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Hausaufgaben, Teil 1
wuerg, 16.01.2007 23:35
Welcher Monat ist der längste? Es ist der Oktober, er hat 31 Tage und dazu noch eine Stunde von der Zeitumstellung. Solche Aufgaben fördern das Denken und verdeutlichen die Lebensweisheit, daß es neben einer korrekten Antwort, oftmals um Präzisierung der Fragestellung geht. Auch als Hausaufgaben für Schüler sind solche Aufgaben gerechtfertigt, solange der Lehrer selbst sie jederzeit durchschaut. Das scheint mir nicht immer der Fall zu sein. Paradebeispiel sind Zinseszinsaufgaben:
Du hast 511,29 Euro, die mit 3,6 Prozent verzinst werden. Wieviel befindet sich nach 18 Monaten auf deinem Konto? Jede Antwort zwischen 520,48 und 539,66 Euro sollte die volle Punktzahl erhalten, wenn sie ordentlich begründet ist. Gemeint ist neben kostenloser Kontoführung natürlich eine nachschüssige jährliche Verzinsung am Jahresende, Einzahlung des Startkapitals zu Jahresbeginn, Verzinsung auch der Cent-Beträge und vor allem Kontoauflösung, nicht Kontostand nach 18 Monaten.
Leider hatte ich meiner Tochter zu genau erklärt, was in solchen Zinseszinsaufgaben fast immer gemeint ist, nämlich Kontoeröffnung am Jahresbeginn und Verzinsung am Jahresende. So hat sie für eine 18-monatige Laufzeit korrekt keine Zinseszinsen berechnet. Nur weil dadurch die Note noch ausreichend blieb und der Lehrer die halbe Punktzahl wegen guter Begründung gab, habe ich von Diskussionen mit ihm abgesehen.
Und weil man immer mitdenken, präzisieren, und auch übertragen können sollte, habe ich als Überschrift Hausaufgaben gewählt, gleichwohl es in diesem ersten Beispiel ein Aufgabe aus einer Klassenarbeit war.
Liste aller Hausaufgaben
Du hast 511,29 Euro, die mit 3,6 Prozent verzinst werden. Wieviel befindet sich nach 18 Monaten auf deinem Konto? Jede Antwort zwischen 520,48 und 539,66 Euro sollte die volle Punktzahl erhalten, wenn sie ordentlich begründet ist. Gemeint ist neben kostenloser Kontoführung natürlich eine nachschüssige jährliche Verzinsung am Jahresende, Einzahlung des Startkapitals zu Jahresbeginn, Verzinsung auch der Cent-Beträge und vor allem Kontoauflösung, nicht Kontostand nach 18 Monaten.
Leider hatte ich meiner Tochter zu genau erklärt, was in solchen Zinseszinsaufgaben fast immer gemeint ist, nämlich Kontoeröffnung am Jahresbeginn und Verzinsung am Jahresende. So hat sie für eine 18-monatige Laufzeit korrekt keine Zinseszinsen berechnet. Nur weil dadurch die Note noch ausreichend blieb und der Lehrer die halbe Punktzahl wegen guter Begründung gab, habe ich von Diskussionen mit ihm abgesehen.
Und weil man immer mitdenken, präzisieren, und auch übertragen können sollte, habe ich als Überschrift Hausaufgaben gewählt, gleichwohl es in diesem ersten Beispiel ein Aufgabe aus einer Klassenarbeit war.
Liste aller Hausaufgaben
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1.1.2007
wuerg, 15.01.2007 00:47
In wenigen Minuten endet der erste Tag des neuen julianischen Jahres, jedenfalls für unsere Zeitzone und unter der Annahme, daß ein neuer julianischer Tag um Mitternacht beginnt und nicht erst mit dem Aufgang der Sonne. Immer noch gibt es Regionen und Glaubensbereiche, die sich am julianischen Kalender orientieren und sich dabei wohl noch besonders christlich vorkommen, gleichwohl ich als Protestant es verstehe, wenn man nicht sofort katholischen Kalenderreformen nachgibt.
