Zahlwort

Leider gibt es keinen brauch­baren 27. Buch­sta­ben. Mit den 10 Zif­fern wären es 37 Zei­chen, und bei Unter­schei­dung von Groß- und Klein­buch­sta­ben sogar 64. Sowohl 27 als auch 64 sind Dreier­poten­zen. Mit der Schön­heit 27·37=999 ergibt sich

10³ − 1³ = 1000 − 1 = 999 = 27·37 = 27·(64−27) = 3³·(4³−3³) = 12³ − 9³

also 10³+9³=12³+1³=1729, die klein­ste Zahl, die auf zwei­fache Weise als Summe zweier Kubik­zah­len dar­stell­bar ist.

Diese Zahl 1729 heißt Hardy-​Rama­nujan-​Zahl, gele­gent­lich auch poli­tisch und inhalt­lich kor­rek­ter Rama­nujan-​Hardy-​Number, denn es geht die Ge­schich­te, der große Zah­len­theo­reti­ker Hardy habe Rama­nujan am Kran­ken­bett besucht und er­wähnt, er sei mit dem Taxi 1729 gekom­men, was wohl eine recht un­inter­es­sante Zahl sei, worauf­hin Rama­nujan ihm wider­sprach und be­merk­te, 1729 sei die klein­ste Zahl, die auf zwei­fache Weise als Summe zweier Kubik­zah­len dar­stell­bar ist.

Wegen dieser Geschichte heißt 1729 auch zweite Taxicab-​Number. Die n‑te ist die klein­ste Zahl, die auf n‑fache Weise als Summe von 2 Kubik­zahlen dar­ge­stellt wer­den kann. [1] Nur sechs sind bis­her be­kannt.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Hardy-​Rama­nujan-​Zahlen A011541.

27 | 37 | 999

Unter­strich, Klammer­affe, Dollar­zei­chen, Krämer-Und, Eszett und Umlaute sind für mich als 27. Buch­staben aus­ge­schie­den. Alle ande­ren Zei­chen des ASCII-​Codes schnei­den nicht besser ab. Und der Rest kommt so und so nicht in­frage, denn er berei­tet nur Schwie­rig­kei­ten. Lei­der kommt man in der moder­nen Welt nicht umhin, auch Zei­chen zu ver­wen­den, die noch nicht einmal in der der 8‑Bit-​ANSI-​Erwei­te­rung des 7‑Bit-​ASCII-​Codes vor­gese­hen sind. Ich ver­suche sie spar­sam einzu­setzen, denn selbst teu­erste Soft­ware kann schon an ein­fa­chen Um­lau­ten scheitern. [1]

Noch in den Achtzi­gern mußte man zumeist mit den 128 Zei­chen des US‑ASCII-​Codes aus­kom­men, der aller­dings an den 12 Posi­tio­nen $@[\]^_`{|}~ natio­nale Anpas­sun­gen er­laubte. Die deut­sche gemäß DIN 66003 er­setzte davon @[\]{|}~ durch §ÄÖÜäöüß. Das führte gele­gent­lich zu Pro­ble­men, wes­halb ein Be­kann­ter einen Schalter am sei­nem PET 2001 hatte, um die Dar­stel­lung zwi­schen eng­lisch für Assemb­ler und deutsch für Texte um­zu­schalten.

[1] Inzwischen sind zwei Jahr­zehnte vergangen, und ich habe mich damit ange­freundet auch ent­legene Zeichen des Unicodes zu ver­wenden, allein schon zur Dar­stel­lung von hoch- und tief­gestell­ten Zeichen ohne Verhun­zung des Zeilen­abstan­des. Hinzu kommen so simple Zeichen wie der Malpunkt, die einen Formel­umbruch ver­hindern helfen.

27 | Unterstrich | Klammeraffe | Dollar | Krämer-Und | Eszett | Umlaute

Hundert Tage lang habe hier nichts ein­getra­gen. Es gab wohl wich­tige­res als Zahl­wörter.

