Zahlwort

Da Herr Mark [1] gestern bereits auf die Iden des März hinge­wiesen hat, will ich heute etwas zur Zahl 315 (gemäß 3/15) schreiben, nicht über Cäsar, der nach seinem Kalender am 28. März seit 2051 Jah­ren tot ist. Über die andere Zahl 153 des heu­tigen Tages (gemäß 15.3.) hatte ich mich bereits ausge­lassen. Sie kommt in der Bibel vor, nicht aber 315. Und weil 3 mal 15 auch nichts herzugeben scheint, bleibt neben dem Spiel mit den gün­stigen Ziffern 1, 3 und 5 zunächst nur noch die Zerle­gung 315=3·3·5·7 in Faktoren.

Die Zahl 315 gehört zu den drei­stellige Zahlen abc, die sich als (x+a)(x+b)(x+c) schreiben lassen [2]:

120 = (4+1)(4+2)(4+0) 
210 = (5+2)(5+1)(5+0)
315 = (4+3)(4+1)(4+5)
450 = (5+4)(5+5)(5+0)
780 = (5+7)(5+8)(5+0)
840 = (6+8)(6+4)(6+0)

Sie ist die interes­santeste unter ihnen, weil nur sie kein Viel­faches von 10 ist. Außerdem ist

315 = (3+1+5)(32+12+52)

3·3·7·5 = 315
3 3 7 5 = 153

Ein magischer Würfel ist ein magisches Quadrat in drei Dimen­sionen, also eine Anord­nung der Zahlen 1 bis n³ in einem n×n×n-Raster. In alle drei Rich­tungen und auch längst der Diago­nalen muß sich die gleiche Summe ergeben. Abge­sehen vom tri­vialen Würfel, der nur aus der 1 besteht, hat der kleinste magi­sche Würfel eine Kanten­länge von n=5. Die magi­sche Zahl ist

M(n) = n(n³+1)/2 = 5(5³+1)/2 = 315

Sonst scheint es nur noch Kleinig­keiten zu geben. So teilt nicht nur die Quer­summe 3+1+5=9, sondern auch das Quer­produkt 3·1·5=15 die Zahl 315. Und das Quadrat 99225 von 315 ist das kleinste, das mit zwei Neunen beginnt.

[1] Mark793: Pi mal Daumen plus Datum mal Schuhgröße. Die dunkle Seite, 14.03.2008.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A055482
[3] Eric W. Weisstein: Perfect Magic Cube of Order 5 discovered. Wolfram Mathworld.

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