Der julianische Kalender macht keine Ausnahmen von der Regel, alle vier Jahre einen Schalttag einzufügen, ist somit im Mittel genau 365,25 Tage lang und sollte von geschichtlichen Betrachtungen abgesehen heute nur noch deshalb interessant sein, weil auf seiner Basis die meßtechnische Jahreslänge definiert wurde. Ein Jahr hat 31.557.600 Sekunden, das sind 365,25 Tage zu 86400 Sekunden.
Wir schreiben das Jahr 2021 und haben ein Jahr hinter uns, dessen mittlere Länge eines Sonnentages seit langer Zeit kürzer war als 86400 Sekunden. Langfristig aber steigt diese Tageslänge und liegt gegenwärtig um 86400,002 Sekunden. Die Abweichung des die Jahreszeiten bestimmenden tropischen Jahres von den 31.557.600 Sekunden ist deutlich größer. Es ist nur 31.556.925,26 Sekunden lang. Das sind 365,24219 Tage oder 0,99997862 Jahre.
235 Monate zu 29,53059 Tagen umfassen 6939,689 Tage. Das sind nur zwei Stunden mehr als die 6939,602 Tage des metonischen Zyklus aus 19 tropischen Jahren zu 365,24219 Tagen. Aus diesem Grunde liest man gelegentlich
19 | Schalttag | Sternzeit | Kirchenjahr
Der julianische Kalender macht keine Ausnahmen von der Regel, alle vier Jahre einen Schalttag einzufügen, ist somit im Mittel genau 365,25 Tage lang und sollte von geschichtlichen Betrachtungen abgesehen heute nur noch deshalb interessant sein, weil auf seiner Basis die meßtechnische Jahreslänge definiert wurde. Ein Jahr hat 31.557.600 Sekunden, das sind 365,25 Tage zu 86400 Sekunden.
Wir schreiben das Jahr 2021 und haben ein Jahr hinter uns, dessen mittlere Länge eines Sonnentages seit langer Zeit kürzer war als 86400 Sekunden. Langfristig aber steigt diese Tageslänge und liegt gegenwärtig um 86400,002 Sekunden. Die Abweichung des die Jahreszeiten bestimmenden tropischen Jahres von den 31.557.600 Sekunden ist deutlich größer. Es ist nur 31.556.925,26 Sekunden lang. Das sind 365,24219 Tage oder 0,99997862 Jahre.
235 Monate zu 29,53059 Tagen umfassen 6939,689 Tage. Das sind nur zwei Stunden mehr als die 6939,602 Tage des metonischen Zyklus aus 19 tropischen Jahren zu 365,24219 Tagen. Aus diesem Grunde liest man gelegentlich
235 Monate = 19a 2hDas ist nicht ganz richtig. Vielmehr sollte es heißen:
235 synodische Monate = 18a 365d 4,5h 19 tropische Jahre = 18a 365d 2,5hDas mag den meisten als Pipifax erscheinen und dem Rest so und so klar sein. Aber vielleicht gibt es den einen oder anderen Schüler, der sich wie ich vor fast einem halben Jahrhundert fragt: Wie lang ist denn ein Jahr, wenn da einfach nur a steht? Heutzutage sollte es klar sein: 31.557.600 Sekunden!
19 | Schalttag | Sternzeit | Kirchenjahr
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0,875
wuerg, 31.12.2006 18:17
Gestern habe ich erstmalig eine dreistündige 5‑Millionen-Euro-SKL‑Show vollständig gesehen. Es hat sich gelohnt. Dem Zuschauer wurde ein tiefer Einblick in die Geistesgröße seiner Prominenten gewährt, erworben im bürgerlichen Elternhaus und verfeinert durch den Überlebenskampf im D‑Promi-Panel.
