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Rollrichtung
wuerg, 07.02.2006 12:34
Hier stimmt doch etwas nicht, da hat doch einer die Klopapierrolle falsch herum aufgehängt, nämlich an der Wand abwärts rollend. Das zu sehen erschien mir wie eine Zeitreise, war es doch früher die klassische Hängung, die gänzlich ausgestorben schien. Irgendwann empfand man wohl das Herabgleiten des Papieres an der Klowand (des Internets) als unhygienisch und erfand abstandhaltende Vorrichtungen, die dann allerdings eine Abrollbremse benötigten und nur noch die vordere Abrollung (an der Wandseite aufwärts) erlaubten. Und an dieser Rollrichtung hält man vorzugsweise auch dort fest, wo man zu schlichten, selbstbremsenden Rollenhaltern zurückgekehrt ist.
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Angst
wuerg, 06.02.2006 19:34
Die Google-Suche nach „Mohammed +Karikaturen +blogger.de“ lieferte mir 52 Treffer, durch die ich in keinem Falle auf einen hiesigen Blogger-Kollegen stieß, der sich mit den aktuellen Vorkommnissen auseinandersetzte. Möglicherweise sind seine Beiträge noch nicht bei Google angekommen oder ich lese nicht intensiv genug die Einlassungen anderer. Für plausibler halte ich aber Angst als Ratgeber derer, die gestern noch Klowände diskutierten und sich als Gefahr für den herkömmlichen Journalismus aufspielten. Es ist die gleiche Angst, aus der heraus die Karikaturen auch in Zeitungen kaum abgebildet werden, gleichwohl es für die Presse nicht nur die Freiheit gibt, sondern auch eine Pflicht, die Menschen zu informieren.
Ich bilde hier ebenfalls keine Karikaturen ab, denn in meinem Blog war noch kein einziges Bild im herkömmlichen Sinne zu sehen. Warum soll ich mir den Zorn der Bilderstürmer zuziehen? Dafür sind die Fotoblogs zuständig und diejenigen, denen nichts zu intim und zu heilig ist. Und es soll sich keiner damit rausreden, daß die Karikaturen alle schlecht bis beschissen sind. Ich fand auch nur eine gut, nämlich die mit dem Balken vor den Augen des Mannes, der doch unmöglich Mohammed selbst gewesen sein kann.
Um mich selbst von meinen christlichen Vorurteilen zu lösen, versetze ich mich in die Lage eines Außerirdischen, der so manchen Zweifel am Verstand der Christen hegt, die sich Jahrtausende immer wieder semesterweise mit den Problemen der Dreifaltig- und einigkeit auseinandersetzen. Und desto enttäuschter bin ich, daß große Teile der Monotheisten, die den einen Gott auf ihrer Seite wähnen, sich derart ereifern können über Karikaturen, die doch nur gewisse Eigenheiten auf die Schippe nehmen. Und wo sie sich auf Mohammed beziehen, treffen sie doch nur einen Propheten und keinen Gottessohn.
Als Außerirdischer sehe ich, daß sich über Jesus aus Weißblech am Kreuz (Ich war eine Dose) nicht die katholische Kirche, sondern die Weißblechindustrie aufgeregt hat, woraufhin der damals noch recht gläubige Christ Wuerg sich vor der Zensur noch einen Druck zulegte, und sonst nichts passierte, den Extremisten unter den Moslems es aber gelingt, Hunderte von Verblendeten Botschaften in Brand stecken zu lassen. Sie rufen nach der Fatwa mit mehr Aussicht auf Erhörung als die Anrufung der Inquisition verspräche.
Als Außerirdischer aber laste ich es einer Religion nicht an, daß die Menschen ihres Kulturkreises weniger als andere an dem teilhaben konnten, was man allenthalben als Aufklärung ins Feld führt, wodurch sogar unter ihren hoch Gebildeten oftmals eine unerschütterliche Verblendung vorzufinden ist, wenn es um Fragen des Glaubens oder des ewigen Kampfes gegen die Juden geht. Ich sehe auch wie Menschen nach einem Fährunglück keine Botschaft, sondern die Büros der Reederei in Flammen legen. Und so tröste ich mich damit, daß es wohl doch Unterschiede zwischen den sog. Kulturen geben muß, von denen die Religion nur ein Teil ist.
