Quinte
wuerg, 10.02.2005 17:06
So wie die Oktave aus sieben Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Quinte vier. Die reine Quinte hat das Schwingungsverhältnis 3:2 und ist mit 702 Cent nur wenig größer als sieben Halbtöne. Es wäre sinnvoll gewesen, die in der Nähe von 700 liegenden Intervalle mit einem Namen zu belegen, der auf sieben hindeutet.
Wenn man wie die alten Griechen nur Intervalle als harmonisch sieht, die sich aus Oktaven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasteninstrumenten das Problem, nicht alle so entstehenden Töne vorsehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Oktaven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.
Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Intervalle wird den Griechen einigermaßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstellung von ld(3/2)=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Kettenbruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,41,53,306,665,… Intervalle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,31,179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] entschieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgenden 5 im Kettenbruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).
7 | 12 | Oktave
Wenn man wie die alten Griechen nur Intervalle als harmonisch sieht, die sich aus Oktaven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasteninstrumenten das Problem, nicht alle so entstehenden Töne vorsehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Oktaven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.
Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Intervalle wird den Griechen einigermaßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstellung von ld(3/2)=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Kettenbruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,41,53,306,665,… Intervalle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,31,179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] entschieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgenden 5 im Kettenbruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).
7 | 12 | Oktave
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wuerg,
11.02.2005 10:37
Zwar haben die alten Griechen auch Verhältnisse mit 5 oder gar 7 betrachtet, doch galten nur die mit 2 und 3 als harmonisch, womit natürlich die Frage aufkam, welche sinnvollen Teilungen entstehen, wenn man zu einem Grundton und seinen Oktavversetzungen eine Quinte nach der anderen hinzunimmt. Es entstehen dabei 2 oder 3 verschieden große Intervalle. Die schönen Teilungen sind die mit nur zwei Intervallen, darunter die besonders schönen, deren größeres Intervall höchstens doppelt so groß ist wie das kleinere. Dies ist natürlich wieder bei n=2,5,12,41,53,… der Fall. Nicht so schön sind 3=5⋅2, 7=12−5, 17=41−2⋅12, 29=41−12 usw. mit einem zu kleinen Halbton.
Die erste Quinte teilt die Oktave in eine Quinte (3/2, 702 Cent) und eine Quarte (4/3, 498 Cent). Die zweite Quinte spaltet einen großen Ganzton (9/8, 204 Cent) ab. Der fällt in der Größe zu stark hinter den beiden verbleibenden Quarten zurück. Zwei weitere Quinten führen zur Fünftonleiter aus drei großen Ganztönen und zwei pythagoreischen kleinen Terzen (32/27, 294 Cent). Abermals zwei Quinten weiter entsteht die pythagoreische Siebentonleiter aus fünf großen Ganztönen und zwei pythagoreischen Limma(ta?) (256/243, 90 Cent), die leider etwas klein sind. Trotzdem hat sich dieser Tonschrittzyklus …GGGLGGLGGGLGGL… im Prinzip durchgesetzt, zumal er alle Töne einer normalen Melodie abdeckt.
Treibt man das Prinzip weiter, muß man fünf weitere Quinten hinzunehmen, bevor wieder nur zwei Intervallgrößen verbleiben. Das führt auf sieben pythagoreische Limma(s?) und fünf pythagoreische Apotome (2187/2048, 114 Cent). Der entstandene Tonschrittzyklus …ALALALLALALLALALALLALALL… läßt sich in zwölffacher Weise auf die Tasten des Klavieres abbilden. Es zeugt aber von System, wenn die Apotome alle vor oder alle nach den schwarzen Tasten liegen.