Die zwei glanzlosen Männer Hape Kerkeling und Marcel Reif lasse ich ungeschoren, den Nervsack Hellmuth Karasek aber muß ich loben. Er sagte gleich, wovon er keine Ahnung hat (Flex), und konnte geschickt eine Rechenaufgabe lösen: Nachdem er von Günther Jauch einen Kugelschreiber erhielt, rechnete er 7/8 und 8/10 korrekt in 70/80 und 64/80 um und erkannte 7/8 als größer. Im Kopf wäre er wohl bei seinen 56/80 für 7/8 geblieben. Der Oberlehrer Jauch meinte, es ginge auch einfacher durch Umrechnung in Dezimalbrüche. Ja, wenn man weiß, wie das bei Achteln geht! Dabei war Herr Karasek spontan schon sehr nah dran, als er sofort 8/10 als 4/5 erkannte, dem ein Fünftel zur eins fehlt, den 7/8 aber nur ein Achtel. Egal, denn demnächst darf man auch einen Taschenrechner benutzen.
Damen waren natürlich auch dabei: Auf Platz 2 Anke Engelke, die den sprachlustigen Österreichern als Führerschein eher eine Zündlizenz, denn eine Lenkerlaubnis zutraute. Auf Platz 1 aber unangefochten Barbara Schöneberger, die auf den zweiten Sonntag im Mai Fronleichnam legte und sich so gleichberechtigt gegen Vater- und Muttertag entschied, zumal sie Himmelfahrt am 1. Mai vermutete. Auch dem folgte eine Denkhilfe durch Günther Jauch: Himmelfahrt und Fronleichnam fallen immer auf einen Donnerstag. Ja, wenn man das weiß, dann ist der Muttertag natürlich kein Problem mehr!
Die zwei glanzlosen Männer Hape Kerkeling und Marcel Reif lasse ich ungeschoren, den Nervsack Hellmuth Karasek aber muß ich loben. Er sagte gleich, wovon er keine Ahnung hat (Flex), und konnte geschickt eine Rechenaufgabe lösen: Nachdem er von Günther Jauch einen Kugelschreiber erhielt, rechnete er 7/8 und 8/10 korrekt in 70/80 und 64/80 um und erkannte 7/8 als größer. Im Kopf wäre er wohl bei seinen 56/80 für 7/8 geblieben. Der Oberlehrer Jauch meinte, es ginge auch einfacher durch Umrechnung in Dezimalbrüche. Ja, wenn man weiß, wie das bei Achteln geht! Dabei war Herr Karasek spontan schon sehr nah dran, als er sofort 8/10 als 4/5 erkannte, dem ein Fünftel zur eins fehlt, den 7/8 aber nur ein Achtel. Egal, denn demnächst darf man auch einen Taschenrechner benutzen.
Damen waren natürlich auch dabei: Auf Platz 2 Anke Engelke, die den sprachlustigen Österreichern als Führerschein eher eine Zündlizenz, denn eine Lenkerlaubnis zutraute. Auf Platz 1 aber unangefochten Barbara Schöneberger, die auf den zweiten Sonntag im Mai Fronleichnam legte und sich so gleichberechtigt gegen Vater- und Muttertag entschied, zumal sie Himmelfahrt am 1. Mai vermutete. Auch dem folgte eine Denkhilfe durch Günther Jauch: Himmelfahrt und Fronleichnam fallen immer auf einen Donnerstag. Ja, wenn man das weiß, dann ist der Muttertag natürlich kein Problem mehr!
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Kirchenjahr
wuerg, 03.12.2006 22:35
Heute hat das neue Kirchenjahr begonnen. Zumeist hat es 52 Wochen, manchmal auch 53. Im Gegensatz zum bürgerlichen Jahr beginnt es stets am Sonntag, den 1. Advent und zeigte deshalb nicht dessen Probleme mit der Wochennumerierung, wenn man sie denn durchzählen und nicht jedes Jahr anders benennen würde.