Die Umlaute Ä, Ö und Ü scheiden auch als 27. Buch­stabe aus. Zum einen muß man sie wohl im Dreier­pack nehmen, zum ande­ren sind es nur A, O und U mit zwei Punk­ten, und zum drit­ten haben sie keinen Platz im 7‑Bit-​ASCII-​Code gefun­den, der aller­dings 12 Zei­chen für natio­nale Vari­an­ten vorsah. So erset­zen die Umlaute nach DIN 66003 die drei Zei­chen [\] und {|} hin­ter dem Buch­sta­ben Z. Davon wurde Abstand genom­men als der ab­stru­se Black­slash \ sich in der Welt breit machte.

27 | 999 | ASCII | Unterstrich | Klammeraffe | Dollar | Krämer-Und | Eszett

Wer schon ein­mal Wör­ter wie SCHEIßE in Über­schrif­ten gese­hen hat, wird mir zu­stim­men, daß Eszett als 27. Buch­stabe aus­fällt, zumal es auch kein gro­ßes Eszett gibt und deshalb SCHEISSE, nicht aber SCHEISZE zu schreiben ist. Außer­dem fehlte Eszett im 7‑Bit-​ASCII-​Code, der aller­dings 12 Zeichen zu nati­ona­len Anpas­sung vorsah. So befin­det sich das Eszett nach DIN 66003 statt der Tilde an Posi­ti­on 126.

Nun sind fünf Jahre vergan­gen, und es gibt ein gro­ßes, häßli­ches ẞ als Eszett. Da­durch sind so abar­tige Schreib­wei­sen wie SCHEIẞE mög­lich. Er­for­der­lich war es nicht, denn auch andere Liga­tu­ren wer­den als Ver­sa­lien ge­trennt ge­schrie­ben. Und jeder sollte den Kon­text so gestal­ten können, daß ein als SS ge­schrie­be­nes Eszett er­kannt wird.

27 | 999 | ASCII | Unterstrich | Klammeraffe | Dollar | Krämer-Und | Umlaute

Wenn nicht der Klammer­affe oder der Unter­strich, so könnte doch das Dollar­zei­chen den 27. Buch­sta­ben abge­ben. Es wird im Com­puter­be­reich gerne in Namen ver­wen­det und fast als ein alpha­nume­ri­sches Zei­chen ge­se­hen. Doch steht dem Dol­lar dieser Rang zu, dann auch dem Yen und dem Euro. Und da Geld nicht die Welt regie­ren sollte, fällt für mich das Dollar­zei­chen als Zusatz­buch­stabe aus. Doch Spaß bei­seite: Es kommt schon wegen seiner be­son­de­ren Bedeu­tung unter Unix nicht in­frage.

27 | 999 | ASCII | Unterstrich | Klammeraffe | Krämer-Und | Eszett | Umlaute

Wenn einem ein 27. Buch­stabe fehlt, dann könnte man wie die Grie­chen ein­fach ein ande­res Zei­chen hin­zu­neh­men. Im ASCII-​Code direkt vor A lie­gend bie­tet sich das auch Klam­mer­affe genannte At‑Zei­chen @ an. Doch zum einen gab es das in Deutsch­land frü­her nicht (DIN 66003 mit § statt @), zum ande­ren hat es oft­mals eine reser­vierte Bedeu­tung (Master­space unter Exec 8) und zum drit­ten bricht man sich beim Schrei­ben eins ab (Alt Gr und Q).

27 | 999 | ASCII | Unterstrich | Dollar | Krämer-Und | Eszett | Umlaute

Vor dem Siegeszug der Binnen­majus­keln wie in Word­Star oder MyBlog durch die Pascal-Pro­gram­mie­rer hatte man in der Daten­ver­arbei­tung WORD_STAR oder MY_BLOG ge­schrie­ben und damit den unse­li­gen Unter­strich fast in den Rang eines alpha­nume­ri­schen Zei­chens erho­ben, sozu­sagen als sicht­ba­res Leer­zei­chen oder gro­ßer Bin­de­strich, zu allem Über­fluß gerne am Beginn eines Wor­tes ver­wen­det. Wer ein­mal ein unter­stri­che­nes Wort mit Unter­strich gese­hen hat, der weiß, daß er als 27. Buch­stabe aus­schei­det.