Schaut man sich den Bildungsprozeß der guten pythagoreischen Teilungen an, kommt man zu den Zerlegungen 5=2+1+2, 12=(5+2)+5, 41=(12+5)+12+12, 53=41+12 usw. Die Zwölftonleiter entsteht nach dieser Vorstellung durch Hinzunahme einer Fünftonleiter zur Siebentonleiter, die ihrerseits aus einer um zwei Töne ergänzten Fünftonleiter aufgebaut ist. Danach müßten die Töne e und h grau und die schwarzen Töne die Erhöhungen der verbleibenden fünf weißen sein, womit der Grundton das f wäre.
Es mag erstaunlich sein, daß schon so einfache griechische Vorstellungen auf die bekannten Teilungen in 5, 7 und 12 Intervalle und zum Grundton f einer C‑Dur-Tonleiter führen. Doch liegt das mehr an dem glücklichen Umstand, daß die reinen Terzen (5/4 und 6/5) nur um ein syntonisches Komma (81/80) von den pythagoreischen (81/64 und 32/27) abweichen. So sind die griechischen Vorstellungen eher im weitgehenden Einklang mit der Realität zu sehen, nicht umgekehrt. Und gäbe es Tonaufnahmen von damals, würden wir wahrscheinlich feststellen: Die alten Griechen hatten bereits ptolomäisch gesungen, nicht pythagoreisch.
Die erste Quinte teilt die Oktave in eine Quinte (3/2, 702 Cent) und eine Quarte (4/3, 498 Cent). Die zweite Quinte spaltet einen großen Ganzton (9/8, 204 Cent) ab. Der fällt in der Größe zu stark hinter den beiden verbleibenden Quarten zurück. Zwei weitere Quinten führen zur Fünftonleiter aus drei großen Ganztönen und zwei pythagoreischen kleinen Terzen (32/27, 294 Cent). Abermals zwei Quinten weiter entsteht die pythagoreische Siebentonleiter aus fünf großen Ganztönen und zwei pythagoreischen Limma(ta?) (256/243, 90 Cent), die leider etwas klein sind. Trotzdem hat sich dieser Tonschrittzyklus …GGGLGGLGGGLGGL… im Prinzip durchgesetzt, zumal er alle Töne einer normalen Melodie abdeckt.
Treibt man das Prinzip weiter, muß man fünf weitere Quinten hinzunehmen, bevor wieder nur zwei Intervallgrößen verbleiben. Das führt auf sieben pythagoreische Limma(s?) und fünf pythagoreische Apotome (2187/2048, 114 Cent). Der entstandene Tonschrittzyklus …ALALALLALALLALALALLALALL… läßt sich in zwölffacher Weise auf die Tasten des Klavieres abbilden. Es zeugt aber von System, wenn die Apotome alle vor oder alle nach den schwarzen Tasten liegen.
Schaut man sich den Bildungsprozeß der guten pythagoreischen Teilungen an, kommt man zu den Zerlegungen 5=2+1+2, 12=(5+2)+5, 41=(12+5)+12+12, 53=41+12 usw. Die Zwölftonleiter entsteht nach dieser Vorstellung durch Hinzunahme einer Fünftonleiter zur Siebentonleiter, die ihrerseits aus einer um zwei Töne ergänzten Fünftonleiter aufgebaut ist. Danach müßten die Töne e und h grau und die schwarzen Töne die Erhöhungen der verbleibenden fünf weißen sein, womit der Grundton das f wäre.
Es mag erstaunlich sein, daß schon so einfache griechische Vorstellungen auf die bekannten Teilungen in 5, 7 und 12 Intervalle und zum Grundton f einer C‑Dur-Tonleiter führen. Doch liegt das mehr an dem glücklichen Umstand, daß die reinen Terzen (5/4 und 6/5) nur um ein syntonisches Komma (81/80) von den pythagoreischen (81/64 und 32/27) abweichen. So sind die griechischen Vorstellungen eher im weitgehenden Einklang mit der Realität zu sehen, nicht umgekehrt. Und gäbe es Tonaufnahmen von damals, würden wir wahrscheinlich feststellen: Die alten Griechen hatten bereits ptolomäisch gesungen, nicht pythagoreisch.
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