Zahlwort

Zunächst ist 24=1⋅2⋅3⋅4=4! die vierte Fakul­tät. Wärend 3!=6 nur eine voll­kommende Zahl ist, sind alle grö­ßeren Fakul­täten Teiler­protze. So auch 24 mit der Teiler­summe 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Zudem ist 24 die kleinste Zahl mit acht Tei­lern und die größte, die durch alle Zahlen bis zu ihrer Wurzel teil­bar ist, hier 1, 2, 3 und 4. Es ist leicht, noch belanglosere Besonderheiten zu finden. Ein Beispiel: 24 ist die größte Fakultät ohne 0 am Ende.

Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheits­quadra­ten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durch­messer eins ein, dann bleibt um die Ecken herum noch Platz für klei­nere Kreise mit Durch­messer √d−1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleich­große und 2ᵈ=4 klei­nere. Macht man das gleiche mit Wür­feln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durch­messer eins 2d=6 gleich­große und 2ᵈ=8 klei­nere an den Ecken des Würfels vom Durch­messer √d−1=0,732. In vier Dimen­sio­nen (d=4) sind es 2d=8 in den benach­barten Hyper­würfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d−1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht. [1]

Diese sog. Kußzahlen sind weit­gehend unbe­kannt, doch für 24 Dimen­sionen kennt man sie, näm­lich 196560. Viel­leicht verstehe ich eines Tages einen Zusammen­hang mit der String­theorie in 24+2 Dimen­sionen oder dem Kano­nen­kugel­problem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat aus­legen und zugleich als quadra­tische Pyra­mide stapeln kann. Abge­sehen von der trivi­alen 1 geht es nur mit 4900, wozu die ersten 24 Qua­drat­zahlen sich zu 70⋅70 addie­ren.

Eine wirkliche Spielerei ist das 24‑Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:

1 1 3 2  (3+2−1⋅1)!   9 4 8 7  (4+8)(9-7)    6 7 2 3  6⋅7/2+3
1 8 5 7  8⋅(7−5+1)    3 2 9 2  (9−3)(2+2)    1 1 7 8  17+8−1
5 9 1 6  1⋅6⋅(9−5)    7 4 7 6  4⋅6⋅7/7       5 4 6 8  8⋅(4+5−6)
3 6 9 3  3⋅9−6+3      2 1 9 8  8⋅9/(1+2)     3 8 7 4  (4⋅7−3⋅8)!

Dreimal habe ich nichts gefunden und mußte zur Fakul­tät (!) bzw. Ziffern­zusam­men­set­zung (17) grei­fen. Ein inter­essan­ter Fall ist (1,3,4,6) mit 24=6/(1−3/4).

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Dritte Neuneckzahl 24=E₃=1+8+15=D₃+3R₂ (png)

Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, 1/24 ist ein Karat, 24!≈6⋅10²³ trifft unge­fähr die Avo­gadro-​Kon­stante, aus 24 Ok­tae­dern kann ein raum­füllen­der vier­dimen­siona­ler Poly­eder mit vielen Namen wie Octa­plex gebil­det wer­den, Filme haben nor­maler­weise 24 Bil­der pro Sekunde, die 12 Stäm­me Israel und die 12 Apo­stel addie­ren sich zu 24, es gibt 24 Äl­teste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neun­eck­zahl, die alles erklä­rende Zif­fern­folge 4 und 2 könnte auch 24 bedeu­ten, das grie­chi­sche Alpha­bet hat 24 Buch­staben, 24=11+13 ist Summe eines Prim­zahl­zwil­lings, gerne wird behauptet, es gäbe nicht nur Dur und moll, sondern 24 Ton­arten. Und dergleichen mehr.

[1] Daß eine 25. Kugel gleicher Größe nicht dranpaßt wurde erst 2008 bewiesen. Und Vorsicht: Für d>4 versagt die Methode. Die zu gro­ßen 2ᵈ Eck­kugeln über­schnei­den sich gegen­seitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durch­mes­ser 1 ver­klei­nert und an die Zen­tral­kugel heran­führt. Ihr Abstand ist dann mit 2/√d<2 immer noch zu gering. Tatsäch­lich weiß man nicht, ob für d=5 wirk­lich 10+32=42 mög­lich sind.

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