Symmetrieargument | Moslemversteher
Ich bilde hier ebenfalls keine Karikaturen ab, denn in meinem Blog war noch kein einziges Bild im herkömmlichen Sinne zu sehen. Warum soll ich mir den Zorn der Bilderstürmer zuziehen? Dafür sind die Fotoblogs zuständig und diejenigen, denen nichts zu intim und zu heilig ist. Und es soll sich keiner damit rausreden, daß die Karikaturen alle schlecht bis beschissen sind. Ich fand auch nur eine gut, nämlich die mit dem Balken vor den Augen des Mannes, der doch unmöglich Mohammed selbst gewesen sein kann.
Um mich selbst von meinen christlichen Vorurteilen zu lösen, versetze ich mich in die Lage eines Außerirdischen, der so manchen Zweifel am Verstand der Christen hegt, die sich Jahrtausende immer wieder semesterweise mit den Problemen der Dreifaltig- und einigkeit auseinandersetzen. Und desto enttäuschter bin ich, daß große Teile der Monotheisten, die den einen Gott auf ihrer Seite wähnen, sich derart ereifern können über Karikaturen, die doch nur gewisse Eigenheiten auf die Schippe nehmen. Und wo sie sich auf Mohammed beziehen, treffen sie doch nur einen Propheten und keinen Gottessohn.
Als Außerirdischer sehe ich, daß sich über Jesus aus Weißblech am Kreuz (Ich war eine Dose) nicht die katholische Kirche, sondern die Weißblechindustrie aufgeregt hat, woraufhin der damals noch recht gläubige Christ Wuerg sich vor der Zensur noch einen Druck zulegte, und sonst nichts passierte, den Extremisten unter den Moslems es aber gelingt, Hunderte von Verblendeten Botschaften in Brand stecken zu lassen. Sie rufen nach der Fatwa mit mehr Aussicht auf Erhörung als die Anrufung der Inquisition verspräche.
Als Außerirdischer aber laste ich es einer Religion nicht an, daß die Menschen ihres Kulturkreises weniger als andere an dem teilhaben konnten, was man allenthalben als Aufklärung ins Feld führt, wodurch sogar unter ihren hoch Gebildeten oftmals eine unerschütterliche Verblendung vorzufinden ist, wenn es um Fragen des Glaubens oder des ewigen Kampfes gegen die Juden geht. Ich sehe auch wie Menschen nach einem Fährunglück keine Botschaft, sondern die Büros der Reederei in Flammen legen. Und so tröste ich mich damit, daß es wohl doch Unterschiede zwischen den sog. Kulturen geben muß, von denen die Religion nur ein Teil ist.
Symmetrieargument | Moslemversteher
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Danielwoche
wuerg, 31.01.2006 19:42
In meinen Einlassungen zu den EPORN bezeichnete ich eine Frist von 2520 Tagen als eine Danielwoche, denn Daniel nennt „eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit“, was in der Offenbarung zusammen mit 42 Monaten und 1260 Tagen wiederholt wird. Doch leider kommt Daniel gegen Ende zu 1290 und sogar 1335 Tagen, womit für sieben Jahre eine ganze Palette zur Verfügung steht:
1260+1260=2520 84 Monate zu 30 Tagen 360,0 Tage/Jahr
1260+1290=2550 85 Monate zu 30 Tagen 364,3 Tage/Jahr
1290+1290=2580 86 Monate zu 30 Tagen 368,6 Tage/Jahr
1335+1335=2670 89 Monate zu 30 Tagen 381,4 Tage/Jahr
Nichts davon paßt so richtig auf einen einigermaßen genauen Kalender, weder nach dem Lauf der Sonne, noch dem des Mondes. Trotzdem scheinen einige sich mit 2550 Tagen für eine Danielwoche angefreundet zu haben. Das liegt näher am wirklichen Jahr, und die zusätzlichen 30 Tage lassen sich leicht einem 13. Monat zuschieben, also 6 Gemeinjahre und ein Schaltjahr. Doch das ist Quatsch, denn der Mond schafft es in dieser Zeit 86,6 statt nur 85 mal, weshalb der jüdische Monat im Mittel bei den 29½ Tagen des synodischen liegt.
