Zahlwort

Üblicherweise teilen wir den Kreis­bogen in 360 Grad. Genauer gesagt in Altgrad. Von den Bemü­hungen um 400 Neu­grad habe ich seit langem nichts mehr gehört. Meine Tafel der Loga­rithmen der trigo­nome­tri­schen Funk­tionen nach neuer Teilung hat auch deshalb und nicht nur wegen der Taschen­rechner und Computer reinen Erin­nerungs­wert. Eine dritte Mög­lich­keit ist, auf eine Grad­eintei­lung zu ver­zichten und den Winkel einfach durch das Bogen­maß, die Länge des Ein­heits­kreis­bogens zu messen. Darüber hinaus gibt es noch den Voll­winkel und zahl­reiche geschicht­liche, militä­rische und nau­tische Ein­heiten.

1 pla = 360 deg = 400 gon = 2π rad
1 τ   = 360°    = 400ᵍ    = 2π

Der Vollwinkel (plenus angelus, turn, revo­lution, cycle, Umdre­hung) kommt im Leben eines norma­lem Menschen allen­falls beim Salto oder als Umdre­hungen pro Minute vor. Die Abkür­zung τ wurde zum Lieb­ling der Pi‑Gegner, die 2π gerne durch τ erset­zen möchten. Das ist ja nicht falsch, nur unge­wöhn­lich. Zumin­dest in theo­reti­schen Aus­führun­gen harter Wissen­schaf­ten hält man sich an die dimen­sions­lose SI‑Ein­heit mit 2π für den Voll­winkel. Also rad=1 und in der Folge pla=2π, deg=π/180 und gon=π/200. Alle keine echten Maßein­heiten, sondern schlichte Zahlen. Im über­wiegen­den Teil der Welt, ins­beson­dere im Alltag sind jedoch die 360 Alt­grade üblich und werden es auch bleiben.

Obwohl es nur einer Multipli­kation bedarf, um die ver­schie­denen Winkel­angaben umzu­rechnen, ist dies doch so wenig geläu­fig, daß Taschen­rechner über Ein­stel­lungen für die ver­schie­denen Dar­stel­lungen verfügen. Meiner erlaut in einem verbor­genen Menu die Umschal­tung zwischen Deg, Gra und Rad. Man muß deshalb auf­passen, wenn man mit den Ergeb­nissen weiter­rechnet. Ist zum Bei­spiel sin(x)/x zu berech­nen, dann erhält man den Wert für 30° sicher­lich nicht dadurch, daß man im Altgrad-​Modus sin(30) berech­net und dann durch 30 teilt.

Nicht nur bei Taschenrechnern begeht man gerne den mensch­lichen Fehler, die ange­zeigten Zeichen­ketten falsch zu inter­pretie­ren, weil Zehner­poten­zen oder andere Umrech­nungs­fakto­ren nicht beach­tet werden. Die gespei­cherten Kon­stan­ten und die viel­fältige Tasten­bele­gung begün­stigen solche Verwech­selun­gen. Dabei ist es eigent­lich ganz ein­fach: Wie 3 Milli­onen 3·1.000.000=3.000.000 ist, andert­halb Kibi­byte 1,5·1024·8=12288 Bit meint, und 0,8 Pro­mille für 0,8/1000=0,0008 steht, so ent­spricht 30 Alt­grad einem Winkel der Größe (π/180)·30≈0,5236.

Manche spendieren dieser simplen Umrech­nung von Altgrad in das Bogen­maß eine eigene Funktion namens Arcus, abge­kürzt arc, defi­niert durch arc(x)=x·π/180. Eine Funk­tion für eine ein­fache Multi­plika­tion, was soll das? Wer es duchschaut, schreibt zum Spaß arc(x)=x°, keinen Blödsinn wie arc α oder gar arcα und erst recht nicht arc(30°)=π/6. Vor allem Sport­lehrer mit Neben­fach Mathe­matik scheinen bei α[°]=α·180/π einen Orgas­mus zu bekom­men. Ein zweiter mit arcα=(α°/360)·2π geht in die Hose, weil α einen Winkel vor­täuscht, aber einfach eine Zahl ist und es 360° statt 360 heißen müßte.

