Zahlwort

Soeben demonstrierten zwei Damen bei VIVA ihre Rechenkünste:

A: … schon 17 Jahre, seit 1991.
B: Nö, 2001 sind 10 Jahre, plus 5 sind 16.

Ich habe den Anlaß für diese Rechnung nicht mitbekommen. Wenn es aber um den 16. Tag der deut­schen Einheit neueren Datums ging, so mag dieser Dialog als Bei­spiel dienen, wie das rich­tige Ergebnis keine Rück­sicht auf seine Herlei­tung nimmt.

Neun-Live Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ | 0,875

Die Suche nach nackten und versteckten Einern, Paaren, Tripeln oder gar Quadru­peln und nach Zweiern mit Konse­quenzen für betrof­fene Blöcke, Zeilen und Spalten ist recht mühsam und führt in schweren Sudoku allein nicht zum Ziel. In den ein­fachen Sudoku für Busse und Bahnen aber kann man sich nicht nur auf elemen­tare Metho­den beschrän­ken, sondern auch zwischen ihnen wählen. Als Mensch sollte man aus­nutzen, was ein Leben lang trai­niert wurde und nicht viel Mühe macht. Also wird man nicht wie ein Computer alle Felder abgrasen, sondern die bewährte Muster­erken­nung ein­setzen, die nach viel Übung so reflex­haft arbeitet wie man Fahrrad fährt.

+-------+-------+-------+
| 2 . . | . 7 8 | . . . |
| 6 . 1 | . 9 . | . 4 5 |
| . 9 . | . 4 . | 1 8 . |
+-------+-------+-------+
| . . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . . 9 | 7 . . | . 1 6 | [1]
| 8 . 5 | . . 9 | . . . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 . | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 . . | . . 1 |
+-------+-------+-------+

In diesem Sudoku würden Computer oder Buch­halter viel­leicht zu jedem freien Feld notieren, welche Ziffern noch möglich sind, um sofort 12 Felder aus­füllen zu können:

+-------+-------+-------+
| 2 . . | . 7 8 | 9 . . |
| 6 8 1 | . 9 . | 7 4 5 |
| . 9 3 | . 4 . | 1 8 . |
+-------+-------+-------+
| . 4 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . . 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | . . 9 | . . . |
+-------+-------+-------+
| . 7 6 | 4 3 1 | 2 9 . |
| 9 1 2 | 5 8 7 | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 6 . | . 7 1 |
+-------+-------+-------+

In den verbleibenden 31 Feldern ent­fallen dadurch zahl­reiche Kandi­daten. Schnell können weitere Felder ausge­füllt werden, und bald ist man am Ziel.

Dieses Vorgehen ist nicht die Domäne des Menschen und macht den Rätsel­spaß nicht aus. Zum einen gehen für die Anfangs­über­prüfung schon fünf Minuten drauf. Zum anderen sollte die Lösung auch ohne Notizen gefunden werden. Und wer sieht mit dieser Methode ohne Mühe zum Beispiel die rote vier, weil in ihrem Block samt ihrer Zeile und Spalte alle anderen acht Ziffern vor­kommen? Erst nach dem Schei­tern einfa­cherer Über­legun­gen hätte ich die vierte Zeile unter­sucht, in deren vier freien Fel­dern nur die Ziffern 1, 4, 8 und 9 vor­kommen können, um dann mög­licher­weise zu sehen, daß für die zweite Posi­tion alle außer 4 aus­scheiden, wahr­schein­licher nach­dem mir aufge­fallen wäre, daß in der letzten Position eine 9 stehen muß, woraus sich der Rest der vierten Zeile ergibt.

Woran liegt das? Der Mensch kann auch mit viel Training kaum erkennen, an welchen Stellen acht oder auch nur sieben verschie­dene Ziffern aus­scheiden. Er muß alle Felder abgrasen oder sich auf solche beschrän­ken, in denen sich nicht nur viele, sondern auch verschie­dene Ziffern kreuzen, vor allem die seltenen. Doch glück­licher­weise kann ein Mensch sehr schnell einen holo­grafi­schen Blick ent­wickeln, um die Posti­onen gleicher Ziffern zu erkennen. In Gedanken kann er dann ihre Zeilen und Spalten kreuzen und sehen, in welchen Blöcken nur noch ein Feld übrig bleibt. Auf diese Weise erledigt man zumin­dest einfache Sudoku immer schneller.