Plausibler erscheint mir dann doch die auf prophetischen Jahren zu 360 Tagen aufbauende Danielwoche von 2520 Tagen, von denen es insgesamt 7+62+1=70 geben soll. Und schlägt man zum Beispiel für das Jüngste Gericht noch 30 oder 75 Tage der letzten Halbwoche zu, so kommt man auf die 1290 bzw. 1335 Tage am Ende dieser Periode von 7⋅70=490 Jahren. Das alles ist sicherlich nur Zahlenspielerei, doch würde auch manch moderner Mensch in Angst und Schrecken verfallen, wenn die 490 Jahre nicht schon mehrfach abgelaufen wären.
1260+1260=2520 84 Monate zu 30 Tagen 360,0 Tage/Jahr
1260+1290=2550 85 Monate zu 30 Tagen 364,3 Tage/Jahr
1290+1290=2580 86 Monate zu 30 Tagen 368,6 Tage/Jahr
1335+1335=2670 89 Monate zu 30 Tagen 381,4 Tage/Jahr
Nichts davon paßt so richtig auf einen einigermaßen genauen Kalender, weder nach dem Lauf der Sonne, noch dem des Mondes. Trotzdem scheinen einige sich mit 2550 Tagen für eine Danielwoche angefreundet zu haben. Das liegt näher am wirklichen Jahr, und die zusätzlichen 30 Tage lassen sich leicht einem 13. Monat zuschieben, also 6 Gemeinjahre und ein Schaltjahr. Doch das ist Quatsch, denn der Mond schafft es in dieser Zeit 86,6 statt nur 85 mal, weshalb der jüdische Monat im Mittel bei den 29½ Tagen des synodischen liegt.
Plausibler erscheint mir dann doch die auf prophetischen Jahren zu 360 Tagen aufbauende Danielwoche von 2520 Tagen, von denen es insgesamt 7+62+1=70 geben soll. Und schlägt man zum Beispiel für das Jüngste Gericht noch 30 oder 75 Tage der letzten Halbwoche zu, so kommt man auf die 1290 bzw. 1335 Tage am Ende dieser Periode von 7⋅70=490 Jahren. Das alles ist sicherlich nur Zahlenspielerei, doch würde auch manch moderner Mensch in Angst und Schrecken verfallen, wenn die 490 Jahre nicht schon mehrfach abgelaufen wären.
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EPORN
wuerg, 27.01.2006 21:42
Durch CSI:Miami kam ich auf die Zahl 420, über diese zu ihrem Dreifachen 1260 aus der Offenbarung des Johannes, Kapitel 11, Vers 3 und unter Verdoppelung auf 2520, die Anzahl der Tage in einer Danielwoche von 7 Jahren. Diese Zahl ist durch 1 bis 10 teilbar und nicht nur in dieser Beziehung die kleinste. Auch unter den EPORN (Equal Product Of Reversible Numbers) ist 2520 nicht zu unterbieten. Diese EPORN sind Zahlen, die sich auf mehrfache Weise als Produkt einer Zahl mit ihrem Spiegelbild schreiben lassen. Es ist
2520 = 210 ⋅ 012 = 120 ⋅ 021
was den mehr als flüchtigen Beobachter nicht vom Sockel hauen sollte, denn beide Produkte sind eigentlich nur Umstellungen der wenig originellen Ziffern 0, 1 und 2. Wer von einer EPORN mehr erwartet als immer das gleiche in anderer Reihenfolge, muß sich Mühe geben und eine Weile suchen. Dann findet er auch eine ohne 0 am Ende, nämlich
63504 = 441 ⋅ 144 = 252 ⋅ 252
die sogar eine Quadratzahl ist.
[1] Shyam Sunder Gupta: EPORNS.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A066531.
2520 = 210 ⋅ 012 = 120 ⋅ 021
was den mehr als flüchtigen Beobachter nicht vom Sockel hauen sollte, denn beide Produkte sind eigentlich nur Umstellungen der wenig originellen Ziffern 0, 1 und 2. Wer von einer EPORN mehr erwartet als immer das gleiche in anderer Reihenfolge, muß sich Mühe geben und eine Weile suchen. Dann findet er auch eine ohne 0 am Ende, nämlich
63504 = 441 ⋅ 144 = 252 ⋅ 252
die sogar eine Quadratzahl ist.