Auf Taschenrechnern soll es gelegent­lich Tasten ARC und auch MULπ geben, die einen Winkel in der aus­gewähl­ten Dar­stel­lung in das Bogen­maß bzw. Viel­fache von π umrech­nen. Wie Funk­tionen sinpi(x)=sin(πx) ersparen sie dem Kun­digen Zeit, sind aber nichts für Leute ohne Durch­blick, was aber nicht daran hindert, diesen Kram beson­ders an Berufs- und Fach­schulen zu unter­richten. Besser wäre meines Erach­tens Schnell-, Kopf- und Über­schlags­rechnen, schrift­liches Wurzel­ziehen, Nut­zung von Tabel­len samt Inter­pola­tion sowie die Hand­habung eines Rechen­schiebers, auch wenn man heute alles nicht mehr zu benö­tigen scheint. Wahr­schein­lich muß ein Hoch­see­kapi­tän auch nicht mehr segeln können.

Während man Neugrade und die meisten anderen Winkel­maße centesimal unter­teilt, ist es bei Alt­graden üblich, sie in 60 Mi­nu­ten (′, arcmin, Bogen- oder Winkel­minute) und die Minute in 60 Se­kun­den (″, arcsec, Bogen- oder Winkel­sekunde) zu teilen. Eine wei­tere Unter­teilung in 60 Ter­tien ist nicht mehr üblich. Statt­dessen werden den Sekunden dezimale Nach­komma­stel­len ange­fügt. Man kann aber auch auf Minuten und Sekunden ver­zichten und nur Nach­komma­stel­len benut­zen. So hat das regel­mäßie Sieben­eck einen Zentral­winkel von 2π/7≈128°34′17,142857″≈128,571428°. Sehr kleine Winkel werden auch gerne in tausend­stel Bogen­sekunden (mas, milli­arc­second) ange­geben. Mit zuneh­mender astro­nomi­scher Genauig­keit sind auch million­stel Bogen­sekun­den (μas, micro­arc­second) üblich.

Logarithmentafel | Rechenschieber

Eine Zahl heißt k‑fach vollkommen, wenn ihre Teiler­summe genau k mal so groß ist wie sie selbst. Die einzige einfach voll­kommene Zahl ist die 1. Die zweifach voll­kommenen Zahlen wie 6, 28 und 496 heißen schlicht voll­kommen. Die kleinste dreifach voll­kommene ist 120, denn

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3·120

und es gibt keine kleine­ren. [1] Man kann den Ergeb­nissen anderer ver­trauen oder zum Beweis alle Zahlen bis 119 durch­pro­bieren. Nicht unbe­dingt schneller, doch lehr­reicher geht es wie folgt: Der Faktor k(n)=σ(n)/n mit dem die Teiler­summe σ(n) die Zahl n über­steigt ist multi­plika­tiv. [2] Deshalb reicht es, seine Werte für die Primzah­potenzen zu kennen:

k(p^m) = (1+p+p²+…+p^m)/p^m = ((p^m+1−1)/(p−1))/p^m < p/(p−1)

Sie bleiben unter einer oberen Schranke von p/(p−1). Die beiden größten zu p=2,3 multi­pli­zieren sich zu (2/1)·(3/2)=3, weshalb k=3 nicht mit zwei Primzahl­potenzen allein möglich ist. Somit kommen in einer Zahl n<120 mit k(n)=3 wegen 119/(3·5)<8 nur 2 und 4 als Zweier­poten­zen infrage, wegen 119/(2·5)<12 auch nur die Dreier­potenzen 3 und 9. Und da 119/(2·3)<20, sind größere Prim­zahlen allen­falls unpoten­ziert möglich, ab 23 scheiden sie gänz­lich aus. Das führt auf eine über­sicht­liche Palette mög­licher Prim­potenz­teiler:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 5  1   5   6    2·3/5
 7  1   7   8  2·2·2/7
11  1  11  12  2·2·3/11
13  1  13  14    2·7/13
17  1  17  18  2·3·3/17
19  1  19  20  2·2·5/19

