15
wuerg, 09.03.2005 19:45
Bei 15 denke ich immer daran, daß ich sie auserkoren hatte, um an einem einfachen Produkt zweier Primzahlen das RSA-Schema zu erläutern. [1] Solche Produkte heißen Semiprimzahlen. Wenig interessant sind die geraden und die Quadratzahlen darunter. Streicht man sie, so bleiben die ungeraden quadratfreien Semiprimzahlen. Sie sind allesamt Fermatsche Pseudoprimzahlen. Beide Listen werden von der 15 angeführt, die sogar Produkt eines Primzahlzwillings ist. [2]
Fermatsche Pseudoprimzahlen sind etwas schwerer zu verstehen: Für eine Primzahl p gilt nach dem kleinen fermatschen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbesondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusammengesetzte Zahlen n trifft letzteres nur selten zu. [3] Gibt es dennoch ein solches a, so heißt n fermatsche Pseudoprimzahl. Für einen Primzahlzwilling (p,q) mit der Mittenzahl a=p+1=q−1 ist unmittelbar zu sehen, daß n=pq auch fermatsche Pseudoprimzahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mittenzahl und tatsächlich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.
Mit der 15 ist es abgesehen von wenigen prominenten Zahlen mit den biblischen, esoterischen, numerologischen Gedöns weitgehend vorbei. [4] Auch rechnerische Aspekte halten sich bedeckt. Zumeist können nur irgendwelche Anzahlen, Positionen oder Zahlenspielereien genannt werden: So ist 15 dritte Sechseck- und damit fünfte Dreieckszahl, was man an den 15 roten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 archimedische Körper, wenn gespiegelte mitgezählt werden, und 15 ist die magische Zahl des dem Saturn zugeordneten magischen 3×3‑Quadrates.
[1] Das ermöglicht öffentliche Verschlüsselung und Authentifizierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktorisierung praktisch unmöglich ist.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semiprimzahlen A001358, ungerade quadratfreie Semiprimzahlen A046388, fermatsche Pseudoprimzahlen A181780.
[3] Im allgemeinen ist durch Ausprobieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Primzahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-Schema benötigt. Todsicher ist es allerdings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammengesetzte Zahlen n, an denen fast alle a scheitern.
[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschriebene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstellung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurzbezeichnungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht aussprechen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?
14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen
Fermatsche Pseudoprimzahlen sind etwas schwerer zu verstehen: Für eine Primzahl p gilt nach dem kleinen fermatschen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbesondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusammengesetzte Zahlen n trifft letzteres nur selten zu. [3] Gibt es dennoch ein solches a, so heißt n fermatsche Pseudoprimzahl. Für einen Primzahlzwilling (p,q) mit der Mittenzahl a=p+1=q−1 ist unmittelbar zu sehen, daß n=pq auch fermatsche Pseudoprimzahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mittenzahl und tatsächlich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.
Mit der 15 ist es abgesehen von wenigen prominenten Zahlen mit den biblischen, esoterischen, numerologischen Gedöns weitgehend vorbei. [4] Auch rechnerische Aspekte halten sich bedeckt. Zumeist können nur irgendwelche Anzahlen, Positionen oder Zahlenspielereien genannt werden: So ist 15 dritte Sechseck- und damit fünfte Dreieckszahl, was man an den 15 roten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 archimedische Körper, wenn gespiegelte mitgezählt werden, und 15 ist die magische Zahl des dem Saturn zugeordneten magischen 3×3‑Quadrates.
┏━━━┳━━━┳━━━┓ ● ┃ 8 ┃ 1 ┃ 6 ┃ ● ● ● ● ● ● ┣━━━╋━━━╋━━━┫ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ┃ 3 ┃ 5 ┃ 7 ┃ ● ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ┣━━━╋━━━╋━━━┫ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ○ ○ ○ ┃ 4 ┃ 9 ┃ 2 ┃ ● ● ● ● ● ○ ● ● ● ● ┗━━━┻━━━┻━━━┛ ●Magisches Quadrat, H3=1+5+9=15=D5=D3+3D2=32+2D2 (png)
[1] Das ermöglicht öffentliche Verschlüsselung und Authentifizierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktorisierung praktisch unmöglich ist.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semiprimzahlen A001358, ungerade quadratfreie Semiprimzahlen A046388, fermatsche Pseudoprimzahlen A181780.
[3] Im allgemeinen ist durch Ausprobieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Primzahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-Schema benötigt. Todsicher ist es allerdings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammengesetzte Zahlen n, an denen fast alle a scheitern.
[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschriebene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstellung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurzbezeichnungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht aussprechen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?
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