Ich will wenigstens einmal im Detail auf­schreiben, wie diese Methode grund­legend funk­tio­niert: Streicht man im Ausgangs­su­doku [1] alle Zeilen und Spalten mit Ziffer 1, so schrumpft es auf

  | 1 | 4 5 6 |
--+---+-------+
A | X | . X X |
--+---+-------+
D | . | . X X |
F | X | . . X |
--+---+-------+
G | X | X X . |
--+---+-------+

worin Spalten mit Nummern 1 bis 9 und Zeilen mit Buchstaben A bis I bezeich­net sind. Ein X bedeu­tet, daß in diesem Feld bereits eine Ziffer steht oder im zuge­höri­gen Block eine 1 vorkommt. Der Augen­schein sagt sofort, daß an den Posi­tionen A4, D1 und G6 Einsen stehen müssen, womit für die letzte 1 nur noch F5 bleibt. Die Einsen sind damit alle­samt auf einen Schlag erle­digt:

+-------+-------+-------+
| 2 . . | 1 7 8 | . . . |
| 6 . 1 | . 9 . | . 4 5 |
| . 9 . | . 4 . | 1 8 . |
+-------+-------+-------+
| 1 . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . . 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | . 1 9 | . . . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 1 | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 . . | . . 1 |
+-------+-------+-------+

Praktisch macht man es natür­lich ein­facher und schneller: Zunächst ergeben sich die Einsen im mitt­leren senk­rechten 3×9‑Strei­fen bei A4 und G6. Die anderen beiden folgen dann ohne weiteres. Diesen Stiefel kann man weiter durch­ziehen. Für die 2 ergibt sich folgendes Teil­diagramm:

  | 2 | 4 6 | 8 9 |
--+---+-----+-----+
B | X | . . | X X |
C | X | . . | X . |
--+---+-----+-----+
E | . | X X | X X |
F | . | X X | . . |
--+---+-----+-----+ 
I | X | X . | X X |
--+---+-----+-----+

Es fallen alle fünf fehlenen Zweien, denn C9 ist die einzige Möglich­keit im oberen rechten Block, ebenso I6 im mitt­leren unteren, womit F8, E2 und B4 sofort folgen.

+-------+-------+-------+
| 2 . . | 1 7 8 | . . . |
| 6 . 1 | 2 9 . | . 4 5 |
| . 9 . | . 4 . | 1 8 2 |
+-------+-------+-------+
| 1 . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| . 2 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | . 1 9 | . 2 . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 1 | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 . 4 |
| . 3 8 | 9 . 2 | . . 1 |
+-------+-------+-------+

Weiter geht es mit der 3, die nur dreimal vorkommt. Trotzdem sind die übrigen sechs Dreien sofort fällig:

+-------+-------+-------+
| 2 . . | 1 7 8 | . . 3 |
| 6 . 1 | 2 9 3 | . 4 5 |
| . 9 3 | . 4 . | 1 8 2 |
+-------+-------+-------+
| 1 . 7 | . 2 6 | 3 5 . |
| 3 2 9 | 7 . . | . 1 6 |
| 8 . 5 | 3 1 9 | . 2 . |
+-------+-------+-------+
| . 7 . | 4 3 1 | 2 . . |
| . 1 2 | 5 8 . | 6 3 4 |
| . 3 8 | 9 . 2 | . . 1 |
+-------+-------+-------+

Der Rest ist ein Kinder­spiel, gleich ob man nun mit der 4 fortfährt oder einen Block nach dem anderen ausfüllt.

Wenn es auch nur selten so leicht wie im vorange­henden Beispiel ist, kann doch fast jedes Sudoku, daß nicht die Stufe 3 über­steigt oder als sehr schwer gekenn­zeich­net ist, auf diese Weise gelöst werden: Zunächst geht man die Ziffern 1 bis 9 nach der beschrie­benen Methode durch, um die Zahl der ausge­füllten Felder zumin­dest leicht zu erhöhen, wodurch eine Reihe von Blöcken, Zeilen und Spalten mit vier oder weniger freien Feldern ent­standen sein sollte. In diesen sucht man weitere nackte oder ver­steckte Einer, Paare, Tripel oder einfache Zweier. Und sobald etwas ent­deckt ist, schaut man nach direk­ten Konse­quenzen. Das sollte samt gelegent­lichen kleinen Zusatz­kombina­tionen zur Lösung aus­reichen.