Da wir uns nie von der seit Jahrtausenden ohne Unterbrechung durchgehaltenen Abfolge der Wochentage trennen werden, wäre es sinnvoll, ein Normaljahr mit 364 und ein Schaltjahr mit 371 Tagen zu haben. Aus dem tropischen Jahr zu 52,1774558 Wochen ergibt sich ein sehr genauer Zyklus von 62 Jahren mit 51 Normaljahren zu 52 Wochen und 11 Schaltjahren zu 53 Wochen. Doch so christlich sie auch wäre, wird es eine solche Kalenderreform nie geben. Sie ändert zuviel, und eine Anpassung an überkommene Vorstellungen bereitet Probleme:
Ohne große Geräusche wurde vor vierzig Jahren die am Sonntag beginnende christliche Woche durch die bürgerliche ab Montag ersetzt. Sollen die ersten sieben Tage des 364- bzw. 371‑tägigen Jahres die erste Woche bilden, wäre Neujahr immer montags. Damit der 1. Advent nicht auf Silvester fällt und der Jahreswechsel sich kaum verschiebt, könnte das Jahr am Montag nach dem 5. Advent beginnen. Soll der erste Weihnachtsfeiertag weiterhin am 25. genau eine Woche vor Neujahr liegen, bleibt nur der Montag nach dem 4. Advent.
Der Dezember hätte dann immer 31 Tage und schiede als Schaltmonat aus. Damit auch die elegante Möglichkeit, in Schaltjahren dem letzten Monat eine ganze Schaltwoche anzuhängen, damit jeder Tag des Jahres stets auf den gleichen Wochentag der gleichen Woche und den gleichen Tag des gleichen Monats fällt. Wäre der wahre Geburtstag Jesu bekannt, könnte vielleicht auf einige Restriktionen verzichtet werden.
7 | 1.1.2007 | Planetenwoche
Da wir uns nie von der seit Jahrtausenden ohne Unterbrechung durchgehaltenen Abfolge der Wochentage trennen werden, wäre es sinnvoll, ein Normaljahr mit 364 und ein Schaltjahr mit 371 Tagen zu haben. Aus dem tropischen Jahr zu 52,1774558 Wochen ergibt sich ein sehr genauer Zyklus von 62 Jahren mit 51 Normaljahren zu 52 Wochen und 11 Schaltjahren zu 53 Wochen. Doch so christlich sie auch wäre, wird es eine solche Kalenderreform nie geben. Sie ändert zuviel, und eine Anpassung an überkommene Vorstellungen bereitet Probleme:
Ohne große Geräusche wurde vor vierzig Jahren die am Sonntag beginnende christliche Woche durch die bürgerliche ab Montag ersetzt. Sollen die ersten sieben Tage des 364- bzw. 371‑tägigen Jahres die erste Woche bilden, wäre Neujahr immer montags. Damit der 1. Advent nicht auf Silvester fällt und der Jahreswechsel sich kaum verschiebt, könnte das Jahr am Montag nach dem 5. Advent beginnen. Soll der erste Weihnachtsfeiertag weiterhin am 25. genau eine Woche vor Neujahr liegen, bleibt nur der Montag nach dem 4. Advent.
Der Dezember hätte dann immer 31 Tage und schiede als Schaltmonat aus. Damit auch die elegante Möglichkeit, in Schaltjahren dem letzten Monat eine ganze Schaltwoche anzuhängen, damit jeder Tag des Jahres stets auf den gleichen Wochentag der gleichen Woche und den gleichen Tag des gleichen Monats fällt. Wäre der wahre Geburtstag Jesu bekannt, könnte vielleicht auf einige Restriktionen verzichtet werden.
7 | 1.1.2007 | Planetenwoche
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Was erlauben Strunz
wuerg, 28.11.2006 20:30
und Struck sich, dachte ich gestern beim Abschlußzappen durch die Fernsehprogramme. Letzterer nannte Pofalla einen Dünnbrettbohrer wie Söder und den auf Jürgen Trittin gestylten Christian Wulff publizitäts…, was von ersterem gerne ergänzt wurde. Es war aber ganz lustig, wenn Struck sich auch die SPD-Schelte Angela Merkels nicht so sehr hätte zu Herzen nehmen sollen. Sie hatte sich doch nur verbeten, ihre Ministerpräsidenten von der SPD kritisieren zu lassen. Diese indirekte Art innerparteilichen Austeilens hätte Struck doch würdigen können.
