Zahlwort

So wie die Oktave aus sieben Schritten einer Ton­leiter oder im Noten­linien­system besteht, so sind es bei der Quinte vier. Die reine Quinte hat das Schwin­gungs­verhält­nis 3:2 und ist mit 702 Cent nur wenig größer als sieben Halbtöne. Es wäre sinnvoll gewesen, die in der Nähe von 700 lie­genden Inter­valle mit einem Namen zu belegen, der auf sieben hin­deutet.

Wenn man wie die alten Griechen nur Inter­valle als harmonisch sieht, die sich aus Okta­ven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasten­instru­menten das Problem, nicht alle so entste­henden Töne vor­sehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Okta­ven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.

Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Inter­valle wird den Griechen einiger­maßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstel­lung von ld(3/2)=​[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Ketten­bruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,​41,​53,306,665,… Inter­valle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,​31,​179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] ent­schieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=​[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgen­den 5 im Ketten­bruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).

7 | 12 | Oktave