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Hausaufgaben, Teil 4
wuerg, 03.02.2007 20:47
Da die Schüler der achten Klasse angesichts des Viereckes natürlich vom Dreieck nichts mehr wußten, wurden ihnen zur häuslichen Auffrischung die vier Kongruenzsätze für Dreiecke diktiert. Ich wüßte ich gerne, was das soll. Einmal abgesehen davon, daß meine Tochter nach Gehör "Konkruents" geschrieben hatte, ist es genau der falsche Weg, diese Sätze in einer verqueren Schulsprache aufzuschreiben, wenn man sie lernen, verstehen und anwenden will [1]. Wer es nicht glaubt, der sehe sie sich in der Wikipedia [2] an, wo sie noch recht schlicht formuliert sind. Der Königsweg zeigt genau in die entgegengesetzte Richtung: Man verinnerlicht den simplen Sachverhalt und kann sofort alles anwenden. Will man zusätzlich die Sätze im Schuldeutsch niederschreiben, muß man sich allerdings ein paar Übereinkünfte merken, die wie so oft zum Inhalt nichts beitragen.
Der schlichte Sachverhalt, den es zu verstehen oder notfalls zu merken gilt, lautet: Von den drei Seiten und den drei Winkeln des Dreieckes reichen im allgemeinen drei Angaben aus, um daraus ein Dreieck zu konstruieren. In der Folge sind zwei Dreiecke, die in dreien dieser sechs Elemente (Seiten und Winkel) übereinstimmen, kongruent. Und wer zu dieser Einsicht gelangt ist, dem werden auch drei Kleinigkeiten einleuchten: Drei Winkel nützen nichts, weil jeweils zwei den dritten bestimmen, alle Größen müssen sich im gleichen Drehsinn entsprechen, und in einem Fall kann es zu Doppeldeutigkeiten kommen. So ausgestattet kann man sich auch auf einer einsamen Insel wieder alle vier Kongruenzsätze überlegen, ohne gleich mit Zweitnamen Archimedes zu heißen. Wahrscheinlich kommt man dann auf fünf statt vier Sätze und numeriert sie anders, doch an der Sache ändert sich dadurch nichts:
Ein Winkel fehlt immer. Die restlichen Elemente (drei Seiten und zwei Winkel) bezeichne ich in ihrer Reihenfolge mit SWSWS. Es gibt 5 über 3, also 10 Möglichkeiten, drei Elemente aus diesen fünfen auszuwählen:
[1] Auch ich erläutere hier die Kongruenzsätze nicht in Bildern oder durch leicht verständliche Worte, denn es geht hier nicht darum, sie zu erlernen und möglichst effektiv im Kleinhirn zu verankern, sondern um eine Kritik an ihrer Darstellung in der Schule, die mäßige Schüler abschreckt und von den mathematisch begabten ignoriert wird.
[2] Die Wikipedia listet SSS, WSW, SWS und SsW. Die Fälle SWW und WWS werden als aus WSW abgeleitet klassifiziert. Um SWW und WWS als nur einen Fall zu betrachten, muß lediglich die Spiegelung [3] bemüht werden. Die Rückführung auf WSW [4] aber ist reine Willkür.
[3] Es ist korrekt, sich zur Rückführung des Falles WWS auf SWW (und auch WsS auf SsW) sich beide Dreiecke gespiegelt zu denken, aber es ist nicht erlaubt, die Angaben im einen Dreieck links und in dem anderen rechts herum zu interpretieren, weil dann normalerweise keine Kongruenz mehr gegeben ist. Diese Tatsache wird auch gerne mit sprachlichen Zusätzen wie "entsprechende Seiten" berücksichtigt. Nur wird es dadurch nicht klarer.
[4] Die Zusammenfassung von WSW und SWW basiert darauf, daß die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad ist und bei zwei gegebenen Winkeln der dritte sich ergibt. Dieses Argument fortführend könnten die Kongruenzsätze 1 bis 3 auch zu einem einzigen zusammengefaßt werden. Aber mit den eigentlich fünf verschiedenen Fällen werden auch eigene Konstruktionsverfahren verbunden. Und das ist bei SWW schwerer und origineller als im trivialen Fall WSW: Man nimmt eine beliebig lange Hilfsseite H, zeichnet SWHW und nutzt anschließend Parallelverschiebung. Aus den gegebenen zwei Winkeln den dritten zu konstruieren [5], um auf WSW zurückzuführen, ist der längere Weg.
[5] Bei einer richtigen Konstruktion mit Zirkel und Lineal sind die Ausgangsgrößen zeichnerisch gegeben, müssen also allein mit Zirkel und einem Lineal ohne jede Markierung angetragen werden. Praktischerweise führt man Elementaroperationen nicht immer wieder durch und trägt die gegebenen Elemente auch mit Winkelmessern oder Zentimetermaßen an. Bedenklich aber wird es, wenn man sie zweimal anträgt oder gar Werte ausrechnet, was die Rückführung von SWW auf WSW als einfach erscheinen läßt.
