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wuerg, 17.10.2005 22:33
Setzt man in das Eulersche Primpolynom n(n−1)+41 eine Zahl nach der anderen ein, so erhält man lauter Primzahlen:
Die im Eulerschen Primpolynom enthaltenen Rechteckzahlen n(n−1) sind gerade und lassen bei Division durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 ergeben sich tatsächlich Polynome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Primzahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] überfliegend recht verstanden habe.
[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassenzahl-Eins-Problem. 2012.
Ulam-Spirale | Eszett
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... n(n-1)+41: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 ...Das geht so weiter bis n=40 mit der Primzahl 1601, doch für n=41 kommt wegen n(n−1)+41=41⋅40+41=41⋅41 eine Quadratzahl heraus. Wie findet man solche Folgen ohne Computer und ohne viel Zahlentheorie?
Die im Eulerschen Primpolynom enthaltenen Rechteckzahlen n(n−1) sind gerade und lassen bei Division durch 3 nur die Reste 0 und 2. Deshalb enthalten die Folgen n(n+1)+6k+5 keine durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen. Und für k=0,1,2,3,6 ergeben sich tatsächlich Polynome n(n−1)+a mit a=5,11,17,41, die bis n=a−1 Primzahlen sind. Hinzu kommen a=2,3. Weitere habe ich bis 1000 nicht gefunden und gibt es wohl auch nicht, wenn ich [1] überfliegend recht verstanden habe.
[1] Candy Walter: Das Gauss'sche Klassenzahl-Eins-Problem. 2012.
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