geld zu holen, wo die Deutschen es häufen, bei den ein­kom­mens­starken Haus­halten und der Wirt­schaft. Warum nicht bei allen, die privat über den Median, ja den Mittel­wert Geld gehortet haben.

[1] Wie Kanzlerin Angela Merkel die Deutschen reich rechnet. Focus, 19.04.2013