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Teilbarkeitsregeln
wuerg, 06.06.2005 17:42
Manche Zahlen haben einfache Teilbarkeitsregeln, andere nicht. Das liegt auch an ihrer Darstellung zur Basis 10, die eine mehr oder minder günstige Vorarbeit leistet. Deshalb gibt es einfache, allgemein bekannte Regeln für die Teiler der Zahlen 9, 10, 11 und 100, also für 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 20, 25, 50 und 100.
1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar.
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 als Endziffer.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 3 teilbar ist.
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. Das sind die Zahlen mit Endziffer 0 oder 5.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 9 teilbar ist.
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [2] durch 11 teilbar ist.
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist.
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten.
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 27 teilbar ist.
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie auf 0 endet und durch 3 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 37 teilbar ist.
Sollte die genannte Quersumme zu groß sein, kann von ihr abermals eine gleichartige Quersumme gebildet werden. Alle genannten Quersummenbildungen und Abschneidungen endständiger Ziffern erhalten den Divisionsrest. Anders in den mit [5] bezeichneten Fällen. Sie testen nur auf Teilbarkeit.
Selbstverständlich kann zur Prüfung sowohl der Ausgangszahl als auch der Quersummen oder Abschneidungen stets ein Vielfaches des Divisors zu- oder abgeschlagen werden. Beispiel: 789 dividiert durch 7 läßt den Rest 5, weil 789−100⋅7=89 es tut, aber auch 789−777=12.
Ist eine Quersumme negativ, so kann das Vorzeichen ignoriert werden, sofern man nur an Teilbarkeit interessiert ist. Beispiel: 18291 hat die alternierende Quersumme 1−9+2−8+1=−13 und ist nicht durch 11 teilbar, weil +13 es nicht ist. Doch Vorsicht: +13 läßt den Rest 2, doch 18291 den Rest 9.
Bei Quersummen von Dreierblöcken kann eine schwer im Kopf teilbare Zahl übrigbleiben. Dann mag man zu alternativen Regeln greifen, die nur für kleine Zahlen sinnvoll sind. Praktisch bleibt nur der Fall 7, in dem man die verdoppelten Hunderter den verbleibenden zwei Endziffern zuschlagen kann. Beispiel: 456 führt auf 56+2⋅4=64. Beide Zahlen lassen bei Division durch 7 den Rest 1.
[1] Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel: 123456 hat die Quersumme 1+2+3+4+5+6=21. Systematischer wäre 6+5+4+3+2+1=21.
[2] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern hinten mit den Einern beginnend abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 123456 hat die alternierende Quersumme 6−5+4−3+2−1=3.
[3] Die Quersumme der Dreierblöcke ensteht dadurch, daß hinten beginnend jeweis drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert addiert werden. Beispiel: 12.345.678 hat Quersumme der Dreierblöcke 678+345+12=1034, nicht 123+456+78 oder 123+456+780.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß hinten beginnend jeweils drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 1.234.567.890 hat die alternierende Quersumme der Dreierblöcke 890−567+234−1=556, nicht 1−234+567−890.
[5] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Vorsicht: Sie testen nur die Teilbarkeit und liefern nicht den Divisionsrest.
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1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar.
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 als Endziffer.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 3 teilbar ist.
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. Das sind die Zahlen mit Endziffer 0 oder 5.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 9 teilbar ist.
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [2] durch 11 teilbar ist.
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist.
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten.
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 27 teilbar ist.
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie auf 0 endet und durch 3 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 37 teilbar ist.
Sollte die genannte Quersumme zu groß sein, kann von ihr abermals eine gleichartige Quersumme gebildet werden. Alle genannten Quersummenbildungen und Abschneidungen endständiger Ziffern erhalten den Divisionsrest. Anders in den mit [5] bezeichneten Fällen. Sie testen nur auf Teilbarkeit.
Selbstverständlich kann zur Prüfung sowohl der Ausgangszahl als auch der Quersummen oder Abschneidungen stets ein Vielfaches des Divisors zu- oder abgeschlagen werden. Beispiel: 789 dividiert durch 7 läßt den Rest 5, weil 789−100⋅7=89 es tut, aber auch 789−777=12.
Ist eine Quersumme negativ, so kann das Vorzeichen ignoriert werden, sofern man nur an Teilbarkeit interessiert ist. Beispiel: 18291 hat die alternierende Quersumme 1−9+2−8+1=−13 und ist nicht durch 11 teilbar, weil +13 es nicht ist. Doch Vorsicht: +13 läßt den Rest 2, doch 18291 den Rest 9.
Bei Quersummen von Dreierblöcken kann eine schwer im Kopf teilbare Zahl übrigbleiben. Dann mag man zu alternativen Regeln greifen, die nur für kleine Zahlen sinnvoll sind. Praktisch bleibt nur der Fall 7, in dem man die verdoppelten Hunderter den verbleibenden zwei Endziffern zuschlagen kann. Beispiel: 456 führt auf 56+2⋅4=64. Beide Zahlen lassen bei Division durch 7 den Rest 1.
[1] Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel: 123456 hat die Quersumme 1+2+3+4+5+6=21. Systematischer wäre 6+5+4+3+2+1=21.
[2] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern hinten mit den Einern beginnend abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 123456 hat die alternierende Quersumme 6−5+4−3+2−1=3.
[3] Die Quersumme der Dreierblöcke ensteht dadurch, daß hinten beginnend jeweis drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert addiert werden. Beispiel: 12.345.678 hat Quersumme der Dreierblöcke 678+345+12=1034, nicht 123+456+78 oder 123+456+780.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß hinten beginnend jeweils drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 1.234.567.890 hat die alternierende Quersumme der Dreierblöcke 890−567+234−1=556, nicht 1−234+567−890.
[5] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Vorsicht: Sie testen nur die Teilbarkeit und liefern nicht den Divisionsrest.
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