Es ist Zeitverschwendung, systema­tisch alles zu über­prüfen. Viel­mehr ist es wichtig zu ahnen, welche Objekte Fort­schritt mit wenig Aufwand verspre­chen. Dazu gehören nicht nur die mit wenig freien Feldern, sondern auch solche, in denen gerade eine neue Ziffer pla­ziert oder etwas anderes gefunden werden konnte. Und wenn zum Beispiel Zeilen sich als uner­giebig erweisen, sollte man recht­zeitig auf Spalten oder Blöcke wech­seln.

Allmählig ist es mir schon langweilig geworden, mit diesem Stiefel alle Sudoku der Stufe 3 in sieben bis fünf­zehn Minuten zu lösen, sofern mir kein Flüch­tig­keits­fehler unter­läuft. Und in den Bahn­hofs­buch­hand­lungen sind die Hefte mit schwie­rigeren Rätseln schon recht selten. Trotz­dem ist es wohl gut, ein paar hundert davon abzu­haken, um Geläu­figkeit für spätere Auf­gaben zu errei­chen, die nicht dadurch unlösbar werden sollen, daß die Routine für die ein­fachen Kombi­nationen fehlt und ich sie munter über­sehe.

[1] 2...78...6.1.9..45.9..4.18...7.2635...97...168.5..9....7.43.2...1258.6.4.389....1

Übersicht | Anfang | Einer | Paare | Stufen

Wenn man 18 Prozent mehr Umsatz als Hysterie bezeichnen mag, dann hat es eine solche um die 26 Milli­onen in Lotto-​Jackpot gegeben. Und sollte am Montag keiner gewonnen haben, dann wird er nächste Woche noch größer sein. Ab wann lohnt es sich für mich mitzu­spielen?

Um das einschätzen zu können, habe ich mich nach dem Einsatz für ein Spiel erkundigt. Es sind wohl 75 Cent. Der Normal­gewinn ist 37,5 Cent, daß selbst ohne Berück­sich­tigung der Gebühren der Jackpot etwa 37,5⋅140.000.000 Cent also mindestens 50 Mil­lionen Euro betragen müßte, was wohl kaum erreicht werden wird, weil er vorher ‚geknackt‘ oder der Gewinn­klasse 2 zuge­schlagen wird.

Um aber ehrlich zu sein, habe ich nicht darüber nachge­dacht, wann ich zum Lotto­spieler würde, sondern mir nur erneut die Frage gestellt, ab welcher Gewinn­quote q(x,y) der normale Mensch bereit ist, einen Betrag x für einen mögli­chen Gewinn von y zu setzen.

So blöd die Sendung „Deal or no deal“ auch ist, bietet sie neben dem Lotto­spiel und dem Roulette dafür doch gewisse Anhalts­punkte. Anders als in den meisten Gewinn­spiel­sen­dungen schwankt der zu erwar­tende Gewinn auf den einen Koffer nur wenig. Nur die von der ‚Bank‘ ange­botene Quote wird immer besser, bis der Kandidat weich wird und um die 75 Pro­zent der zu erwar­tenden Summe aufgibt.

Während im Bereich eines Einsatzes von 10.000 bis 50.000 Euro offen­sichtlich eine diesen Betrag deut­lich über­steigende gefühlte Aus­zahlung erwartet wird, bereits erzielte Gewinne in dieser Größen­ordnung nur ungern riskiert werden und nur wenige für den Einsatz ihr Konto über­ziehen würden, reichen sehr vielen Menschen beim Lotto­spiel dennoch 50% Gewinn­ausschüt­tung.