27 | 999 | ASCII | Klammeraffe | Dollar | Krämer-Und | Eszett | Umlaute

Die alten Grie­chen hatten noch weni­ger Buch­sta­ben im Alpha­bet als wir. Sie haben ein­fach drei hinzu­genom­men, um auf 27 zur Darstellung der Zah­len 1–9, 10–90 und 100–900 zu kommen. Das machte sie zu schlech­ten Rech­nern. Mehr hatte ich im Jahre 2003 nicht zur 27 ge­schrie­ben. Inzwi­schen sind 18 Jahre ver­gangen:

Auch wir haben nur 26 Buch­sta­ben. Zwar benö­ti­gen wir keinen 27. mehr, um mit ihm 900 zu schrei­ben, doch 27 Buch­sta­ben wür­den zusam­men mit den zehn Ziffern genau 27⋅(27+10)=999 zwei­stel­lige alpha­numeri­sche Be­zeich­nun­gen von AA bis Z9 oder A0 bis ZZ zulas­sen. Die Eng­län­der hatten früher & dem Z nachge­stellt. Der ASCII-​Code legt ein @ vor dem A nahe.

Natürlich fällt auf, daß 27=3⋅3⋅3 eine Kubik­zahl ist. Damit hat die aus den ersten drei zen­trier­ten Sechs­ecken gebil­dete Pyra­mide eben­falls 1+7+19=27 Punkte. Außerdem ist 1+9+17=27 die dritte Zehn­eck­zahl. Daß 27=3²+3²+3²=5²+1²+1² die klein­ste Zahl ist, die auf zwei­fache Weise als Summe von genau drei ech­ten Qua­dra­ten dar­stell­bar ist, haut nicht vom Sockel, denn mit zuge­lasse­ner Null bzw. weni­ger als drei Sum­man­den geht es auch für 9, 17, 18, 20, 25 und 26.

Die Ziffern der Periode von 1/7=0,142857 erge­ben 27 in der Summe. [1] Die 27 ist die ein­zige Zahl, die das Drei­fache ihrer Quer­summe ist. [2] Reich­lich konstru­iert ist 27 als kleinste zusam­menge­setzte Zahl, die durch keine ihrer Zif­fern teilbar ist. [3] Die Summe der Ziffern von der führen­den 2 bis zur hin­te­ren 7 ist 27. Das ist ein Witz gegen­über der um eins größe­ren 28 als der voll­kommenen sieb­ten Drei­ecks­zahl, womit 27 aber die siebte Pizza­zahl und die Summe der Punkte der far­bigen Bälle beim Snoo­ker ist. Eben­falls außer­halb ech­ter Zahlen liegt der Klub 27 mit seinen im 28. Le­bens­jahr verstor­be­nen Musi­kern. Und für Fromme blei­ben neben der drei­fachen Drei­fal­tig­keit 3⋅3⋅3 die 27 Bü­cher des Neuen Testa­men­tes.

Herausragend aber ist, daß 27 stolze 111 Schrit­te bis zur 1 benö­tigt, wenn man fort­wäh­rend gerade Zah­len hal­biert und unge­rade verdrei­facht und 1 ad­diert. [4] Das Collatz- oder (3n+1)‑Pro­blem be­steht in der Frage, ob alle Zah­len letzt­lich auf 1 füh­ren. Das scheint von wenig mathe­mati­scher Bedeu­tung, hat aber vie­len Jahre ihres Lebens ge­kostet.

[1] Nicht erst 1/14 kommt wieder auf diese stolze Summe, auch 1/13=0,076923 (A036275, A270392).

[2] Einstellige Zahlen scheiden aus, mehr als zwei­stel­lige sind zu groß, bleiben 3(a+b)=10a+b, also 2b=7a. Damit muß b durch 7 teilbar sein, also b=0 oder b=7.

[3] Die kleinsten Zahlen, die durch keine ihrer Ziffern teilbar sind, lau­ten 23, 27, 29, 34, 37, 38, 43 (A038772). Die Ein­schrän­kung auf zusam­men­ge­setzte Zah­len besei­tigt die füh­rende 23.

[4] 27→82→41→124→…​→9232→…​→20→10→5→16→8→4→2→1 (A008884, A006577).

26 | 28 | 999 | 1729 | 142857 | & | $ | @ | zweifache Quersumme