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Ulam-Spirale
wuerg, 09.10.2005 15:57
So mancher hat vielleicht schon aus Langeweile die Zahlen auf kariertem Papier in der Form einer rechtwinkligen Spirale
In der Hauptdiagonalen stehen die grünen Rechteckzahlen Rₙ=n(n+1), anwechselnd vom Zentrum nach rechts oben und links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die roten Quadratzahlen an. Die geraden gehen auf der Nebendiagonalen nach links, die ungeraden um eine Position versetzt nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus. Sowohl die Rechteck- als auch die Quadratzahlen stehen an den Ecken der Spirale. [2]
Jede von einer Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also eine aufsteigende quadratische Progression. Zum Beispiel 4n²+12n+7 für die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,… Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als eine Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen, wenn auch selten so hartnäckig wie im Eulerschen Primpolynom n(n−1)+41.
[1] Ursprünglich hatte ich die die Ulam-Spirale in einer ordentlichen Tabelle dargestellt und die Primzahlen zur besseren Erkennung mit gelben Hintergrund versehen, doch zunächst fiel unter blogger.de bgcolor in Tabellenfeldern aus, später wurden Tabellen gänzlich unterdrückt. Zur Erinnerung hier eine HTML-Datei. Und wenn die den Erfordernissen moderner Browser nicht mehr genügt, ein PNG-Bild.
[2] Dieses Hin und Her macht deutlich, daß eine Spirale nicht die ideale Art und Weise ist, die Zahlen anzuordnen, um Reihungen zu erkennen.
[3] Wolfram Mathworld. Prime Spiral.
[4] T. Goddard: Ulam Spiral
41 | Primzahlkreuz
15--14--13--12
|
4---3---2 11
| | |
5 0---1 10
| |
6---7---9---9
aufgemalt. Auch Stanislav Ulam fand neben dem Bau der Wasserstoffbombe Zeit dazu. Und vielleicht war er wirklich der erste, der eine Klumpung der Primzahlen entlang der Diagonalen bemerkte, die ich im nachfolgenden Diagramm blau dargestellt habe. [1]99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 64 63 62 61 60 59 58 57 56 89 65 36 35 34 33 32 31 30 55 88 66 37 16 15 14 13 12 29 54 87 67 38 17 4 3 2 11 28 53 86 68 39 18 5 0 1 10 27 52 85 69 40 19 6 7 8 9 26 51 84 70 41 20 21 22 23 24 25 50 83 71 42 43 44 45 46 47 48 49 82 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81Ulam-Spirale, ungerade Primzahlen blau, Quadratzahlen rot, Rechteckzahlen grün (htm, png)
In der Hauptdiagonalen stehen die grünen Rechteckzahlen Rₙ=n(n+1), anwechselnd vom Zentrum nach rechts oben und links unten. Nicht ganz so schön ordnen sich die roten Quadratzahlen an. Die geraden gehen auf der Nebendiagonalen nach links, die ungeraden um eine Position versetzt nach rechts unten etwas versetzt von der 1 aus. Sowohl die Rechteck- als auch die Quadratzahlen stehen an den Ecken der Spirale. [2]
Jede von einer Zahl a nach außen weisende Diagonale besteht aus Zahlen 2n(2n+b)+a, ist also eine aufsteigende quadratische Progression. Zum Beispiel 4n²+12n+7 für die nach rechts unten weisende Folge 7,23,47,79,… Die recht langen Strecken von diagonal liegenden Primzahlen sind also nichts anderes als eine Veranschaulichung der Tatsache, daß in quadratischen Progressionen Primzahlen offensichtlich leichter aufeinander folgen als in linearen, wenn auch selten so hartnäckig wie im Eulerschen Primpolynom n(n−1)+41.
[1] Ursprünglich hatte ich die die Ulam-Spirale in einer ordentlichen Tabelle dargestellt und die Primzahlen zur besseren Erkennung mit gelben Hintergrund versehen, doch zunächst fiel unter blogger.de bgcolor in Tabellenfeldern aus, später wurden Tabellen gänzlich unterdrückt. Zur Erinnerung hier eine HTML-Datei. Und wenn die den Erfordernissen moderner Browser nicht mehr genügt, ein PNG-Bild.
[2] Dieses Hin und Her macht deutlich, daß eine Spirale nicht die ideale Art und Weise ist, die Zahlen anzuordnen, um Reihungen zu erkennen.
[3] Wolfram Mathworld. Prime Spiral.
[4] T. Goddard: Ulam Spiral
41 | Primzahlkreuz
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