In den Brüchen für k(p^m) tauchen die Primfaktoren 11, 17 und 19 nur in Nennern auf. Sie können deshalb nicht zu einem Produkt k(n)=3 einer Zahl n<120 bei­tragen, und scheiden deshalb aus. Es bleiben:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2k
 3  1   3   4    2·2/3
 3  2   9  13     13/3·3
 5  1   5   6    2·3/5
 7  1   7   8  2·2·2/7
13  1  13  14    2·7/13

Aus dem gleichen Grund entfällt nun auch die 5. Zudem kommt die 13 nur im Nenner zu sich selbst und im Zähler zur 9 vor. Beide können also nur gemein­sam auf­treten und gestatten wegen 9·13>119/2 keinen weiteren Primfaktor:

 p  m   pm σ(pm)   k(pm)
 2  1   2   3      3/2
 2  2   4   7      7/2·2
 3  1   3   4    2·2/3
 7  1   7   8  2·2·2/7

Damit ist maximal k(4·3·7)=k(4)·k(3)·k(7)=(7/4)·(4/3)·(8/7)=8/3<3 zu erzielen. Somit gibt es keine dreifach voll­kommene Zahl unter 120.

So einfach geht es jedoch nicht weiter, auch wenn man in analoger Weise mit etwas mehr Geduld den Bereich bis 1000 aus­schöpfen kann und noch 672 findet. Ins­gesamt sind nur sechs drei­fach voll­kommene Zahlen bekannt. Weitere gibt es wohl nicht.

Natürlich ist 120 als dreifach voll­kommene Zahl ein Teiler­protz [3] und erwar­tungs­gemäß auch eine super­abun­dant und sogar colos­sally abun­dant number. Zudem ist sie largely, highly und sogar supe­rior highly compo­site. Sie ist auch eine prak­tische Zahl, weil bis zur Teiler­summe sich jede Zahl als Summe ausge­wählter Teiler dar­stellen läßt. [4] Alles nicht ver­wunder­lich für die fünfte Fakul­tät 120=5!=1·2·3·4·5.

Natürlich kommt die 120 auch in der Bibel vor. So soll Moses mit 120 Jah­ren gestor­ben sein. Und zur Ausgie­ßung des Hei­ligen Geistes seien irgend­wann einmal etwa 120 versam­melt gewesen. Das ist zu mager für fromme Zahl­akro­baten. Doch glück­licher­weise gibt es neben 3·40 noch die 12 und die 10, aus denen man 120, 600, 42360, 144000, 600000 und andere mehr zau­bern kann.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Teiler­summen A000203 und drei­fach voll­kommene Zahlen A005820.

[2] Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multi­plikativ, wenn f(ab)=f(a)f(b) für teiler­fremde a und b gilt.

[3] Zahlen n mit einer Teiler­summe σ(n)=2n heißen (zweifach) voll­kommen, darunter defi­zient, darüber abun­dant. Wenig­stens für letztere gibt es auch die schöne deut­sche Bezeich­nung Teiler­protz.

[4] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Abundant A005101, super­abun­dant (SA) A00439, colos­sally abun­dant (CA) A004490 numbers. Largely compo­site numbers A067128, highly compo­site num­bers (HCN), stark zusam­menge­setzte Zahlen A002182, supe­rior highly compo­site (SHCN) numbers A002201, prac­tical numbers, prak­tische Zahlen A002201.

28

Am 8. Mai 1945 wurde die Gesamtkapitulation unterzeichnet. Das ist nun 60 Jahre her. Für die Baby­lonier wären diese 60 Jahre ein „Jahrhundert“ ohne Krieg gewesen, wenn man den Blick nur auf unser Heimat­land richtet. Für die ganze Welt soll das letzte kriegs­freie Jahr 1776 gewesen sein.