Wenn jeder Euro jedem gleich viel wert ist, man von einem Gewinn nicht viel hat und ein Verlust auch nicht juckt, dann sollte man wetten, sobald q(x,y)>x/y ist. Viele verzocken zumeist kleine Beträge unterhalb dieser Grenze. Bei großen Ein­sätzen ist es umge­kehrt. Wer nicht reich ist, kann einen Verlust evtl. nicht weg­stecken. Wer sich über eine Nieder­lage über­mäßig ärgert, wird eben­falls zögern. Wer wie bei „Wer wird Milli­onär“ vor der Wahl steht, einen sicheren Betrag nach Hause mitzu­nehmen oder ihn zu ris­kieren, der wird sich über­legen, ob er mit mehr zufrie­dener wäre oder im Falle des Scheiterns zum finan­ziellen Verlust auch noch Spott und Hohn ein­fährt.

Mißt man einem Gewinn von z Euro einen Wert g(z) und einem Verlust v(z) zu, sollte man eine Wette eingehen sofern die Gewinn­wahrschein­lichkeit q(x,y)=v(x)/(g(y−x)+v(x)) übersteigt. Welchen Funk­tionen g und v ein normaler Mensch guten Aus­kommens, aber ohne großes Ver­mögen folgt, kann man nur anhand seines Verhal­tens erahnen. Ich schätze grob:

        z        g(z)        v(z)   
        0,10        0,06        0,05
        1           0,70        0,65
       10           8,50        9
      100         100         120
    1.000       1.200       1.600
   10.000      14.000      22.000 
  100.000     170.000     300.000
1.000.000   2.000.000   4.000.000

Zum Beispiel Lotto: Setze ich x=1 Euro ein und kann y=1.000.000 Euro gewinnen, so sollte die Gewinn­wahr­schein­lichkeit eins zu eine Million sein, sofern ich jeden Euro gleich bewerte. Wenn mir aber ein verlo­rener Euro nur 65 Cent wert ist (v(x)=0,65) und eine Million das Dop­pelte (g(y)=2.000.000), so sollte ich bereits spielen, wenn die Gewinn­wahr­schein­lichkeit nur eins zu 3 Mil­lionen über­steigt. Obwohl nur die Hälfte der Lotto­ein­nahmen wieder ausge­schüttet werden, kann damit schon der Bereich erreicht sein, da Lotto für ein faires Spiel gehalten wird, auch wenn die vielen klei­neren Gewinne nicht so lukrativ erscheinen. Und bei einem Jackpot von 26 Mil­lionen sind die Verhält­nisse klar: Wer scharf auf viele Milli­onen ist, für den lohnt es sich. Er sollte sogar mehrfach spielen, solange ihn der wahr­schein­lich verlorene Einsatz nicht schmerzt.

Und noch ein Beispiel: Wer bei „Wer wird Millionär“ vor der Millionen­frage steht, der kann seine x=500.000−32.000​=468.000 Euro riskieren und evtl. y=1.000.000 Euro gewinnen. Objektiv sollte er bei einer erwar­teten Erfolgs­quote oberhalb von 468.000/1.000.000​=47% zocken. Doch ist der Einsatz kein Klecker­betrag, ihn zu ver­lieren schmerzt, weshalb die meisten erst dann das Risko eingehen, wenn zu mehr als v(468.000)/​(g(532.000)+v(468.000))​=65% richtig geant­wortet werden kann. Und das ist nur selten der Fall.

Bild-Leser wissen mehr, sonst wäre ich gar nicht auf die Arte-​Sendung „Cosmic Connection“ am heutigen Abend aufmerksam geworden, auf die ich mich jetzt schon freue, denn sie wird sicherlich ein neues Lehr­beispiel für die Natur des Menschen sein, die wir den Außer­irdischen besser ver­schweigen.

„Das UFO (Unidenti­fizierbares Fernseh­objekt) richtet sich zwar an Außer­irdische, doch ist Cosmic­Connexion ebenfalls eine Auffor­derung an die Bewohner der Erde, über ihre Existenz und ein mögliches Leben außerhalb des eigenen Sonnen­systems nachzu­denken.“ Aber eben nur in zweiter Linie. Wir wissen ja bereits, daß unsere Kleidung kein angewach­senes Fell ist. Nicht so die Aliens: „Während Außer­irdische auf der Pioneer-​Raumsonde lediglich eine Metall­platte mit einem Pikto­gramm der Gattung Mensch vorfinden können, werden sie bei Cosmic­Connexion von einem unbeklei­deten Modera­torenpaar durch die Sendung geführt.“

Die auch in den Weltraum ausgestrahlte Sendung wird sich nicht an inter­stellare Biologen richten, die sich hinter dem Mond, im Asteroiden­gürtel oder unter uns verstecken und schon viele nackte Menschen seziert haben. Sie wissen schon alles aus den üblichen Chart-​Shows. Die Infor­mationen sind wohl für Außer­irdische bestimmt, die uns auf ihrem Vorbei­flug entlang der galaktischen Handels­straßen nicht bemerkten, links liegen lassen oder nur unsere Entwick­lung abwarten, bis Guido Wester­welle „auf gleicher Augen­höhe“ mit ihnen verhandeln kann.