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Der schlichte Sachverhalt, den es zu verstehen oder notfalls zu merken gilt, lautet: Von den drei Seiten und den drei Winkeln des Dreieckes reichen im allgemeinen drei Angaben aus, um daraus ein Dreieck zu konstruieren. In der Folge sind zwei Dreiecke, die in dreien dieser sechs Elemente (Seiten und Winkel) übereinstimmen, kongruent. Und wer zu dieser Einsicht gelangt ist, dem werden auch drei Kleinigkeiten einleuchten: Drei Winkel nützen nichts, weil jeweils zwei den dritten bestimmen, alle Größen müssen sich im gleichen Drehsinn entsprechen, und in einem Fall kann es zu Doppeldeutigkeiten kommen. So ausgestattet kann man sich auch auf einer einsamen Insel wieder alle vier Kongruenzsätze überlegen, ohne gleich mit Zweitnamen Archimedes zu heißen. Wahrscheinlich kommt man dann auf fünf statt vier Sätze und numeriert sie anders, doch an der Sache ändert sich dadurch nichts:
Ein Winkel fehlt immer. Die restlichen Elemente (drei Seiten und zwei Winkel) bezeichne ich in ihrer Reihenfolge mit SWSWS. Es gibt 5 über 3, also 10 Möglichkeiten, drei Elemente aus diesen fünfen auszuwählen:
Da man Dreiecke drehen und spiegeln [3] kann, reduzieren sich diese zehn Fälle auf fünf Typen. In lexikalischer Reihenfolge: SSS, SSW, SWS, SWW und WSW. Aber so sind sie in der Schule nicht numeriert. Dort heißen sie abgekürzt:S W S W S Typ # ------------------- S W S . . SWS 2 S W . W . SWW 3 S W . . S SSW 4 S . S W . SSW 4 S . S . S SSS 1 S . . W S SSW 4 . W S W . WSW 3 . W S . S SSW 4 . W . W S SWW 3 . . S W S SWS 2
Manchmal sind auch Typ 2 und 3 vertauscht. Andere versuchen, ein modernes Aussehen zu erreichen, indem alle W und S klein geschrieben werden und nur der vierte Typ mit Ssw bezeichnet wird. Die Zusammenfassung zweier Fälle (WSW und SWW) zu einem ist reine Willkür. Sie soll verdeutlichen, daß man aus zwei Winkeln den dritten konstruieren [5] kann, womit SWW auf WSW zurückgeführt ist. Am affengeilsten aber ist die Bezeichnung SsW, die verdeutlichen soll, daß am einen Eckpunkt der Seite s eine größere Seite S hängt und sich am anderen Eckpunkt der Winkel W befindet. Wäre S nicht größer als s, könnte es zwei Möglichkeiten geben, und die Kongruenz wäre dahin. Eigentlich das einzig Interessante an der ganzen Angelegenheit.1. SSS drei Seiten 2. SWS zwei Seiten mit gemeinsamen Winkel 3. WSW (und SWW) zwei Winkel mit gemeinsamer Seite [4] 4. SsW Spezialfall
[1] Auch ich erläutere hier die Kongruenzsätze nicht in Bildern oder durch leicht verständliche Worte, denn es geht hier nicht darum, sie zu erlernen und möglichst effektiv im Kleinhirn zu verankern, sondern um eine Kritik an ihrer Darstellung in der Schule, die mäßige Schüler abschreckt und von den mathematisch begabten ignoriert wird.
[2] Die Wikipedia listet SSS, WSW, SWS und SsW. Die Fälle SWW und WWS werden als aus WSW abgeleitet klassifiziert. Um SWW und WWS als nur einen Fall zu betrachten, muß lediglich die Spiegelung [3] bemüht werden. Die Rückführung auf WSW [4] aber ist reine Willkür.
[3] Es ist korrekt, sich zur Rückführung des Falles WWS auf SWW (und auch WsS auf SsW) sich beide Dreiecke gespiegelt zu denken, aber es ist nicht erlaubt, die Angaben im einen Dreieck links und in dem anderen rechts herum zu interpretieren, weil dann normalerweise keine Kongruenz mehr gegeben ist. Diese Tatsache wird auch gerne mit sprachlichen Zusätzen wie "entsprechende Seiten" berücksichtigt. Nur wird es dadurch nicht klarer.
[4] Die Zusammenfassung von WSW und SWW basiert darauf, daß die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad ist und bei zwei gegebenen Winkeln der dritte sich ergibt. Dieses Argument fortführend könnten die Kongruenzsätze 1 bis 3 auch zu einem einzigen zusammengefaßt werden. Aber mit den eigentlich fünf verschiedenen Fällen werden auch eigene Konstruktionsverfahren verbunden. Und das ist bei SWW schwerer und origineller als im trivialen Fall WSW: Man nimmt eine beliebig lange Hilfsseite H, zeichnet SWHW und nutzt anschließend Parallelverschiebung. Aus den gegebenen zwei Winkeln den dritten zu konstruieren [5], um auf WSW zurückzuführen, ist der längere Weg.
[5] Bei einer richtigen Konstruktion mit Zirkel und Lineal sind die Ausgangsgrößen zeichnerisch gegeben, müssen also allein mit Zirkel und einem Lineal ohne jede Markierung angetragen werden. Praktischerweise führt man Elementaroperationen nicht immer wieder durch und trägt die gegebenen Elemente auch mit Winkelmessern oder Zentimetermaßen an. Bedenklich aber wird es, wenn man sie zweimal anträgt oder gar Werte ausrechnet, was die Rückführung von SWW auf WSW als einfach erscheinen läßt.
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