Die Babylonier haben zur Basis 60 gerechnet. Noch heute sehen wir das in den 60 Sekunden einer Minute und den 60 Minuten einer Stunde. Der Kreis wird in 360 Grad geteilt, die sich in 60 Minuten und diese wieder in 60 Sekunden teilen. Die „neue Teilung“ in 400 Neugrad zu 100 Neu­minu­ten [1] hat sich nicht durch­gesetzt, auch nicht die Industrie­minute zu 36 Se­kun­den. Die 60 paßt zur Basis 10, in der man auch im Altertum schon rechnete, aber auch auf die damals ebenso be­lieb­te 12, die Zahl der Monate im Jahr. Und so fügt es sich gut, daß ein Jahr mit seinen 365 Tagen mit 6 mal 60 passabel genähert ist. Rechnen Geld­insti­tute eigent­lich auch im Computer­zeit­alter noch immer mit 360 Zins­tagen?

Die Babylonier waren den Griechen im Rechnen ganz klar über­legen. Indem sie die 60=2·2·3·5 wählten, konnten sie ohne Schwierigkeiten durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilen. Durch ihre für die damalige Zeit einiger­maßen vernünf­tige Zahl­darstel­lung, konnten sie deutlich besser rechnen. Die grie­chische Methode, für Zahlen von 1 bis 999 die 27=3·9 Buch­staben des erwei­terten Alpha­betes zu nutzen, war äußerst unge­schickt. Wenn sie sich vom Bilder­malen erhoben, nicht nur zählten, sondern auch rech­neten, dann über­setzten sie erst ins babylo­nische System und hinter­her wieder zurück. Das lag nicht nur an der Zahl 60, sondern auch an den Rezi­proken­tafeln der Baby­lonier, mit denen man die Division leicht erschla­gen konnte.

Die Zahl 60 hat ausge­sprochen viele Teiler, nämlich 12. Keine kleinere Zahl hat soviele. Deshalb heißt 60 auch stark zusammen­gesetzte Zahl. Es gibt dennoch kleinere stark zusammen­gesetzte Zahlen: 4, 6, 12, 24, 36 und 48 mit 3, 4, 6, 8, 9 bzw. 10 Teilern. [2] Die 1 mit einem Teiler und die 2 mit zweien habe ich ausgelassen, gleichwohl Mathe­matiker sich nicht daran stoßen, daß diese beiden zwar nicht zusammen­gesetzt sind, aber dennoch als stark zusammen­gesetzt gelten. Die Teiler­summe der 60 liegt mit 168 um den Fak­tor 2,8 über der Zahl 60 selbst. Damit ist sie ein deut­licher Teiler­protz, doch 3‑voll­kommen (Fak­tor 3) ist erst die 120.

[1] deg=π/180=1°=60'=3600", gon=π/200=1^g=100^c=10000^cc

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stark zusammengesetze Zahlen A002182 und ihre Teileranzahlen A002183

120 | Altgrad

Ich gehöre nicht zu denen, die bei Hugeldubel tagelang sitzen, ein Buch lesen und es dann zurücklegen. Ich mache es leider umgekehrt und kaufe in wenigen Minuten fünf Stück. Das dritte im Bunde ist „Ammanns wunder­bare Welt in Zahlen“ von Rene Ammann. Es handelt sich um eine Ansamm­lung von Fragen, die mit Zahlen beant­wortet werden, mehr oder minder alle aus dem täglichen Leben und für meinen Blog unge­eignet, da es sich zumeist um Geld­mengen, gerun­dete Zahlen, Prozente oder Verhält­nisse handelt. Oftmals besteht der Witz auch in der Gegen­über­stellung. Zwei Beispiele wird mir der Autor erlauben: Viele meinen, Frauen würden nach dem Aussehen behan­delt. Das stimmt, denn gut aussehende Britin­nen verdienen 11% mehr als die schlecht ausse­henden. Doch bei Männern sind es 15%! Anteil der Ameri­kaner, die meinen, zumindest bald zum ober­sten Prozent der Einkommens­vertei­lung zu gehören: 42 Pro­zent!