[1] Shyam Sunder Gupta: EPORNS.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A066531.
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four twenty
wuerg, 26.01.2006 11:10
Erschienen alle dreistelligen Zahlen zu einem Wettkampf, wie gestern auf Pro 7 dreißig magere Mädchen zur Spitzen-Modell-Schau mit Heidi Klum, dann gehörte bisher die 420 zu den 234 Zahlen, die leider in der ersten Runde ausscheiden müssen. Doch vorgestern wurde diese 420 durch CSI:Miami an mich herangetragen. Nun weiß ich aus einer mir fernen Welt, daß sich Rauschgiftsüchtige an der 420 wie Nazis an der 18 erkennen. Und so fand auch die Umdeutung der 420 durch die jugendlichen Kriminellen bemerkenswert: Die 420 steht nicht mehr für eine Uhrzeit, zu der irgendwelche Schüler Marihuana rauchten und sowas wie den Fünf-Uhr-Tee für Rauschgiftsüchtige begründeten, sondern dank der amerikanischen Datumsschreib- und ‑sprechweise auch für Führers Geburtstag.
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20⋅21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN‑A3-Blattes 420 mm lang und mit 3⋅420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: „die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage.“ Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN‑A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260−594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20⋅21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN‑A3-Blattes 420 mm lang und mit 3⋅420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: „die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage.“ Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN‑A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260−594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
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739397
wuerg, 21.01.2006 19:02
Soll ein Mensch eine Farbe, ein Werkzeug und eine zweistellige Zahl nennen, die keine Schnapszahl oder ein Vielfaches von zehn ist, dann soll zumeist „rot, Hammer und 37“ geantwortet werden. Dabei wird sich kaum einer von den Beziehungen zur 73 und zur 666 leiten lassen, auch nicht von Sechsecken und Sternen aus 37 Punkten. Ich erkläre mir das wie folgt: Wann immer man um eine solche Zahl gebeten wird, droht die Gefahr eines Zahlentricks, dem man unwillkürlich durch die Auswahl einer schweren Zahl begegnen möchte. Diesen Eindruck erweckt die Primzahl 37, deren Ziffern beide wiederum Primzahlen sind.
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus „nicht zusammengesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotzdem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397
Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünfstellige beidseitig stutzbare Zahl gibt, insbesondere sind die beiden Stutzungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch einseitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.
Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutzbar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der gleichen Seite gestutzt werden, vielmehr könne es in beliebiger Abfolge vorne und hinten geschehen. Dann entfallen aus der so und so schon kurzen Liste schon einmal alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben
2,3,5,7,23,37,53,73,373
die auch wirklich alle in beliebiger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß alle Teilketten (substrings) prim sein müssen.
Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Computers mit den einstelligen Primzahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Primalität prüfen, um sodann den entstandenen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzufügen oder voranzustellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutzbaren Zahlen, aus denen man dann die vorstehend genannten beidseitiger Abschneidung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutzbare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutzbaren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]
[1] Wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn schon lange ist Deutsch nicht mehr die führende Wissenschaftssprache und Begriffsbildung findet zunächst englisch statt. So benötigte ich eine Weile, bis ich für die „truncatable numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürzbar oder abschneidbar, doch stutzbar ist viel schöner.
[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zugelassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleichwohl 03 und 3 ja prim sind.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beidseitig stutzbar, A085823 auch abwechselnd.
37 | 73
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus „nicht zusammengesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotzdem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
7
7 3
7 3 9
7 3 9 3
7 3 9 3 9
7 3 9 3 9 7
3 9 3 9 7
9 3 9 7
3 9 7
9 7
7
Alle 11 Zahlen sind prim, und es gibt kein größeres Diagramm dieses Typs, alle anderen sind sogar wesentlich kleiner:
3 3 3 7 3 1 7 3 3 3 3 7 9 3 1 3 7 9 3 7 3 1 3 1 3 7 9 7 3 1 3 7 7 9 7 3 7 3 3 1 7 3 1 3 7 9 7 1 3 7 9 7 7 3 1 7 1 3 9 7 3 7 7 3 7 3 7 7Und das sind auch schon alle mit mehr als zwei Stellen. Primzahlen, von denen man beständig die niederwertigste (rechte) Ziffer entfernen kann und stets ein Primzahl bleiben, heißen rechts(seitig) stutzbar. [1] Geschieht das mit der höchstwertigen Ziffer, so heißen sie links(seitig) stutzbar. [2] Und man kann es sich denken: Zahlen, die von links und rechts stutzbar sind, heißen beidseitig oder einfach nur stutzbar. Es sind gerade einmal 15 Stück:
2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397
Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünfstellige beidseitig stutzbare Zahl gibt, insbesondere sind die beiden Stutzungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch einseitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.
Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutzbar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der gleichen Seite gestutzt werden, vielmehr könne es in beliebiger Abfolge vorne und hinten geschehen. Dann entfallen aus der so und so schon kurzen Liste schon einmal alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben
2,3,5,7,23,37,53,73,373
die auch wirklich alle in beliebiger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß alle Teilketten (substrings) prim sein müssen.
Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Computers mit den einstelligen Primzahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Primalität prüfen, um sodann den entstandenen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzufügen oder voranzustellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutzbaren Zahlen, aus denen man dann die vorstehend genannten beidseitiger Abschneidung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutzbare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutzbaren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]
[1] Wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn schon lange ist Deutsch nicht mehr die führende Wissenschaftssprache und Begriffsbildung findet zunächst englisch statt. So benötigte ich eine Weile, bis ich für die „truncatable numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürzbar oder abschneidbar, doch stutzbar ist viel schöner.
[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zugelassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleichwohl 03 und 3 ja prim sind.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beidseitig stutzbar, A085823 auch abwechselnd.
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793
wuerg, 18.01.2006 00:11
Meine Einlassungen zur Zahl 73 samt ihren Beziehungen zur 37 beginnen mit
Und so man schon bei den Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen:
Dieser Stern (n=3) besteht aus insgesamt 793 Punkten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 verbleibt innen ein Sechseck aus 397 Punkten. In dieses Sechseck hinein habe ich einen kleineren roten Stern (n=2) gezeichnet. Er hat 73 Punkte. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 6 Punkten verbleibt innen gleichfalls ein Sechseck der Größe 37.
Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999…9997 und y=7999…9993 für mehr als 4 Stellen ebenfalls Sechsecke und Sterne bilden. Für n=5 trifft das nicht zu, denn D₁₁₄=6555<6666<6670=D₁₁₅. Da Robert Israel [2] sich die Mühe machte, die kleinsten Dreieckszahlen mit bis zu 500 Sechsen am Ende zu berechnen, ist wohl abseits von 6, 66 und 666 noch keine aus lauter Sechsen gefunden oder gar bewiesen worden, daß es keine mehr gibt.
[1] Mark793: Ich seh Sterne und denk an Sechssechssechs. Darin eine alte Version meines Sternes, der mir allerdings zu breit geriet und nunmehr auch bunt und mit runden Kullern schöner aussieht.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A227220, A036523, A119091.
37 | 73
A B + A B - 1 ----- B A =====als einer leicht zu lösenden Aufgabe. Aus der Zehnerstelle folgt B>A, weshalb die Addition einen Übertrag haben muß. Damit ist A=B−11 für die Einerstelle und B=2A+1 für die Zehnerstelle. Die einzige Lösung ist A=3 und B=7. Wie aber sieht es mit einer größeren Aufgabe wie
