Zahlwort

Die Zahl 21 ist kaum interessanter als 20. Sie ist die kleinste Zahl, deren Sprech­weise der Zwanzig­eins-​Verein ändern möchte. Wir leben im 21. Jahr­hundert. Mit 21 Jahren wurde man früher voll­jährig, wenn drei der zwölf Lebens­abschnitte zu sieben Jahren vorüber waren. Was war eigent­lich der Grund für die Herab­setzung auf 18? Wohl nicht die früher eintre­tende sitt­liche Reife. Eher die Möglich­keit, im Kriegs­fall eigen­verant­wort­lich auf andere schießen zu dürfen. Das mag nur die halbe Wahr­heit sein, denn die volle ist 42.

Die 21 ist eine Fibo­nacci-Zahl. Und wegen 1+2+3+​4+​5+6=21 die sechste Drei­ecks­zahl. Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Sei­ten ergibt das eine mitt­lere Augen­zahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Wür­feln am wahr­schein­lich­sten. Nicht so inter­essant ist 1+7+13=21 als dritte Acht­eck­zahl. [1]

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Dreieck, Achteckzahl als Stern, Augenzahlen des Würfels (png)

Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Prim­zahl ist. Uner­wähnt läßt er die eben­falls ziffern­ver­tauscht­en Quad­rate 441 und 144 mit der Quer­summe 9, dem Quadrat der Quer­summe von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzig­keit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Qua­drate, das sich aus verschie­den großen klei­neren Qua­draten zusam­men­setzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamt­qua­drat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwis­senden Müll­halde nach der Spaß­bezeich­nung Qua­dratur des Qua­drates. Auch die 21 Schlips­knoten mit genau acht Schlä­gen will ich hier nicht auf­füh­ren. [2] Nicht zufäl­lig sind es auch 21 mit weni­ger als acht.

Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite unge­rade quadrat­freie Semi­prim­zahl. Sie ist somit auch fermat­sche Pseudo­prim­zahl. Zum Nach­weis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=−1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermat­sche auch eine euler­sche Pseudo­prim­zahl ist, muß sogar a^((n−1)∕2)=±1 mod n für ein a=​2,3,…,n−1 gelten. [4] Für n=15 ist das nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kan­dida­ten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist da­mit 21 die kleinste euler­sche Pseudo­prim­zahl. [3]

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Fibonacci-Zahlen A000045, Dreiecks­zahlen A000217, Achteck­zahlen A000567.

[2] Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe, Hamburg, 2000.

[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Euler­sche Pseu­do­prim­zahlen A181781.

[4] Ich habe nicht a^(n−1)/2 statt a^((n−1)/2) geschrie­ben, da echte Hoch­stel­lung den Zeilen­abstand versaut und der Divi­sions­strich nicht als hoch­gestell­tes Zeichen zur Verfü­gung steht. Ersetzt durch ein Silben­zeichen kana­discher Urein­wohner sieht es saumäßig aus: a⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ².

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