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16
wuerg, 10.03.2005 17:37
Wer die Zahl 16 googelt, wird zugemüllt mit Luftballons, Pinata-Zahlen und generiertem Pipifax. Wenigstens die Wikipedia bemüht sich, etwas von Interesse zu berichten, es ist aber nicht viel. [1] Unter „Mathematisches“ wird wiederholt, daß 16 gerade ist. Dazu eine Quadrat-, eine Biquadrat- und eine Störmerzahl. [2] Auch „Bedeutung“ gibt es nur wenig: Mit 16 erwirbt man ein paar Rechte, das Hexadezimalsystem, zwei religiöse Belanglosigkeiten und die französische Sprache. [3] Bleibt „Siehe auch“ von ebenfalls bescheidenem Wert. [4]
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
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16 3 2 13 ● ○ ● ● ● ●
5 10 11 8 ● ○ ● ○ ● ● ● ○ ● ●
9 6 7 12 ● ○ ○ ● ● ● ● ●
4 15 14 1 ● ● ● ● ● ●
Dürerquadrat und 16 als dritte zentrierte Fünfeckzahl (png)So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
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