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Altgrad
wuerg, 10.05.2005 17:59
Üblicherweise teilen wir den Kreisbogen in 360 Grad. Genauer gesagt in Altgrad. Von den Bemühungen um 400 Neugrad habe ich seit langem nichts mehr gehört. Meine Tafel der Logarithmen der trigonometrischen Funktionen nach neuer Teilung hat auch deshalb und nicht nur wegen der Taschenrechner und Computer reinen Erinnerungswert. Eine dritte Möglichkeit ist, auf eine Gradeinteilung zu verzichten und den Winkel einfach durch das Bogenmaß, die Länge des Einheitskreisbogens zu messen. Darüber hinaus gibt es noch den Vollwinkel und zahlreiche geschichtliche, militärische und nautische Einheiten.
Obwohl es nur einer Multiplikation bedarf, um die verschiedenen Winkelangaben umzurechnen, ist dies doch so wenig geläufig, daß Taschenrechner über Einstellungen für die verschiedenen Darstellungen verfügen. Meiner erlaut in einem verborgenen Menu die Umschaltung zwischen Deg, Gra und Rad. Man muß deshalb aufpassen, wenn man mit den Ergebnissen weiterrechnet. Ist zum Beispiel sin(x)/x zu berechnen, dann erhält man den Wert für 30° sicherlich nicht dadurch, daß man im Altgrad-Modus sin(30) berechnet und dann durch 30 teilt.
Nicht nur bei Taschenrechnern begeht man gerne den menschlichen Fehler, die angezeigten Zeichenketten falsch zu interpretieren, weil Zehnerpotenzen oder andere Umrechnungsfaktoren nicht beachtet werden. Die gespeicherten Konstanten und die vielfältige Tastenbelegung begünstigen solche Verwechselungen. Dabei ist es eigentlich ganz einfach: Wie 3 Millionen 3·1.000.000=3.000.000 ist, anderthalb Kibibyte 1,5·1024·8=12288 Bit meint, und 0,8 Promille für 0,8/1000=0,0008 steht, so entspricht 30 Altgrad einem Winkel der Größe (π/180)·30≈0,5236.
Manche spendieren dieser simplen Umrechnung von Altgrad in das Bogenmaß eine eigene Funktion namens Arcus, abgekürzt arc, definiert durch arc(x)=x·π/180. Eine Funktion für eine einfache Multiplikation, was soll das? Wer es duchschaut, schreibt zum Spaß arc(x)=x°, keinen Blödsinn wie arc α oder gar arcα und erst recht nicht arc(30°)=π/6. Vor allem Sportlehrer mit Nebenfach Mathematik scheinen bei α[°]=α·180/π einen Orgasmus zu bekommen. Ein zweiter mit arcα=(α°/360)·2π geht in die Hose, weil α einen Winkel vortäuscht, aber einfach eine Zahl ist und es 360° statt 360 heißen müßte.
Auf Taschenrechnern soll es gelegentlich Tasten ARC und auch MULπ geben, die einen Winkel in der ausgewählten Darstellung in das Bogenmaß bzw. Vielfache von π umrechnen. Wie Funktionen sinpi(x)=sin(πx) ersparen sie dem Kundigen Zeit, sind aber nichts für Leute ohne Durchblick, was aber nicht daran hindert, diesen Kram besonders an Berufs- und Fachschulen zu unterrichten. Besser wäre meines Erachtens Schnell-, Kopf- und Überschlagsrechnen, schriftliches Wurzelziehen, Nutzung von Tabellen samt Interpolation sowie die Handhabung eines Rechenschiebers, auch wenn man heute alles nicht mehr zu benötigen scheint. Wahrscheinlich muß ein Hochseekapitän auch nicht mehr segeln können.
Während man Neugrade und die meisten anderen Winkelmaße dezimal unterteilt, ist es bei Altgraden üblich, sie in 60 Minuten (′, arcmin, Bogen- oder Winkelminute) und die Minute in 60 Sekunden (″, arcsec, Bogen- oder Winkelsekunde) zu teilen. Eine weitere Unterteilung in 60 Tertien ist nicht mehr üblich. Stattdessen werden den Sekunden Nachkommastellen angefügt. Man kann aber auch auf Minuten und Sekunden verzichten und nur Nachkommastellen benutzen. So hat das regelmäßie Siebeneck einen Zentralwinkel von 2π/7≈128°34′17,142857″≈128,571428°. Sehr kleine Winkel werden auch gerne in tausendstel Bogensekunden (mas, milliarcsecond) angegeben. Mit zunehmender astronomischer Genauigkeit sind auch millionstel Bogensekunden (μas, microarcsecond) üblich.
