Zahlwort

Die Dreieckszahlen, Quadrat­zahlen, Fünfeck­zahlen, Sechseck­zahlen usw. werden nach griechi­schen Vorstel­lungen gebildet, indem man stets ein größeres Polygon hinzunimmt:

    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4

Doch ab den Fünfeck­zahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseck­zahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt aussehen:

                           4 4 4 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
1   2 1 2   3 2 1 2 3   4 3 2 1 2 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
                           4 4 4 4

Dieses Schema kann auf alle k‑Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate, Fünf- und Sechs­ecke gut aus:

      4         4---4---4---4          4             4 4 4 4
     /3\        | 3---3---3 |        4 3 4          4 3 3 3 4
    4/2\4       4 | 2---2 | 4      4 3 2 3 4       4 3 2 2 3 4
   /3/1\3\      | 3 | 1 | 3 |    4 3 2 1 2 3 4    4 3 2 1 2 3 4
  4/2---2\4     4 | 2---2 | 4     4 3 2 2 3 4      4 3 2 2 3 4
 /3---3---3\    | 3---3---3 |      4 3 3 3 4        4 3 3 3 4
4---4---4---4   4---4---4---4       4 4 4 4          4 4 4 4

Die solchen Gebilden zugeord­neten Punkte­zahlen heißen zen­trierte Poly­gonal­zahlen, die ich mit pᵏₙ für das k‑Eck mit jeweils n Punk­ten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich dank

pkn = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
    = 1 + k·(1+2+3+...+(n-1))
    = 1 + k·D(n-1)
    = 1 + k·n(n-1)/2

leichter berechnen als die (unzen­trierten, gewöhn­lichen, ein­fachen, nor­malen) Poly­gonal­zahlen

Pkn = 1 + (1+(k-2)) + (1+2(k-2) + (1+3(k-2)) + ... + (1+(n-1)(k-2))
    = n + (1+2+3+...+(n-1))·(k-2)
    = n + D(n-1)·(k-2)
    = n + (n(n-1)/2)·(k-2)
    = n·[(k-2)n-(k-4)]/2

In beiden Formeln ist Dₙ₋₁=P³ₙ₋₁=n(n−1)/2 die (n−1)‑te Drei­ecks­zahl. Wie man in geeig­neten Dar­stel­lungen der einfachen Poly­gonal­zahlen

B B B B A           B B B B A            B B B B A
 B B B A A         C B B B A A          C B B B A A
  B B A A A       C C B B A A A        C C B B A A A
   B A A A A     C C C B A A A A      C C C B A A A A
    1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5    C C C C 1 2 3 4 5
                                     D D D D
       k=4             k=5            D D D     k=6
                                       D D
   in allen drei Bildern: n=5           D

die Formel Pᵏₙ=n+(k−2)·Dₙ₋₁ erken­nen kann, ist dies auch bei den zen­trierten

 k=3: C    k=4: D---C---C---C    k=5:  D        k=6: E D D D
     /C\        | D---C---C |        D D C          E E D D C
    C/C\B       D | D---C | B      D D D C C       E E E D C C
   /C/o\B\      | D | o | B |    E E E o C C C    F F F o C C C
  C/A---B\B     D | A---B | B     E E A B B B      F F A B B B
 /A---A---B\    | A---A---B |      E A A B B        F A A B B
A---A---A---B   A---A---A---B       A A A B   n=4    A A A B

mit der Formel pᵏₙ=1+k·Dₙ₋₁ der Fall. Andere Figuren verdeut­lichen weitere Bezie­hungen. So lassen sich Quadrate gemäß

              4---4---4---4     4---4---4---4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3   1   3  +  |   |   |   |  =  | 3 | 1 | 3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 | 
              4---4---4---4     4---4---4---4

zusammen­setzen. Deshalb ist qₙ=Qₙ+Qₙ₋₁=n²+(n−1)², worin qₙ=p⁴ₙ die n-te zen­trierte Quadrat­zahl und Qₙ=P⁴ₙ die normale Quadrat­zahl ist.

Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeck­zahl Fₙ=P⁵ₙ=n(3n−1)/2 kann wie in der mitt­leren Figur der dritt­letzten Abbildung als halbes zen­trier­tes Sechseck gesehen werden. Das bedeutet hₙ=2·Fₙ−(2n−1), eine von vielen Bezie­hungen, die ich hier nicht aus­breiten kann und will.

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