A B C D E F G H + A B C D E F G H - 1 ----------------- H G F E D C B Aaus? Erneut folgt aus der vordersten Stelle H>A, weshalb wiederum aus der Einerstelle ein Übertrag entstehen muß und A=2H−9 gilt. Nur weiß man nun nicht sofort, ob auch ein Übertrag in die vorderste Stelle erfolgt. Deshalb sind die beiden Fälle H=2A und H=2A+1 zu unterscheiden. Glücklicherweise hat nur der letztere Fall mit dem Übertrag eine Lösung, daß wieder A=3 und H=7 sein muß. Damit können wir uns zur Mitte hin vorarbeiten: Für für die zweite Stelle gilt 2B=G+10 oder 2B+1=G+10, für die zweitletzte 2G+1=B oder 2G+1=B+10. Nur die beiden rechten Möglichkeiten, die einen Übertrag durchreichen, liefern eine Lösung B=G=9. Mit der gleichen Argumentation folgt C=F=9 und schließlich D=E=9. Auch bei ungerader Stellenzahl gibt es keine Probleme. Damit sind die einzigen Lösungen für y=2x−1 mit gespiegelten Zahlen x und y zu n Ziffern:
x = 4 ⋅ 10n−1 − 3 = 4 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 36⋅(10n−1−1)/9 + 1 = 4 ⋅ 10..0 − 3 = 4 ⋅ 999..999 + 1 = 36 ⋅ 111..111 + 1 = 3999...9997 = 3999...9996 + 1 = 6 ⋅ 666..666 + 1 y = 8 ⋅ 10n−1 − 7 = 8 ⋅ (10n−1−1) + 1 = 72⋅(10n−1−1)/9 + 1 = 8 ⋅ 10..0 − 7 = 8 ⋅ 999..999 + 1 = 72 ⋅ 111..111 + 1 = 7999...9993 = 7999...9992 + 1 = 12 ⋅ 666..666 + 1Abermals ist über 7993=12⋅666+1 die Zahl 666 im Geschäft. Das sind alles nette Ziffernspielereien, die nur von Wert sein können, wenn weitere schöne Eigenschaften hinzutreten. Man kann sie zur Verwunderung argloser Menschen mißbrauchen. So folgt allein aus y=2x−1 bereits, daß x⋅y die x‑te Sechseckzahl und die y‑te Dreieckszahl ist. Im zweistelligen Falle (x=37 und y=73) ergibt sich H₃₇=D₇₃=37⋅73=2701, die Summe der ersten sieben Wörter der Bibel, wenn den hebräischen Buchstaben die üblichen Zahlen zugeordnet werden.
Und so man schon bei den Polygonalzahlen ist, können die folgenden denkwürdigen Beziehungen auffallen:
x = 37 = 36 + 1 = 6⋅6 + 1 = 6⋅D(3) + 1 = h(4) y = 73 = 72 + 1 = 12⋅6 + 1 = 12⋅D(3) + 1 = z(4) x = 397 = 6⋅66 + 1 = 6⋅(12⋅11)/2 + 1 = 6⋅D(11) + 1 = h(11) y = 793 = 12⋅66 + 1 = 12⋅(12⋅11)/2 + 1 = 12⋅D(11) + 1 = z(11) x = 3997 = 6⋅666 + 1 = 6⋅(36⋅37)/2 + 1 = 6⋅D(36) + 1 = h(36) y = 7993 = 12⋅666 + 1 = 12⋅(36⋅37)/2 + 1 = 12⋅D(36) + 1 = z(36)Darin ist h(k) die k‑te zentrierte Sechseckzahl und z(k) die k‑te zentrierte Zwölfeckzahl, die zugleich k‑te Sternzahl sechszackiger Sterne ist. Zu Ehren von Mitblogger y=mark793 (x=397kram) stelle ich den dreistelligen Fall bildlich dar:
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Stern mit 793 Punkten um ein Sechseck mit 397 und darin rot ein Stern mit 73 Punkten um ein Sechseck mit 37 (png) [1]Dieser Stern (n=3) besteht aus insgesamt 793 Punkten. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 66 verbleibt innen ein Sechseck aus 397 Punkten. In dieses Sechseck hinein habe ich einen kleineren roten Stern (n=2) gezeichnet. Er hat 73 Punkte. Abzüglich seiner sechs Zacken zu je 6 Punkten verbleibt innen gleichfalls ein Sechseck der Größe 37.
Was abseits der Bildchen bleibt, ist die Frage, ob die Zahlen x=3999…9997 und y=7999…9993 für mehr als 4 Stellen ebenfalls Sechsecke und Sterne bilden. Für n=5 trifft das nicht zu, denn D₁₁₄=6555<6666<6670=D₁₁₅. Da Robert Israel [2] sich die Mühe machte, die kleinsten Dreieckszahlen mit bis zu 500 Sechsen am Ende zu berechnen, ist wohl abseits von 6, 66 und 666 noch keine aus lauter Sechsen gefunden oder gar bewiesen worden, daß es keine mehr gibt.
[1] Mark793: Ich seh Sterne und denk an Sechssechssechs. Darin eine alte Version meines Sternes, der mir allerdings zu breit geriet und nunmehr auch bunt und mit runden Kullern schöner aussieht.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A227220, A036523, A119091.
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