1 pla = 360 deg = 400 gon = 2π rad 1 τ = 360° = 400ᵍ = 2πDer Vollwinkel (plenus angelus, turn, revolution, cycle, Umdrehung) kommt im Leben eines normalem Menschen allenfalls beim Salto oder als Umdrehungen pro Minute vor. Die Abkürzung τ wurde zum Liebling der Pi‑Gegner, die 2π gerne durch τ ersetzen möchten. Das ist ja nicht falsch, nur ungewöhnlich. Zumindest in theoretischen Ausführungen harter Wissenschaften hält man sich an die dimensionslose SI‑Einheit mit 2π für den Vollwinkel. Also rad=1 und in der Folge pla=2π, deg=π/180 und gon=π/200. Alle keine echten Maßeinheiten, sondern schlichte Zahlen. Im überwiegenden Teil der Welt, insbesondere im Alltag sind jedoch die 360 Altgrade üblich und werden es auch bleiben.
Obwohl es nur einer Multiplikation bedarf, um die verschiedenen Winkelangaben umzurechnen, ist dies doch so wenig geläufig, daß Taschenrechner über Einstellungen für die verschiedenen Darstellungen verfügen. Meiner erlaut in einem verborgenen Menu die Umschaltung zwischen Deg, Gra und Rad. Man muß deshalb aufpassen, wenn man mit den Ergebnissen weiterrechnet. Ist zum Beispiel sin(x)/x zu berechnen, dann erhält man den Wert für 30° sicherlich nicht dadurch, daß man im Altgrad-Modus sin(30) berechnet und dann durch 30 teilt.
Nicht nur bei Taschenrechnern begeht man gerne den menschlichen Fehler, die angezeigten Zeichenketten falsch zu interpretieren, weil Zehnerpotenzen oder andere Umrechnungsfaktoren nicht beachtet werden. Die gespeicherten Konstanten und die vielfältige Tastenbelegung begünstigen solche Verwechselungen. Dabei ist es eigentlich ganz einfach: Wie 3 Millionen 3·1.000.000=3.000.000 ist, anderthalb Kibibyte 1,5·1024·8=12288 Bit meint, und 0,8 Promille für 0,8/1000=0,0008 steht, so entspricht 30 Altgrad einem Winkel der Größe (π/180)·30≈0,5236.
Manche spendieren dieser simplen Umrechnung von Altgrad in das Bogenmaß eine eigene Funktion namens Arcus, abgekürzt arc, definiert durch arc(x)=x·π/180. Eine Funktion für eine einfache Multiplikation, was soll das? Wer es duchschaut, schreibt zum Spaß arc(x)=x°, keinen Blödsinn wie arc α oder gar arcα und erst recht nicht arc(30°)=π/6. Vor allem Sportlehrer mit Nebenfach Mathematik scheinen bei α[°]=α·180/π einen Orgasmus zu bekommen. Ein zweiter mit arcα=(α°/360)·2π geht in die Hose, weil α einen Winkel vortäuscht, aber einfach eine Zahl ist und es 360° statt 360 heißen müßte.
Auf Taschenrechnern soll es gelegentlich Tasten ARC und auch MULπ geben, die einen Winkel in der ausgewählten Darstellung in das Bogenmaß bzw. Vielfache von π umrechnen. Wie Funktionen sinpi(x)=sin(πx) ersparen sie dem Kundigen Zeit, sind aber nichts für Leute ohne Durchblick, was aber nicht daran hindert, diesen Kram besonders an Berufs- und Fachschulen zu unterrichten. Besser wäre meines Erachtens Schnell-, Kopf- und Überschlagsrechnen, schriftliches Wurzelziehen, Nutzung von Tabellen samt Interpolation sowie die Handhabung eines Rechenschiebers, auch wenn man heute alles nicht mehr zu benötigen scheint. Wahrscheinlich muß ein Hochseekapitän auch nicht mehr segeln können.
Während man Neugrade und die meisten anderen Winkelmaße dezimal unterteilt, ist es bei Altgraden üblich, sie in 60 Minuten (′, arcmin, Bogen- oder Winkelminute) und die Minute in 60 Sekunden (″, arcsec, Bogen- oder Winkelsekunde) zu teilen. Eine weitere Unterteilung in 60 Tertien ist nicht mehr üblich. Stattdessen werden den Sekunden Nachkommastellen angefügt. Man kann aber auch auf Minuten und Sekunden verzichten und nur Nachkommastellen benutzen. So hat das regelmäßie Siebeneck einen Zentralwinkel von 2π/7≈128°34′17,142857″≈128,571428°. Sehr kleine Winkel werden auch gerne in tausendstel Bogensekunden (mas, milliarcsecond) angegeben. Mit zunehmender astronomischer Genauigkeit sind auch millionstel Bogensekunden (μas, microarcsecond) üblich.
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