Und so wie eine Fliege sich gut überlegen sollte, meine Aufmerk­samkeit zu erregen oder mir auf die Nerven zu gehen, so sollten wir uns laut Bild­zeitung ebenfalls ruhig verhalten. Ufo-​Forscher warnen vor den Folgen einer solchen Show, denn nicht alle Welt­raum­bewohner sind uns gut gesonnen. Sie könnten uns alle mit Mönchs­kutten einkleiden und in Berg­werken nach Kryp­tonit graben lassen oder uns gar jagen und töten, weil sie glauben, unsere Nieren­steine fördern ihre Potenz. Später würden sie uns zu diesem Zwecke über­züchten und wie Gänse stopfen. Nicht alle sind so nett wie wir und die Ameri­kaner, es gibt auch Perser und Chinesen unter ihnen.

Und nun noch die Zuschauer­frage (Außer­irdische sind von der Teilnahme ausge­schlossen) des heutigen Abends. Zu gewinnen gibt es ein Service aus vulka­nischem Porzellan mit 12 flie­genden Unter­tassen.

Was ist größer?

	Mars
	Milky Way
Ergebnis anzeigen Erstellt von wuerg am 2006-09-30 18:40.

Für wenige Euro habe ich das kleine Buch „Sudoku“ von Robin Wilson zusammen­geschweißt mit einem Abreiß­block von Eberhard Krüger mit 200 Rät­seln erstanden. Auf dem Einband verspricht das Buch „die besten Lösungs­strate­gien“, um „Schritt für Schritt zur Sudoku-​Meister­schaft“ zu gelangen. Erläutert werden aber nur wenige einfache und für den Menschen gut geeig­nete Methoden. Zunächst das Auf­finden von Einern, wenn in einem 3×9‑Block eine Ziffer zweimal vorkommt, in einem Objekt nur noch wenige Positionen frei sind, die drei gemein­samen Felder einer Zeile oder einer Spalte mit einem Block allesamt eine Zahl enthalten und in Zeile, Spalte und Block eines Feldes bereits acht verschie­dene Ziffern ver­treten sind. Fortge­schrit­tenen wird anschlie­ßend empfoh­len, in jedes Feld die noch mögli­chen Ziffern klein einzu­tragen, um auf diese Weise nackte Paare oder Tripel zu finden, die dann zu Strei­chungen anderer kleiner Ziffern und letzt­lich hoffent­lich auf Einer führen.

Natürlich kann man es mit diesen Methoden allein nicht zur verspro­chenen Meister­schaft bringen. Doch das habe ich auch gar nicht von einem kleinen Büchlein erwartet, auch wenn es auf dem Einband steht. Für die 200 Rät­sel des Blockes reichen die beschrie­benen Verfahren nicht aus. So kommt man in Num­mer 199 mit Einern, Paaren und Tripeln nicht ans Ziel, während die Nummer 200 zur Lösung nichts als Einer erfordert. Die Staf­felung der Rätsel nach Schwie­rigkeits­grad ist also nicht gut umge­setzt. Doch wer kommt schon in die letzte Abteilung „die echte Herausforderung“? Insgesamt also eine Anleitung für wenig Geld und Anfänger, die das Bahnen- und Busse-​Niveau nicht hinter sich lassen wollen.

Sudoku 1 2 3 4 5 | 6×6

Hat sich eigentlich schon einer darüber beschwert, daß zum Herbst­anfang immer noch die Sonne scheint, die Benzin­preise drastisch gesunken sind und der Weih­nachts­verkauf begonnen hat? Es ist also die beste Zeit für Frederik, sich noch einmal in die Sonne zu legen, während die anderen für den Winter Süßig­keiten horten und die Kanister füllen.