Das allein war schon recht lustig. Doch dann kam noch die Werbung der Firma Wall AG für ihre Strunz-Möbel, die mir ohne Michel Friedman nie im Gedächtnis geblieben wären. Es paßt einfach alles: Strunz-Wall-Friedman. Was sich in der Werbepause immer dreht, ist aber kein aufgeschnittenes Cafe Achteck, sondern nur eine Haltestelle, mit der sich ebenfalls Geld verdienen läßt, selbst wenn man sie umsonst aufstellt und sich aus der darin möglichen Werbung finanziert. Das habe ich erst heute im Internet erkannt, das mich auch über den Welttoilettentag informierte. Und für mich war der 19. November einfach Volkstrauertag.
Das allein war schon recht lustig. Doch dann kam noch die Werbung der Firma Wall AG für ihre Strunz-Möbel, die mir ohne Michel Friedman nie im Gedächtnis geblieben wären. Es paßt einfach alles: Strunz-Wall-Friedman. Was sich in der Werbepause immer dreht, ist aber kein aufgeschnittenes Cafe Achteck, sondern nur eine Haltestelle, mit der sich ebenfalls Geld verdienen läßt, selbst wenn man sie umsonst aufstellt und sich aus der darin möglichen Werbung finanziert. Das habe ich erst heute im Internet erkannt, das mich auch über den Welttoilettentag informierte. Und für mich war der 19. November einfach Volkstrauertag.
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Popstars
wuerg, 21.11.2006 00:44
Seit bei Amazon bereits die CD der Popstars-Gewinner, die erst am kommenden Donnerstag live ermittelt werden sollen, angepriesen wurde, will meine Tochter nicht mehr mit SMS für Senna stimmen. Ähnlich werden viele denken und die erwarteten Einnahmen halbieren. Mir kam natürlich sofort in den Sinn, daß die abgebildeten drei Mädchen (Kati, Mandy, Bahar) auf der Couch nur eine Beispielkombination sind. Flugs wurde das auch öffentlich behauptet und die Anzahl möglicher Kombinationen genannt, nämlich 20. Das ist nicht schwer zu rechnen, denn 6 über 3 ist (6⋅5⋅4)/(1⋅2⋅3)=20.
Angeblich sollen alle diese 20 Kombinationen im Internet als Beweis hinterlegt sein. Ich habe nur einige gesehen, die offensichtlich montiert waren, weil beim Bildwechsel ein Mädchen umsprang und zwei regungslos sitzen blieben. So stieg in mir die Frage auf, wieviele Dreiergruppen auf der Couch denn fotografiert werden müssen, um jedes der möglich 20 Ergebnisse daraus montieren zu können. Es sind nur vier.
Ganz allgemein: Sollen nicht wie bei Popstars 3 aus 6, sondern m aus n gewählt werden, macht man das erste Bild mit den Nummern 1 bis m nebeneinander sitzend. Das zweite mit 2 bis m+1 und so weiter bis zum (n−m+1)‑ten Bild, auf dem n−m+1 bis n abgebildet sind. Man überlegt sich leicht, daß jede Kombination von m aus n aus diesen n−m+1 Bildern zusammensetzbar ist. Mit weniger Bilder geht es nicht. Würden nur n−m oder weniger gemacht, so gäbe es für m Personen kein Bild ganz links sitzend. Sollten aber diese m gewinnen, müßten sie auf allen m Plätzen untergebracht werden. Doch ganz links geht es nicht, weil ein geeignetes Bild fehlt.
Es ist also gar nicht so schlimm, wenn statt der drei aus sechs bei Popstars ein Doppelchor von 8 aus 16 gebildet werden müßte. Es reichten 16−8+1=9 Bilder, auf denen jeweils 8 Personen ohne viel Überlappung auf der Couch sitzen. Aus ihnen kann jede der 15444 Kombinationen durch einfache Zusammensetzung gebildet werden.
Angeblich sollen alle diese 20 Kombinationen im Internet als Beweis hinterlegt sein. Ich habe nur einige gesehen, die offensichtlich montiert waren, weil beim Bildwechsel ein Mädchen umsprang und zwei regungslos sitzen blieben. So stieg in mir die Frage auf, wieviele Dreiergruppen auf der Couch denn fotografiert werden müssen, um jedes der möglich 20 Ergebnisse daraus montieren zu können. Es sind nur vier.
