Zahlwort

Unsere normalen Papierformate haben sich glücklicherweise nicht am goldenen Schnitt ausgerichtet, sondern an der einfachen Teilbarkeit. Ohne diese starke Eigenschaft hätten die DIN-Formate in mehr als 20 Jahren mit Druckerproblemen dem Druck von 8 mal 12 Zoll großem Endlospapier nicht problemlos widerstanden. Ich erinnere mich noch gerne am meine ersten ordentlich formatierten Adressen auf handelsüblichen Aufklebern mit sieben mal drei Stück pro DIN-A4-Blatt. Doch fünfzehn Jahre später gibt immer noch Behörden und Reisebüros, die um einen Zentimeter zu lange Papierbögen bevorzugen.

Wie groß ist aber nun ein DIN-A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h die Beziehung "b zu h wie h/2 zu b", also h=b*sqrt(2) im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN-A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, daß neben h=b*sqrt(2) auch b*h=1 Quadratmeter sein muß. Das hat

h = vierte Wurzel aus 2 Meter = 1,1892... Meter

als Höhe des DIN-A0-Blattes zur Folge. Ein DIN-Ai-Blatt hat damit eine Breite b(i) und eine Höhe h(i) gemäß

b(i) = 2 hoch (-i/2-1/4) Meter
h(i) = 2 hoch (-i/2+1/4) Meter

Für ein DIN-A4-Blatt ergibt sich eine Breite von 2 hoch -2,25 und eine Höhe von 2 hoch -1,75 Metern. Das sind ungefähr 297,3 und 210,2 Millimeter in guter Übereinstimmung mit der Realität.

Für die Fläche F(i)=b(i)*h(i) eines DIN-Ai-Blattes gilt natürlich eine einfachere Formel F(i)=1/2^^i Quadratmeter. Damit hat ein DIN-A4-Blatt genau 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.

Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen sqrt(2)=1,4142... ungefähr 141 Prozent und eine umgekehrte Verkleinerung wegen 1/sqrt(2)=sqrt(2)/2=0,7071... ungefähr 70 Prozent beträgt. Dann macht die Anweisung des Chefs "100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug" nicht nervös, weil sie sogleich in " bitte 100 Kopien auf 65% so schnell es Ihnen möglich ist" übersetzt werden kann.

DIN-A

Ein DIN-A3-Blatt ist in der Fläche doppelt so groß wie eines in DIN-A4. Dieser Abstand ist manchmal etwas groß, und so brachte der Wunsch nach einem Zwischenformat die DIN-B-Reihe hervor. Die Definition ist einfach: DIN-Bi ist das geometrische Mittel zwischen DIN-Ai und DIN-A(i-1).

Das geometrische Mittel c zweier Zahlen a und b ist die Quadratwurzel aus a*b. Es ist für positive a und b kleiner als das allseits bekannte und oftmals gedankenlos gebildete arithmetische Mittel d=(a+b)/2 und berücksichtigt einen multiplikativen Zusammenhang.

Aus den Abmaßen des DIN-Ai-Blattes

b(i) = 2 hoch (-i/2-1/4) Meter
h(i) = 2 hoch (-i/2+1/4) Meter
F(i) = 2 hoch (-i) Quadratmeter

erhält man sofort die Formeln für DIN-Bi

b'(i) = 2 hoch (-i/2) Meter
h'(i) = 2 hoch (-i/2+1/2) Meter
F'(i) = 2 hoch (-i+1/2) Quadratmeter

So verwundert es nicht, daß ein DIN-B0-Blatt genau einen Meter breit ist.

DIN-B

Da ein A4-Blatt schlecht in einen A4-Umschlag paßt und ein B4-Umschlag recht groß ist, gibt es zwischen beiden noch ein weiteres Format. Es wird schon fast langweilig, doch das C-Format liegt wieder im geometrischen Mittel, diesmal von A und B. Damit hat ein DIN-Ci-Blatt oder -Umschlag die Abmaße

b''(i) = 2 hoch (-i/2-1/8) Meter
h''(i) = 2 hoch (-i/2+3/8) Meter
F''(i) = 2 hoch (-i+1/4) Quadratmeter

Ein C6-Umschlag für zweimal gefaltete A4-Blätter muß deshalb b''(6)=2^(-3,125)=0,1146... Meter hoch und h''(6)=2^(-2,625)=0,1621... Meter breit sein.

DIN-C

Wenn man zwischen DIN-A und DIN-B ein Zwischenformat DIN-C oberhalb von DIN-A einzieht, so könnte man es aus Symmetriegründen auch unterhalb tun. Das führt auf das DIN-D-Format, was wohl keiner wirklichen Norm entspricht und für das ich kein Einsatzgebiet vergleichbar zu den C-Briefumschlägen sehe. Aber dennoch:

b'''(i) = 2 hoch (-i/2-3/8) Meter
h'''(i) = 2 hoch (-i/2+1/8) Meter
F'''(i) = 2 hoch (-i-1/4) Quadratmeter

Ein DIN-D0-Blatt wäre dann b'''(0)=2^(-0,375)=0,7711... Meter breit und h'''(0)=2^0,125=1,0905... hoch.

DIN-D

Nicht nur in den USA, auch in Japan ist immer etwas anders, auch was man eigentlich von der westlichen Welt übernommen hat. So wird dort das B-Format nicht im geometrischen, sondern im arithmetischen Mittel angesiedelt. Die Schwachsinnigkeit erkennt man schon an der Folgefrage: Im arithmetischen Mittel von was denn, von der Kantenlänge oder der Fläche? Beim geometrischen Mittel ist das egal.

Beim arithmetischen Mittel der Kantenlängen ergäbe sich mit eine Abweichung von

p = (b(i)+b(i+1))/2b'(i) = (q+1/q)/2 = 1,015... in der Länge und von
p^2 = (4+3*sqrt(2))/8 = 1,03.. in der Fläche,

worin r für die 4. Wurzel aus 2 steht. Das ist erwartungsgemäß nur etwa die Hälfte dessen, was bei arithmetischer Mittelung der Flächen zu erwarten ist. Dann wird ein Zuwachs von

q = sqrt(9/8) = 1,06... in der Fläche und von
sprt(q) = 1,03.. in der Länge

erzielt. Dafür haben sich die Japaner entschieden, weil ein Japan-B0-Blatt dann genau 1,5 Quadratmeter groß ist. Mit etwa 3 Prozent ist es nicht viel größer als ein normales B0-Blatt. Könnte man die die Differenz hören, so erklänge sie wegen "4. Wurzel aus 9/8" als ein Viertel des großen Ganztones.

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