Zahlwort

Fast alle Zahlen lassen sich als Summe von 16 oder weniger Biqua­draten darstellen. Nur endlich viele benötigen mehr Sum­manden, sieben davon die Höchst­zahl von 19. Die Zahl 319 ist eine von ihnen, und zwar die kleinste, die auf zwei­fache Art zerlegt werden kann.

319 = 256+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
319 = 81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Wenn man sich die Palett 1, 16, 81, 256, 625, … der vierten Potenzen ansieht, erkennt man, daß für Zahlen bis 80 die hexa­dezimale Quer­summe die Zahl der erfor­derlichen Sum­manden angibt. Das Maximum wird offen­sichtlich bei 79 (hexadezima 4F) mit der Quersumme 4+15=19 (hexadezimal 4+F=13) erreicht, alle anderen gehen mit weniger Summanden.

Enthält eine Zerlegung der Zahl n einen Sum­manden 1, kann diese 1 gegen 81 ausgetauscht werden, um eine gleich lange Zerlegung der Zahl 80+n zu erhalten. Es verwundert deshalb nicht, die Zahlen mit der maximalen Summan­denzahl in der Reihe 79, 159, 239, 319, … zu finden.

 79 =        4·16 + 15·1
159 =   81 + 4·16 + 14·1
239 = 2·81 + 4·16 + 13·1
319 = 3·81 + 4·16 + 12·1
399 = 4·81 + 4·16 + 11·1
479 = 5·81 + 4·16 + 10·1
559 = 6·81 + 4·16 +  9·1

Mit 256 kommt ein viertes Biquadrat ins Spiel, das ab 319 eine zweite Zerle­gung gestattet:

319 = 256 +        3·16 + 15·1
399 = 256 +   81 + 3·16 + 14·1
479 = 256 + 2·81 + 3·16 + 13·1
559 = 256 + 3·81 + 3·16 + 12·1

Wieder erkennt man in dieser Viererreihe den Austausch einer 1 gegen eine 81. Vergleicht man dagegen die jeweils zwei Zerle­gungen der Zahlen 319, 399, 479 und 559, sieht man einen Austausch von 256+1+1+1 gegen 81+81+81+16. Bei 559 kann man das auch zweimal machen, womit sich eine dritte Zerle­gung ergibt:

559 = 2·256 + 2·16 + 15·1

Leicht überlegt man sich, daß es keine weiteren und vor allem keine kürzeren Darstel­lungen der sieben Zahlen 79, 159, 239, 319, 399, 479 und 559 gibt und daß alle Zahlen unterhalb des nächsten Biquadrates 625 kürzere Zerle­gungen haben, insbesondere das nächste Glied 559+80=639 der Reihe sich einfach als 625+14·1 schreiben läßt. Man kann die Über­prüfung auch sehr großer Zahlen natürlich einem Computer überlassen, doch am Nachweis, daß es auch in weiter Ferne keine Zahl mit 19 erforder­lichen Sum­manden gibt, beißen sich die heutigen Rechner noch die Zähne aus, weil sie wie die Praktiker gut arbeiten, doch leider noch nicht wie die Theo­retiker gut denken können.

[1] A046050