Es soll immer noch arme Leute geben, die noch nie ein Zweieck gesehen haben. Dabei kommen sie sogar im tägli­chen Leben vor. Schneidet man aus der Erdober­fläche eine Zeit­zone, wie sie einmal gedacht waren, also ohne will­kürliche, geogra­phische oder poli­tische Verhun­zungen, dann entsteht ein Zweieck, das am Äquator immer­hin 1670 Kilo­meter breit ist und die beiden Pole als Ecken besitzt. Aber auch der gesamte Rest der Erdober­fläche, der nicht in dieser Zeit­zone liegt, bildet ein Zweieck, wenn es auch nicht so aussieht. Es hat die gleichen Ecken und Kanten, nur eben eine andere, viel größere Fläche.

Beim Dreieck ist es nicht anders. Male ich eines auf ein Blatt Papier, so entstehen zwei Gebiete. Das konvexe, endliche ist das Innere, der Rest das Äußere. Wenn ich vom Papierrand abstrahiere, ist es unendlich groß. Das Dreieck Frank­furt–Berlin–Hamburg mag einem ebenso vorkommen. Das Innere liegt inner­halb Deutsch­lands, der Rest der Welt bildet das Äußere. Warum eigent­lich? Was passiert, wenn ich die Hamburg‐Ecke zum Nordpol, die Frank­furt‐Ecke zum Südpol und dann die Berlin‐Ecke Richtung Osten über Tokio nach New York verschiebe?

Zurück zu den Zweiecken. Die idealen Zeit­zonen sind gute Beispiele für solche Zweiecke. Sie sehen wie eine Sichel oder Nudel aus und können auf flachem Papier auch so gemalt werden. Vom Dogma der gerad­linigen Verbin­dung zweier Punkte als die kürzeste muß man dazu natür­lich abrücken. Aber wir erkennen ja auch Dreiecke als solche, wenn die Kanten ausge­beult sind, wie im Inneren eines Wankel­motors. Beim Rech­teck heißt es tonnen­förmige Verzer­rung.

Neunmalkluge meinen, es dürfe nicht Dreieck und Viereck, sondern müsse Dreiseit bzw. Vierseit heißen, denn in drei Dimen­sionen nenne man einen Würfel ja auch Sechs­flächner oder gar Sechs­flach und nicht Zwölf­kant oder Acht­punkt. Grund­sätz­lich haben sie Recht. Man kann sich einen Polyeder als ein Gerüst aus Ecken und Kanten vor­stellen, in das Flächen einge­setzt sind. Sinn­voller mag die Vorstel­lung sein, wie ein Schreiner vom Gesamt­raum mehrfach etwas abzu­schleifen, bis ein k‑Fläch­ner übrig bleibt. Analog entsteht ein ebenes k‑Seit auch durch mehrfache Beschnei­dung mit der Schere, nicht nur durch Verbin­dung von Punkten.

Hilft uns diese Vorstel­lung beim Zweieck oder Zweiseit? Bei ausschließ­lich geraden Schnitten offen­sicht­lich nicht. Und ich möchte mir nicht vor­stellen, welche Anfor­derun­gen an gekrümmte Schnitt­linien zu stellen wären. So hat sich der mensch­liche Sprach­gebrauch wohl doch für die sinn­haf­tere Bezeich­nung ent­schieden und zieht das k‑Eck dem k‑Seit vor. Deshalb ist ein Zweiseit nichts anderes als ein Zweieck, und das besteht aus zwei Punkten, die kreu­zungs­frei durch zwei Linien ver­bunden sind, die sich evtl. über­lagern, im Extrem­fall iden­tisch sind.

Wie die Dreieckszahlen D(n) sich aus den Dreiecken und die Quadratzahlen Q(n) aus den Quadraten ergeben, so leiten sich die Fünfeckzahlen F(n) aus den Fünfecken ab. Mit Sechs-, Sieben und weiteren -ecken ist es nicht anders:

    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4

Man sieht schon, daß ab 5 keine vernünftige geometrische Grundlage mehr vorhanden ist. Das nehme ich einmal als Grund, von Fünfeckzahlen und nicht von Fünfeckszahlen zu sprechen. Dreieckszahlen sind sozusagen die Zahlen des(!) Dreiecks, während Funkeckzahlen nur solche sind, die vom(!) Fünfeck abgeleitet werden, denn aus rein lautlichen Gründen müßte es ja immer K-eckszahlen oder immer K-eckzahlen heißen. Doch spielt auch die innere Einstellung eine Rolle, ebenso die Häufigkeit der Benutzung. Und außerdem schreibt man doch auch dreißig nicht mit Z, gleichwohl es wie fünfzig klingt.