In den letzten Tagen begegneten mir Sudoku, in denen ich mit der Suche nach Einern nicht zum Ziel kam, die ich nur durch weiter­gehende Über­legungen lösen konnte. Und damit meine ich nicht so einfache Kombina­tionen wie in diesem Diagramm:

┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓
┃ 1 │ 2 │ ⋅ ┃   │   │   ┃ 4 │ 5 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │   │   ┃   │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │   │ 3 ┃   │   │   ┃
┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛

[Da hier Tabllen nicht mehr darge­stellt werden, habe ich Dia­gramme mit Unicode-​Rahmen­zeichen erstellt, die immer noch nicht von allen Browsern korrekt ange­zeigt werden. Die Arbeit mit Bildern erspare ich mir, egal ob scharf und verlinkt oder verwa­schen und direkt hier einge­fügt.]

Im rechten Block kann die 3 weder in der ersten noch der dritten Zeile stehen, muß also in der mitt­leren Platz finden, wodurch die dritte 3 des 3×9‑Strei­fens nicht nur im linken Block, sondern auch in der ersten Zeile stehen muß, wo aber nur noch das mit einem Punkt bezeich­nete Feld bleibt.

Warum ist diese Über­legung nach meinen Erläu­terungen über Einer zwar neu, aber nicht erfor­derlich? Weil es sich bei der gefun­denen 3 einfach um einen ver­steckten Einer in der ersten Zeile handelt, denn in dreien der vier freien Felder ist die 3 nicht mehr möglich, weil sie im mitt­leren Block bereits vergeben ist. Trotz­dem ist die neue Über­legung nicht über­flüssig, weil sie oftmals schneller ins Auge springt, nebenbei abfällt oder ein­facher ist.

Natürlich findet der Computer gerne von mir übersehene Einer, vor allem nackte. Und so tröstet es mich, daß in diesem Sudoku [1]

┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓
┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃   │   │ 8 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │ 2 │   ┃   │   │   ┃   │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 6 │ 1 │   ┃   │ 5 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │   │   ┃   │   │   ┃   │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 2 │   │ 4 ┃   │   │ 5 ┃ 8 │ 1 │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │   │   ┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃   │ 3 │ 2 ┃   │   │ 8 ┃ 9 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃   │ 2 │   ┃   │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   │   ┃
┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛

ein fast mensch­lich vorge­hendes Pro­gramm [2], das eben­falls zunächst nach Einern sucht, an der gleichen Stelle ins Grübeln kam wie ich:

┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓
┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │   │ 8 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 1 │ 2 │ 5 ┃   │ 8 │   ┃ 7 │ 6 │ 3 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │   │   ┃   │   │   ┃ 5 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 2 │   │ 4 ┃   │ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │   │   ┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │   │ 8 ┃ 9 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │   ┃ 6 │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   │   ┃
┗━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┻━━━┷━━━┷━━━┛

Irgendwann hätte ich eine Fort­setzung gefunden, und sei es durch Fall­unter­schei­dung, habe aber aufge­geben, weil ich unbe­dingt wissen wollte, ob der Computer an dieser Stelle weitere Einer findet. Das war nicht der Fall, weshalb er zu Paaren über­ging. Das sind zwei Felder einer Zeile, einer Spalte oder eines Blockes, in denen nur zwei Ziffern möglich sind, und zwar in beiden Feldern die gleichen. Von diesen Paaren (rot) fand er zwei. Zum einen 4/9 in den Zeilen 2 und 8 der Spalte 6 mit der roten nackten 1 als Konsequenz. Zum anderen 7/9 (rot )an den Posi­tio­nen 4 und 8 des mittleren Blockes, woraus sich darin eine rote nackte 4 ergibt. Direkte Folge ist die ver­steckte blaue 1 in diesem Block und ein eben­falls blaues 2/6‑Paar, das sich auch ergäbe, fielen einem 2 und 6 in den Spalten 4 und 5 auf. Damit ist das Sudoku so gut wie gelöst:

