Reihe
wuerg, 19.06.2005 01:25
Ich nenne Zahlenfolgen normalerweise nicht Sequenz oder Serie, nur unter gewissen Umständen Progression und niemals Reihe. Doch ist der Sprachgebrauch schwankend. Mit Wörtern wie series, sequence, progression auch der englische. Das führt gelegentlich zu Verwirrungen, doch dient die Vielfalt der Bezeichnungen eigentlich nur der Einordnung oder Bedeutung für den Menschen, mathematische Inhalte ändern sich dadurch nicht.
Hardy und Wright überschreiben mehrere Kapitel ihres berühmten Zahlentheorie-Buches [1] mit „The Series of Primes“, darunter auch ein Abschnitt „The sequence of primes“. Sie unterscheiden also zwischen einer aufzählenden Abfolge (sequence) und der Gesamtheit (series), womit jedoch nicht einfach die Menge der Primzahlen (set of primes) gemeint ist. Die Übersetzungen sind für mich nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series), denn diese Wörter erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-Sequenz oder eine Gewinn-Serie.
Von einer Reihe sollte man im Zusammenhang mit Folgen nur sprechen, wenn man nicht nur die einzelnen Folgeglieder aufzählt, sondern sie irgendwie verbindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihenbildunden, viele haben einen eigenen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die naheliegendste Verknüpfung ist die Addition wie in
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …
Das ist die harmonische Reihe. Diese Bezeichnung soll verdeutlichen, daß es nicht einfach nur um die Folge der Summanden oder die Partialsummen geht, sondern um ein irgendwie geartetes Gesamtkunstwerk. Vielleicht kann man sich die Unterschiede wie folgt verdeutlichen:
Reihen erfreuen sich aus mindestens zwei Gründen einer großen Beliebtheit und füllen wie Integrale viele Seiten von Formelsammlungen. Zum einen hat man oftmals die Glieder einer unendlichen Folge zu addieren, bildet also eine Reihe. Zum anderen gestattet eine Reihendarstellung eines Grenzwertes dessen näherungsweise Berechnung. Im vorangehenden Beispiel ist es zwar interessant, die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umgekehrte Betrachtung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist jedoch von wenig Nutzen, zumal keiner zur Näherung der Zahl 2 diese Reihe benötigt. Für andere Zahlen wie die Eulersche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerlegung wie
[1] Hardy, Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, London, 4. Auflage, 1968.
Summenfolge | Serienmörder
Hardy und Wright überschreiben mehrere Kapitel ihres berühmten Zahlentheorie-Buches [1] mit „The Series of Primes“, darunter auch ein Abschnitt „The sequence of primes“. Sie unterscheiden also zwischen einer aufzählenden Abfolge (sequence) und der Gesamtheit (series), womit jedoch nicht einfach die Menge der Primzahlen (set of primes) gemeint ist. Die Übersetzungen sind für mich nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series), denn diese Wörter erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-Sequenz oder eine Gewinn-Serie.
Von einer Reihe sollte man im Zusammenhang mit Folgen nur sprechen, wenn man nicht nur die einzelnen Folgeglieder aufzählt, sondern sie irgendwie verbindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihenbildunden, viele haben einen eigenen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die naheliegendste Verknüpfung ist die Addition wie in
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …
Das ist die harmonische Reihe. Diese Bezeichnung soll verdeutlichen, daß es nicht einfach nur um die Folge der Summanden oder die Partialsummen geht, sondern um ein irgendwie geartetes Gesamtkunstwerk. Vielleicht kann man sich die Unterschiede wie folgt verdeutlichen:
Folge a: a1,a2,a3,a4,... 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... Partialsummen s: s1,s2,s3,s4,... 1, 3/2, 7/4, 15/8, 31/16, ... → 2 Reihe R: a1+a2+a3+a4+... 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2Zu jeder Zahlenfolge a kann man eine Summenfolge s (Folge der Partialsummen) und auch eine Reihe R bilden. Wenn die Summenfolge gegen einen Grenzwert (hier 2) konvergiert, heißt er auch einfach Wert der Reihe. Der Grenzwert der Ausgangsfolge a interessiert nicht, zumal er bei konvergierender Reihe so und so 0 ist. Läge der Schwerpunkt des Interesses auf der Folge a und betrachtete man die zugehörige Reihe R nur nebenbei oder gar nicht, würde ich sie schlicht und ergreifend Summenfolge nennen. Reihe ist sozusagen ein Ehrentitel.
Reihen erfreuen sich aus mindestens zwei Gründen einer großen Beliebtheit und füllen wie Integrale viele Seiten von Formelsammlungen. Zum einen hat man oftmals die Glieder einer unendlichen Folge zu addieren, bildet also eine Reihe. Zum anderen gestattet eine Reihendarstellung eines Grenzwertes dessen näherungsweise Berechnung. Im vorangehenden Beispiel ist es zwar interessant, die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umgekehrte Betrachtung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist jedoch von wenig Nutzen, zumal keiner zur Näherung der Zahl 2 diese Reihe benötigt. Für andere Zahlen wie die Eulersche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerlegung wie
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + ... = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + ...von mehr Interesse und könnte der näherungsweisen Berechnung der Zahl e dienen. Für π gibt es ebenfalls eine Unzahl solcher Reihendarstellungen, und viele Menschenleben sind allein in das Bemühen geflossen, immer schneller konvergierende Reihen zu finden, um möglichst schnell möglichst viele Stellen von π berechnen zu können.
[1] Hardy, Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, London, 4. Auflage, 1968.
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