Zahlwort

Die Zahl 28 ist Summe 1+2+4+7+14 ihrer Teiler, sofern man von 28 selbst absieht. Sie ist damit zwi­schen 6 und 496 die zweite voll­kom­mene Zahl. Ob es eine unge­rade gibt, weiß man nicht, die geraden sind alle von der Form Mₙ⋅2ⁿ⁻¹ mit einer primen Mer­senne­zahl Mₙ=2ⁿ−1. Die Suche nach geraden voll­kom­menen Zahlen ist somit auf die nach Mer­senne-Prim­zahlen zurück­ge­führt. [1] Wenn man seinen PC nicht für die Suche nach Außer­irdi­schen zur Ver­fü­gung stel­len will, wäre er frei für das GIMPS‐Pro­jekt. [2]

Jede vollkom­mene Zahl ist Sechs­eck­zahl, 28 ist die vierte. Im Bild ist die Defini­tion H₄=​1+5+9+13=28 darge­stellt. Daneben die übli­che Zer­le­gung H₄=​4²+2⋅D₃ in ein Qua­drat und zwei Drei­ecke. Es geht auch mit zwei sich über­lappen­den Qua­draten. Wie jede Sechs­eck­zahl ist 28 zugleich Drei­ecks­zahl, und zwar die siebte. Das zuge­hörige Drei­eck kann gemäß D₇=D₄+3⋅D₃ in ein großes inne­res mit drei klei­nere an den Ecken geteilt wer­den. Da 7 zudem von der Form 3n−2 ist, ist auch ein inne­res Sechs­eck mit 19 Punk­ten samt drei noch klei­neren Drei­ecken zu 3 Punk­ten möglich, womit 28 dritte zen­trierte Neun­eck­zahl 1+9+18 ist.

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28 als normale Sechseckzahl und als zentrierte Neuneckzahl (png)

Daß 28 die kleinste Zahl ist, die auf zwei­fache Weise als Summe von vier Quadra­ten darge­stellt werden kann, verwun­dert nicht, zumal 27 die klein­ste für drei Summan­den ist. Auch 28 als Keith‐Zahl haut nicht vom Sockel, weil 14 bereits eine ist und bei der Ver­doppe­lung kein Über­trag ent­steht:

1, 4,  5,  9, 14       (1+4=5, 4+5=9, 5+9=14)
2, 8, 10, 18, 28  (2+8=10, 8+10=18, 10+18=28)

Bleiben nur die 28 Buch­staben ver­schie­dener Alpha­bete, ins­beson­dere des ara­bischen aus 14 Son­nen- und 14 Mond­buch­staben, die 28 Tage des Februar, die vier Wochen und der Sonnen­zyklus von 28 Jahren. Er ist von wenig astro­nomi­scher Bedeu­tung und grün­det sich auf den schlich­ten Umstand, daß im julia­nischen Kalen­der jeder Tag nach 28 Jahren wieder auf den glei­chen Wochen­tag fällt. Das gilt von 1901 bis 2099 auch für unseren grego­riani­schen Kalen­der.

Die Univac 1108 war mög­licher­weise ein 36‑Bit-Rechner, um sechs Zeichen zu sechs Bit in einem Wort spei­chern zu können. Eine Spur des Trom­mel­spei­chers Fast­rand II hatte 1024 Bit und konnte somit 28 dieser Wörter spei­chern. Zur Berech­nung der rich­tigen Spur und Posi­tion mußte des­halb ständig durch 28 samt Rest geteilt wer­den. Das wurde durch eine gesonderte Hardware erledigt. Berühmt wurde diese Fast­rand-Zahl aber schon im 19. Jahr­hun­dert, nach­dem sie durch Baron Gustav von Fast­rand wäh­­rend einer Expe­­di­tion zwi­schen der 27 und der 29 ent­­deckt wurde. [3]

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000043, A000668, A000396.

[2] Great Internet Mersenne Prime Search.

[3] The Fastrand II. Fourmilab Switzerland. Zur Einnerung an die Daten­verar­bei­tung der Sieb­ziger­jahre.

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