┏━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┳━━━┯━━━┯━━━┓
┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │   │ 8 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 1 │ 2 │ 5 ┃   │ 8 │4/9┃ 7 │ 6 │ 3 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 3 │   │   ┃ 1 │ 4 │2/6┃ 5 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 2 │   │ 4 ┃7/9│ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │7/9│2/6┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │   │ 8 ┃ 9 │   │   ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │4/9┃ 6 │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │ 1 ┃ 3 │   │   ┃
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Nackte Paare wie 7/9 und 4/9 sind für Menschen mit­unter schwer zu sehen, wenn man nicht buch­halte­risch und leider auch zeit­raubend vorgeht, in den leeren Feldern alle noch mögli­chen Ziffern notiert und sich sodann anschaut, in welchen nur noch zwei stehen. Ist es das gleiche Paar inner­halb einer Zeile, Spalte oder einem Block, so hat man dieses nackte Paar gefunden, worauf­hin in dieser Zeile, Spalte oder diesem Block an anderen Stellen diese beiden Ziffern gestri­chen werden können.

Hätte ich nicht zum Zwecke der Analyse an dieser Stelle den Computer bemüht, würde ich eher ein ver­steckt­es Paar gesucht haben. Das sind zwei Ziffern, die in einer Zeile, Spalte oder in einem Block genau zweimal vor­kommen, und zwar in den glei­chen beiden Feldern. Da darin neben diesen zwei Ziffern in der Regel noch weitere möglich sind (sonst wäre es zugleich ein nacktes Paar), werden sie über die Buch­halter­methode nur schwer gesehen. Deshalb empfielt es sich, vorzugs­weise in stark besetz­ten Zeilen, Spalten oder Blöcken nach fehlen­den Ziffern in der Hoff­nung Ausschau zu halten, daß sie bis auf zwei in allen Feldern aus­scheiden. Das liefert kein Paar, aber einen Zweier, also ein­zelne Ziffern in nur zwei Feldern. Auch wenn man sich nur solche inner­halb eines Blockes merkt, so geschieht es doch häufig, daß ein weiterer Zweier für die gleichen Felder ent­deckt wird und so ein Paar entsteht.

Langer Rede kurzer Sinn: Mir hätte auffallen können, daß 2 und 6 in Spalte 4 des Blockes 2 und auch in der Spalte 5 des Blockes 8 stehen, weshalb ihnen im Block 5 nur die 6. Spalte bleibt. Eines dieser drei Felder ist besetzt, weshalb das ver­steckte Paar 2/6 in den beiden verblei­benden stehen muß.

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┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃ 1 │   │ 8 ┃
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┃ 1 │ 2 │ 5 ┃   │ 8 │   ┃ 7 │ 6 │ 3 ┃
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┃   │   │ 3 ┃ 6 │ 1 │ 7 ┃ 2 │ 5 │   ┃
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┃ 3 │   │   ┃ 1 │ 4 │2/6┃ 5 │   │   ┃
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┃ 2 │ 9 │ 4 ┃ 7 │ 3 │ 5 ┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃ 8 │ 9 │2/6┃ 4 │ 3 │   ┃
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┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │ 7 │ 8 ┃ 9 │ 4 │ 1 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │   ┃ 6 │   │ 5 ┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼───┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   │   ┃
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Sofort ergibt sich erst die ver­steckte 1, danach die ver­steckte 4 im mittleren Block, gefolgt von der ver­steckten 9 in Spalte 5. Im Anschluß purzeln die roten Siebener. Damit ist das 7/9‑Paar im mitt­leren Block aufge­löst, ohne es vorher als nacktes Paar bemerkt zu haben. Und wegen 1 und 4 in Zeile 7 fallen alle Vieren und Neunen des gesamten Dia­gramms. Die zahl­reichen 4/9‑Paare sind also ebenfalls aufge­löst, ohne sie zuvor gesehen haben zu müssen.

