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53
wuerg, 12.04.2005 00:57
Der päpstlichen 84 hätte ich nicht irgendeine Zahl wie 230 folgen lassen dürfen. Es hätte gleich 53 sein müssen, denn
2 hoch 84 = 19342813113834066795298816 und
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723
liegen bemerkenswert nah beieinander, was zur Teilung der Oktave in 53 gleiche Intervalle verleitet. Die Quinte läge mit 84−53=31 Intervallen nur 0,069 Cent unter der reinen. Auch große und kleine Terz werden mit 17 und 14 recht genau getroffen. Ihre Differenz von 3 Tonschritten ist deutlich geringer als die 5 eines diatonischen Halbtones. Zwei davon übersteigen die 8 und 9 eines kleinen bzw. großen Ganztones deutlich. Und deren Differenz von einem Schritt trifft gut das syntonische Komma.
Damit ist die 53‑Teilung der Oktave geeignet, die enharmonischen Verwechselungen unserer 12‑Tonleiter zu studieren. Und selbstverständlich wurde beginnend mit der Teilung der schwarzen Tasten versucht, geeignete Instrumente zu bauen. Heutzutage kann man die Töne elektronisch erzeugen und eine geschickte Belegung der Computertastatur versuchen. Doch praktisch sind auch dann 53 Töne einfach zuviel.
Wie kommt man auf 53, nicht 24 oder 36? Und eigentlich auch: Warum 12? Dazu entwickelt man die reine Quinte von ld(3∕2) Oktaven einfach in einen Kettenbruch:
31 | 84 | Oktave | Quinte
2 hoch 84 = 19342813113834066795298816 und
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723
liegen bemerkenswert nah beieinander, was zur Teilung der Oktave in 53 gleiche Intervalle verleitet. Die Quinte läge mit 84−53=31 Intervallen nur 0,069 Cent unter der reinen. Auch große und kleine Terz werden mit 17 und 14 recht genau getroffen. Ihre Differenz von 3 Tonschritten ist deutlich geringer als die 5 eines diatonischen Halbtones. Zwei davon übersteigen die 8 und 9 eines kleinen bzw. großen Ganztones deutlich. Und deren Differenz von einem Schritt trifft gut das syntonische Komma.
Damit ist die 53‑Teilung der Oktave geeignet, die enharmonischen Verwechselungen unserer 12‑Tonleiter zu studieren. Und selbstverständlich wurde beginnend mit der Teilung der schwarzen Tasten versucht, geeignete Instrumente zu bauen. Heutzutage kann man die Töne elektronisch erzeugen und eine geschickte Belegung der Computertastatur versuchen. Doch praktisch sind auch dann 53 Töne einfach zuviel.
Wie kommt man auf 53, nicht 24 oder 36? Und eigentlich auch: Warum 12? Dazu entwickelt man die reine Quinte von ld(3∕2) Oktaven einfach in einen Kettenbruch:
1,0000000 : 0,5849625 = 1 Rest 0,4150375 1=1·1+0 1=0·1+1 0,5849625 : 0,4150375 = 1 Rest 0,1699250 2=1·1+1 1=1·1+0 0,4150375 : 0,1699250 = 2 Rest 0,0751875 5=2·2+1 3=2·1+1 0,1699250 : 0,0751875 = 2 Rest 0,0195500 12=2·5+2 7=2·3+3 0,0751875 : 0,0195500 = 3 Rest 0,0165375 41=3·12+5 24=3·7+3 0,0195500 : 0,0165375 = 1 Rest 0,0030125 53=1·41+12 31=1·24+7 0,0165375 : 0,0030125 = 5 Rest 0,0014750Eine gemessen am Aufwand sehr gute gleichschwebende Teilung der Oktave erhält man durch Abschneidung des Kettenbruches ld(3/2)=[0;1,1,2,2,3,1,5,…] vor einer möglichst großen Stelle. So ergibt [0;1,1,2,2]=7/12 unsere 12‑Tonleiter mit einer um 1,995 Cent zu kleinen Quinte. Die nächste bessere aus [0;1,1,2,2,3,1]=31/53 ist die 53‑Tonleiter, deren Quinte nur um 0,069 Cent zu klein ist. Das kann kein Mensch mehr hören. Auch die 2 Cent Verstimmung der 12‑Tonleiter nur anhand von Schwebungen.
31 | 84 | Oktave | Quinte
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