Wenn man nicht in der Lage ist, den Abbildungen das Bildungsgesetz für die Fünfeckzahlen F(n) oder gar das der K-Eckzahlen, den Polygonalzahlen oder polygonal numbers P(k,n) abzulesen und aus der arithmetischen Reihe das Bildungsgesetz zu finden, dann hilft eine Aufstellung der ersten Zahlen, die man notfalls durch Abzählen ermitteln kann.

P(3,n):   1  3  6  10  15  21  28  36  45  55
P(4,n):   1  4  9  16  25  36  49  64  81 100
P(5,n):   1  5 12  22  35  51  70  92 117 145
P(6,n):   1  6 15  28  45  66  91 120 153 190

Die konstanten Zuwächse 0,1,3,6,10,15,... in den Spalten sind Dreieckszahlen, so daß die sich als richtig erweisende Vermutung naheliegt, daß P(k,n)=P(k-1,n)+D(n-1) ist. Für k=4 ist das die bekannte Beziehung Q(n)=D(n)+D(n-1).

Der obenstehenden Abbildung kann man entnehmen, wie man von der Fünfeckzahl F(n-1) zur Fünfeckzahl F(n) aufsteigt, indem man 3 Kanten mit n Punkten hinzunimmt und bedenkt, daß in 2 Ecken diese Punkte aufeinander fallen. Zusammen sind es also 3n-2 Punkte. Damit ist (n)=F(n-1)+3n-2 und somit

F(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n-2) = n*(3n-1)/2

Das ist nicht schwierig zu errechnen, weil es sich um eine arithmetische Reihe handelt. Schnell verallgemeinert sich für das k-Eck wie folgt: Es kommen k-2 Kanten zu n Punkten hinzu und an k-3 Ecken fallen die Punkte aufeinander. Damit ist P(k,n)=P(k,n)+(k-2)n-(k-3) und somit

P(k,n) = 1 + 2(k-2)-(k-3) + 3(k-2)-(k-3) + ... + n(k-2)-(k-3)
       = n((k-2)n-(k-4))/2

weil es sich wieder um eine arithmetische Reihe handelt. Tatsächlich erhalten wir für die ersten Spezialfälle:

D(n) = P(3,n) = n(1n+1)/2 = n(n+1)/2
Q(n) = P(4,n) = n(2n+0)/2 = n*n
F(n) = P(5,n) = n(3n-1)/2
S(n) = P(6,n) = n(4n-2)/2 = n(2n-1)

Dem kann man S(n)=D(2n-1) entnehmen. Damit ist jede zweite Dreieckszahl eine Sechseckzahl, die man aber nicht verwechseln sollte mit der Zahl der Punkte in einem voll ausgefüllten sechseckigen Muster.

Sloane | Figurierte Zahlen

Wie man die n‑te Qua­dratzahl Qₙ von der Zahl der Punkte einer quadra­tischen Anord­nung von n mal n Punkten ableitet, ergibt sich die n‑te Drei­ecks­zahl Dₙ aus einer eben­solchen drei­eckigen.

Q4=16  1 2 3 4   D4=10   1
       2 2 3 4          2 2
       3 3 3 4         3 3 3
       4 4 4 4        4 4 4 4

Ich schreibe mit Fugen‑S [1], gleichwohl manche geneigt sind, von Dreieck­zahlen oder sogar von einer Dreieck­zahl zu sprechen, weil es ja auch nicht Qua­drats­zahl heiße. Doch beim Fugen‑S gewin­nen neben Üblichkeit nicht faden­scheinige formale Gründe, sondern lautliche.