Ganz allgemein: Sollen nicht wie bei Popstars 3 aus 6, sondern m aus n gewählt werden, macht man das erste Bild mit den Nummern 1 bis m nebeneinander sitzend. Das zweite mit 2 bis m+1 und so weiter bis zum (n−m+1)‑ten Bild, auf dem n−m+1 bis n abgebildet sind. Man überlegt sich leicht, daß jede Kombination von m aus n aus diesen n−m+1 Bildern zusammensetzbar ist. Mit weniger Bilder geht es nicht. Würden nur n−m oder weniger gemacht, so gäbe es für m Personen kein Bild ganz links sitzend. Sollten aber diese m gewinnen, müßten sie auf allen m Plätzen untergebracht werden. Doch ganz links geht es nicht, weil ein geeignetes Bild fehlt.
Es ist also gar nicht so schlimm, wenn statt der drei aus sechs bei Popstars ein Doppelchor von 8 aus 16 gebildet werden müßte. Es reichten 16−8+1=9 Bilder, auf denen jeweils 8 Personen ohne viel Überlappung auf der Couch sitzen. Aus ihnen kann jede der 15444 Kombinationen durch einfache Zusammensetzung gebildet werden.
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Fünf-Achtel-Gott
wuerg, 16.11.2006 19:33
Mein Mathematik-Google-Alert verweist zumeist nur auf Rankwerk und Blödsinn. Heute auf einen Aufsatz, dessen Wörter „nicht“, „des“ und „ohne“ als Werbeträger verkauft waren und auf die neueste Ausgabe des PM‑Magazins hinweist, in dem die Wahrscheinlichkeit der Existenz Gottes auf 62 Prozent berechnet wird, nicht etwa auf gerundete 60 oder gar 50 Prozent.
Nun komme mir keiner damit, daß dies in jedem Falle falsch sei, denn die korrekte Wahrscheinlichkeit betrage 0 oder 100 Prozent, niemals aber 62. Doch das ist bei 62 Prozent Regen am morgigen Tag nicht anders. Zwar gibt es mehr konkrete Erfahrung mit dem Wetter als mit Gott, doch von wenigen Zweifelsfällen einmal abgesehen regnet es morgen oder es regnet nicht, niemals aber mit 62 Prozent.
Im Falle des Wetters kann eine Prozentangabe dadurch gerechtfertigt werden, daß umfangreiche Daten aus ähnlichen Wetterlagen vorliegen. Und ganz allgemein könnte ich meine Apriori-Wahrscheinlichkeiten dadurch erhärten, daß ich gegen andere Behauptungen mit angemessener Quote zu wetten bereit bin.
Doch mit Gott scheidet diese Möglichkeit aus, denn die Gewinnauszahlung wird nicht zu Lebzeiten erfolgen. Und wer weiß, wieviel die Wettsumme dann noch wert ist. Gibt es keinen Gott, fällt der Wert des Euro auf null. Andernfalls könnte er sogar negativ werden.
Nun komme mir keiner damit, daß dies in jedem Falle falsch sei, denn die korrekte Wahrscheinlichkeit betrage 0 oder 100 Prozent, niemals aber 62. Doch das ist bei 62 Prozent Regen am morgigen Tag nicht anders. Zwar gibt es mehr konkrete Erfahrung mit dem Wetter als mit Gott, doch von wenigen Zweifelsfällen einmal abgesehen regnet es morgen oder es regnet nicht, niemals aber mit 62 Prozent.
Im Falle des Wetters kann eine Prozentangabe dadurch gerechtfertigt werden, daß umfangreiche Daten aus ähnlichen Wetterlagen vorliegen. Und ganz allgemein könnte ich meine Apriori-Wahrscheinlichkeiten dadurch erhärten, daß ich gegen andere Behauptungen mit angemessener Quote zu wetten bereit bin.
Doch mit Gott scheidet diese Möglichkeit aus, denn die Gewinnauszahlung wird nicht zu Lebzeiten erfolgen. Und wer weiß, wieviel die Wettsumme dann noch wert ist. Gibt es keinen Gott, fällt der Wert des Euro auf null. Andernfalls könnte er sogar negativ werden.
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