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Terz
wuerg, 11.02.2005 12:10
So wie die Oktave (2:1) aus sieben, die Quinte (3:2) aus vier und die Quarte aus drei (4:3) Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Terz zwei. Während erstere nur ausnahmsweise stark von 12, 7 bzw. 5 Halbtönen abweichen, tritt die Terz regelmäßig in zwei Ausprägungen auf, was die Unvorteilhaftigkeit der herkömmlichen Intervall-Bezeichnungen deutlich macht. Die großen Terzen liegen normalerweise bei 4 Halbtönen, die natürliche große Terz (5:4) liegt mit 386 Cent deutlich darunter. Die kleinen Terzen liegen normalerweise bei 3 Halbtönen, die natürliche kleine Terz (6:5) mit 316 Cent noch weiter darüber.
Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,...] die Antwort. Es ist günstig in n=3,28,59,146,... Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,... eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also die drittel Oktave die große Terz gut nähert. Trotzdem sind das 14 Cent zuviel.
Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,...] und n=4,19,422,... mit 1,5,111,... Intervallen für die kleine Terz. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also die viertel Oktave die kleine Terz gut nähert. Doch sind das 16 Cent zuwenig. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.
Welche Teilungen sind jetzt also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53-Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.
Die 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53-Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19-Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.
Quinte | Oktave | A028508
Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,...] die Antwort. Es ist günstig in n=3,28,59,146,... Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,... eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also die drittel Oktave die große Terz gut nähert. Trotzdem sind das 14 Cent zuviel.
Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,...] und n=4,19,422,... mit 1,5,111,... Intervallen für die kleine Terz. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also die viertel Oktave die kleine Terz gut nähert. Doch sind das 16 Cent zuwenig. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.
Welche Teilungen sind jetzt also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53-Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.
Die 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53-Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19-Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.
Quinte | Oktave | A028508
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