Zahlwort

Schneide ich von der Primzahl 317 links Ziffern ab, so entstehen die Prim­zahlen 17 und 7. Mache ich es von rechts, komme ich auf 31 und 3. Damit ist 317 eine beid­seitig stutz­bare Prim­zahl. Das erwähnte ich bereits zur Zahl 739397, der größten unter ihnen.

Natürlich lassen sich ein paar mathe­matische Besonder­heiten zu 317 finden. So kann die bekannte Tatsache genutzt werden, daß π² nur knapp unter 10 liegt. Doch nicht nur 314² ist fünf­stellig, auch 315² und 316² sind es. Erst 317²=100489 hat sechs Stellen. Damit haben wir eine Klei­nigkeit gefunden: Die 317. Qua­drat­zahl ist die kleinste ober­halb von 100.000. [1]

Ein Kreis um den Punkt (0,0) mit Radius 10 hat eine Fläche von 100π, weshalb in ihm etwa n=100π≈314 Punkte des Einheits­gitters liegen. Da n=1 mod 4 sein muß, kommem vor allem 313 und 317 in Betracht. Ersteres wäre schön für Donald Duck, doch letz­teres trifft zu. Hier ein Bild der 317 Punkte:

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            o o o o o o o o o
        o o o o o o o o o o o o o
      o o o o o o o o o o o o o o o
    o o o o o o o o o o o o o o o o o
    o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
    o o o o o o o o o o o o o o o o o
    o o o o o o o o o o o o o o o o o
      o o o o o o o o o o o o o o o
        o o o o o o o o o o o o o
            o o o o o o o o o
                    

Bemerkens­werter ist, daß die Zahl aus 317 Einsen eine Prim­zahl ist. Sie ist die kleinste nach den weit­gehend bekannten mit 2, 19 und 23 Einsen. Auch zur Basis 12 gelesen stehen 317 Einsen für eine Prim­zahl. [2]

Weitgehend bekannt ist, wie Euklid nachwies, daß es unend­lich viele Prim­zahlen gibt: Gäbe es nur endlich viele 2, 3, 5, …, pⁿ, so wäre ihr um eins vermehrtes Produkt selbst prim oder hätte einen Primteiler oberhalb von pⁿ, da durch 2, 3, 5, ,…, pⁿ ja nicht geteilt werden kann. Diese Über­legung ist auch mit eins weniger statt mehr möglich. Die Pro­dukte 2·3·5·…·pⁿ heißen Prim­fakul­täten (primo­rials) und werden mit n# abge­kürzt. Mit einem Zuschlag von eins heißen sie Euklid-​Zahlen, mit einem Abschlag von eins Kummer-​Zahlen. Für n≤6 sind die n#±1 gerne prim, danach nur noch selten:

 n   pn  2·3·5·7·...·pn  =  n#           n#+1                n#-1              
 0    -  -                            1  prim                0
 1    2  2                            2  prim                1
 2    3  2·3                          6  prim                prim
 3    5  2·3·5                       30  prim                prim
 4    7  2·3·5·7                    210  prim                11·19
 5   11  2·3·5·7·11                2310  prim                prim
 6   13  2·3·5·7·11·13            30030  59·509              prim
 7   17  2·3·5·7...17            510510  19·97·277           61·8369
 8   19  2·3·5·7...19           9699690  347·27953           53·197·929
 9   23  2·3·5·7...23         233092870  317·703763          37·131·46027
10   29  2·3·5·7...29        6469693230  331·571·34231       3·11·47·61·69439
11   31  2·3·5·7...31      200560490130  prim                228737·876817
12   37  2·3·5·7...37     7420738134810  181·60611·676421    229·541·1549·38669
13   41  2·3·5·7...41   304250263527210  61·450451·11072701  prim
24   89  2·3·5·7...89   ...............  zusammengesetzt     prim
66  317  2·3·5·7...317  ...............  zusammengesetzt     prim
75  379  2·3·5·7...379  ...............  prim                zusammengesetzt

Das um eins verminderte Produkt aller Prim­zahlen bis 317, also

( 2 · 3 · 5 · 7 · … · 313 · 317 ) - 1.

ist prim. Für andere Zahlen ist das nur selten der Fall, doch nicht außer­gewöhn­lich. [3]

Das alles ist nicht so bedeutend. Doch nicht nur deshalb tummeln sich bei Google vorne ganz andere Treffer, belang­lose Listen, irgend­welche Spinne­reien oder Lite­ratur. So ist die Rede von einem franzö­sischen Schrift­steller Jacques Roubaud, der gerne 317 schrieb und einen Hund mit 317 Meter pro Sekunde in einen Fluß fallen läßt, offen­sichtlich ohne zu erklären, was er sich wohl dabei gedacht hat oder wie das ginge. An anderer Stelle wird der Russe Welimir Chleb­nikow erwählt, der zwischen wich­tigen See­schlachten einen Abstand von 317 Jahren bzw. Viel­fachen davon festge­stellt haben will und darin einen höheren Plan sieht.

Man sollte also aufgeben und akzep­tieren, daß hinter 317 kein Gedanke von Bedeu­tung steckt, allen­falls ein privater Bezug. Doch mit etwas Glück habe ich noch weitere Kleinig­keiten gefunden: Zehn hoch zehn Sekun­den dauern fast genau 317 Jahre. Und schlägt ein Hund mit 317 Metern pro Sekunde auf, dann fliegt er mit 10 Millionen Kilo­metern im Jahr. Das ent­spricht einer Fall­höhe leicht über 5 Kilo­metern.

[1] Dank Taschenrechner geht es natürlich auch einfacher: Wegen √10=3,162277… ist 32² die kleinste vier­stellige, 317² die kleinste sechsstellige, 3163² die kleinste achstellige Quadratzahl und so fort. Merken sollte man sich nur 32²=1024=2¹⁰ für Kilo binary (Kibi).

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellen­zahl primer Repunits zur Basis 10 (A004023) und zur Basis 12 (A004064).

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Euklid-Zahlen A006862, darunter A018239 prim zu den Produkten mit A014545 Faktoren. Kummer-Zahlen A057588, darunter A057705 prim zu den Produkten mit A057704 Faktoren.

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