Ich schreibe auch Dₙ für Dreiecks- und Qₙ für Quadratzahlen, nicht nach amerika­nischer Sitte Tₙ und Sₙ, was sich von trigonal bzw. square ableitet, gleich­wohl ich bei allen Vorbe­halten gegen das amerika­nische Wesen im allge­meinen die in der Mathe­matik üblichen inter­nationalen Bezeich­nungen bevorzuge. [2] Glück­licher­weise sind die Formeln für diese Zahlen so einfach, daß man sie abseits von Erläu­terun­gen zumeist direkt hin­schreibt und so D, Q, T und S vermeidet.

Die Formel für Quadrat­zahlen Qₙ=n⋅n=n² ist einfach. Die n‑te Quadrat­zahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argu­mentes. Für Dreiecks­zahlen [3] lautet die Formel Dₙ=n(n+1)/2 .Sie ist nicht ganz so einfach zu merken, gleich­wohl es dafür auch Bezeich­nungen wie n+1 über 2 gibt. Doch wenn man die nicht kennt, nütz einem das auch nichts.

Die Anschau­ung führt auf die Defini­tion Dₙ=1+2+…+n. Zwar liegen die Verhält­nisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbil­dungen wie

o o o o o x   D(5) mal o  
o o o o x x   D(5) mal x
o o o x x x
o o x x x x   5 Zeilen
o x x x x x   6 Spalten

die Beziehung 2⋅Dₙ=n(n+1) und damit Dₙ=n(n+1)/2 ableiten könnte, doch bezieht der Mathe­matiker sich letztlich nicht auf Bilder. Sie sind ihm nur Anre­gung und Hilfe. Dadurch werden Mathe­matiker nicht zu reinen Forma­listen. Sie sind im allge­meinen nur besser in der Lage, Anschau­ung zu formali­sieren, um ihre intui­tiven Ideen abzu­sichern. Heute reicht es nicht mehr, ein Bild zu malen und „siehe“ darunter zu schreiben. Ab der vierten Dimen­sion versagt diese Vor­gehens­weise so und so.

Aus der Definition Dₙ=1+2+…+n die Formel Dₙ=n(n+1)/2 abzu­leiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich ledig­lich davon über­zeugen, daß D₁=1 und Dₙ−Dₙ₋₁=n ist. Oder man sieht die arithme­tische Reihe und erinnert sich an die sechste Klasse: Anzahl der Summanden n mal Mittelwert. Für letzteren reicht die halbe Summe aus erstem und letztem Glied, also (1+n)/2.

Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß [4] die Schüler beschäf­tigen wollte und sie deshalb die Zahlen von 1 bis 100 addie­ren, also D₁₀₀ bilden ließ. Gauß ant­wortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathe­matiker vorging, der keine Formel für die arith­metische Reihe aus­wendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Sum­manden (hier 100) es sind und wie groß der Mittel­wert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100⋅50,5=5050 ist offen­sichtlich das Ergebnis.

Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offen­sichtlich sei. Weil die arith­metische Reihe so leicht zu durch­schauen ist, daß keine Formel memo­riert werden muß. Sie wird jedes­mal vom Kleinhirn mühelos abge­leitet oder hoch­gespült. Es mag selbst Bildungs­bürgern, die sich in der Schule vergeb­lich an Formeln mühten, merk­würdig vorkom­men, was Mathe­matiker alles für klar wie Kloßbrühe, folklo­ristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Ver­ständnis sollten sie einfach daran denken, daß sie selbst auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern fran­zösisch par­lierten.

[1] Fugen‑S. Kompetenzteam, 01.11.2004.

[2] Bei allem Lobpreis der sowjeti­schen mathe­matischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch einge­stehen, daß sie schon wegen der von west­lichen Gepflo­gen­heiten abwei­chenden Dar­stel­lung Schwie­rig­keiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Über­setzung. Nicht selten sind dann i und j ver­wechselt.

[3] The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217.

[4] Ich las einmal DER GAUSZ^SCHE BEWEIS in einer Über­schrift. Auf der Schreib­maschine müßte der Lehrer von Gauß DER GAUSZ­SCHE LEHRER sein. Neuer­dings gibt es auch ein großes Eszett.

Quadratzahlen