Bleibt nur noch eine Frage zu klären: Wie finde ich das 2/6‑Paar, zumal ich doch nicht ohne weite­res sehe, daß 2 und 6 in den Spalten 4 und 5 bereits im oberen und im unteren Block vor­kommen? Die Antwort ist einfach: Es wird eine Ziffer n nach der anderen betrach­tet, und es werden (im Geiste) alle Zeilen, Spalten und Blöcke geschwärzt, in denen diese Ziffer steht, zusätz­lich auch alle bereits beleg­ten Felder. Bleibt ein ein­zelnes weißes Feld in einer Zeile, Spalte oder Block, ist an dieser Stelle ein Einer n entdeckt. Dort wird die ausge­wählte Ziffer notiert und sodann weiter geschwärzt. Dieser Prozeß ist zu wieder­holen, bis keine Einer n mehr gefun­den werden. Sodann werden Zweier gesucht, also Felder, die in einer Zeile, einer Spalte oder einem Block genau zweimal n als noch mögli­chen Kandi­daten auf­weisen. Auch wenn sie direkt nichts nützen, sollten sie zumin­dest dann notiert werden, wenn sie sich in einem gemein­samen Block befinden [3], beson­ders wenn sie darin waage­recht oder senk­recht liegen und in ihre Zeile bzw. Spalte aus­strahlen (poin­ting pair), daß darin alle weiteren n gestri­chen werden können. Im Glücks­falle wurde bereits ein Zweier zu einer anderen Zahl m an der glei­chen Stelle gefunden. Dann steht dort ein m/n‑Paar mit allen seinen Konse­quenzen. Mög­licher­weise können nun weitere Einer zu finden sein.

Normalerweise gehe ich zu Beginn stur alle Ziffern von 1 bis 9 durch, beginne auch teil­weise wieder von vorne, wenn es erfolg­verspre­chend aussieht. Das hier betrach­tete Sudoku sieht nach Abar­beitung der Ziffern 1 bis 6 wie folgt aus:

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┃   │ 6 │ 7 ┃ 2 │ 5 │ 3 ┃   │   │ 8 ┃
┠─1─┼───┼───╂───┼───┼───╂─1─┼───┼───┨
┃  5┼─2─┼5  ┃   │   │   ┃   6   │   ┃
┠───┼───┼─3─╂───┼───┼───╂───┼───┼─3─┨
┃   │   │   ┃ 6 │ 1 │   ┃  2┼─5─┼2  ┃
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┃ 3 │  1│  6┃   │   │2 6┃ 5 │   │   ┃
┠───┼──┼┼──┼╂───┼───┼┼─┼╂───┼───┼───┨
┃ 2 │  ││ 4│┃   │ 3 ││5│┃ 8 │ 1 │ 6 ┃
┠───┼──┼┼──┼╂───┼───┼┼─┼╂───┼───┼───┨
┃   │  1│  6┃ 8 │   │2 6┃ 4 │ 3 │   ┃
┣━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━╋━━━┿━━━┿━━━┫
┃ 6 │ 3 │ 2 ┃ 5 │   │ 8 ┃ 9 │   │  1┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼──┼┨
┃ 7 │   │ 1 ┃ 3 │ 2 │   ┃   6   │ 5│┃
┠───┼───┼───╂───┼───┼───╂───┼───┼──┼┨
┃   │   │   ┃   │ 6 │   ┃ 3 │   2  1┃
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Normalerweise würde ich auch die verblei­benden Ziffern 7 bis 9 auf Einer und Zweier über­prüfen. Dadurch aber würde mein Bild über­laden, und es ist auch nicht erfor­derlich, denn nunmehr ist im mitt­leren Block ein Paar gefun­den, das der 1 und der 4 ihren Platz darin zuweist. Die rest­lichen beiden bilden ein 7/9‑Paar, das aber gar nicht beachtet werden muß, denn nun kommt man wie zuvor dar­gelegt mit Einern ans Ziel.

[1] .6725...8.2..........61..5.3........2.4..581....8..43..32..89..7.1.2...5....6.3..

[2] Andrew Stuart: Sudoku Solver.

[3] Wenn die beiden Felder eines Zweiers sich berühren, schreibe ich die Ziffer auf die gemein­same Kante bzw. Ecke. Anson­sten zeichne ich eine Verbin­dungs­linie und be­schrifte sie mit der Ziffer des Zweiers. Am Computer werden solche Zweier (oder auch Dreier) gerne in eine Ecke der Felder ge­schrie­ben, weshalb sie zur eindeu­tigen Inter­preta­tion alle in einem Block liegen sollten. Auch ich ver­zichte fast immer auf block­übergrei­fende Verbin­dungen, da sie nor­maler­weise auch nicht viel bringen.

Anfang | Einer | Raster | Stufen