Kongruenzsätze
wuerg, 03.02.2007 20:47
Da die Schüler der achten Klasse angesichts des Viereckes natürlich vom Dreieck nichts mehr wußten, wurden ihnen zur häuslichen Auffrischung die vier Kongruenzsätze für Dreiecke diktiert. Ich wüßte gerne, was das soll. Einmal abgesehen davon, daß meine Tochter nach Gehör Konkruents geschrieben hatte, ist es genau der falsche Weg, diese Sätze in einer verqueren Schulsprache aufzuschreiben, wenn man sie lernen, verstehen oder anwenden will [1]. Wer es nicht glaubt, der sehe sie sich in der Wikipedia [2] an, wo sie noch recht schlicht formuliert sind. Der Königsweg zeigt genau in die entgegengesetzte Richtung: Man verinnerlicht den simplen Sachverhalt und kann ohne Nomenklaturkurs sofort alles anwenden. Doch in der Schule gilt es, die Sätze korrekt numeriert und erwartungskonform niederzuschreiben.
Wegen der bis auf Kongruenz (Verschiebung, Drehung und Spiegelung) drei Freiheitsgrade, reichen drei unabhängige Angaben aus, um unter allen Dreicken eine endliche Anzahl auszusondern. Sie sind auch erforderlich. Sind nur Seitenlängen und bis zu zwei Winkel gegeben, sind im allgemeinen alle zugehörigen Dreiecke kongruent. Dann darf man die Lösung eindeutig nennen. Daraus Kongruenzsätze zu machen, ist recht albern. Es reicht zu beachten, daß nur in seltenen Fällen inkongruente Lösungen existieren. Und wer mehr an allgemeinen Erkenntnissen interessiert ist, sollte sich eher merken: Gibt es kein Dreieck zu den Vorgaben, so sind natürlich alle Lösungen kongruent.
Die Kongruenzsätze sind auch deshalb von geringer Bedeutung, weil man mehr sagen kann: Alle die drei Seiten- und Winkelangaben erfüllenden Dreiecke sind nicht nur kongruent, sie sind sogar ohne Geodreieck, Maßband und Computer aus zeichnerisch vorgegebenen Strecken und Winkeln allein mit Zirkel und Lineal bis auf Verschiebung, Drehung und Spiegelung eindeutig konstruierbar. Auch von zwei spiegelbildlichen Lösungen scheidet eine aus, sofern genauer spezifiziert ist, in welcher Drehrichtung die Seiten und Winkel zu sehen sind.
Weil die Dreiecke zu den Vorgaben also nicht nur an sich existieren, sondern mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, sollte meines Erachtens die Konstruktion im Vordergrund stehen, nicht ein sich daraus trivalerweise ableitbarer Satz. Deshalb war ich schon versucht, die Überschrift in „Dreieckskonstruktionen“ zu ändern, habe aber „Kongruenzsätze“ belassen, weil in Schule und Wikipedia [2] alles unter diesem mathematische Weisheit vortäuschenden Begriff läuft.
Weil man aus zwei Winkeln den dritten bilden kann, fehlt unter den drei Vorgaben immer einer. Für die restlichen Elemente (drei Seiten und zwei Winkel) gibt es 10 Möglichkeiten, drei aus diesen fünfen auszuwählen:
[1] Auch ich erläutere die Kongruenzsätze nicht in Bildern oder durch leicht verständliche Worte, denn es geht hier nicht darum, sie zu erlernen und möglichst effektiv im Kleinhirn zu verankern, sondern um eine Kritik an ihrer Darstellung in der Schule, die mäßige Schüler abschreckt und den mathematisch begabten nichts bringt.
[2] Wikipedia. Unter Kongruenzsatz werden der SSS-, der SWS-, der WSW- und der SSW‑Satz als erster bis vierter Kongruenzsatz numeriert. Ein SWW‑Satz ist erwähnt, aber keiner Nummer für wert erachtet. Bewiesen werden sie durch die ‚eindeutige‘ Konstruierbarkeit, doch gibt es keinen Artikel zur Dreieckskonstruktion.
[3] Bei Dreieckskonstruktionen in der Schule ist von zwei gespiegelten Lösungen zumeist nur eine richtig. Um diese Eindeutigkeit zu erlangen, sind den Drehsinn festlegende Angaben erforderlich. Am einfachsten durch Benennung der gegebenen Seiten (a,b,c) und Winkel (α,β,γ) im positien Drehsinn (links herum, gegen den Uhrzeigersinn).
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Wegen der bis auf Kongruenz (Verschiebung, Drehung und Spiegelung) drei Freiheitsgrade, reichen drei unabhängige Angaben aus, um unter allen Dreicken eine endliche Anzahl auszusondern. Sie sind auch erforderlich. Sind nur Seitenlängen und bis zu zwei Winkel gegeben, sind im allgemeinen alle zugehörigen Dreiecke kongruent. Dann darf man die Lösung eindeutig nennen. Daraus Kongruenzsätze zu machen, ist recht albern. Es reicht zu beachten, daß nur in seltenen Fällen inkongruente Lösungen existieren. Und wer mehr an allgemeinen Erkenntnissen interessiert ist, sollte sich eher merken: Gibt es kein Dreieck zu den Vorgaben, so sind natürlich alle Lösungen kongruent.
Die Kongruenzsätze sind auch deshalb von geringer Bedeutung, weil man mehr sagen kann: Alle die drei Seiten- und Winkelangaben erfüllenden Dreiecke sind nicht nur kongruent, sie sind sogar ohne Geodreieck, Maßband und Computer aus zeichnerisch vorgegebenen Strecken und Winkeln allein mit Zirkel und Lineal bis auf Verschiebung, Drehung und Spiegelung eindeutig konstruierbar. Auch von zwei spiegelbildlichen Lösungen scheidet eine aus, sofern genauer spezifiziert ist, in welcher Drehrichtung die Seiten und Winkel zu sehen sind.
Weil die Dreiecke zu den Vorgaben also nicht nur an sich existieren, sondern mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, sollte meines Erachtens die Konstruktion im Vordergrund stehen, nicht ein sich daraus trivalerweise ableitbarer Satz. Deshalb war ich schon versucht, die Überschrift in „Dreieckskonstruktionen“ zu ändern, habe aber „Kongruenzsätze“ belassen, weil in Schule und Wikipedia [2] alles unter diesem mathematische Weisheit vortäuschenden Begriff läuft.
Weil man aus zwei Winkeln den dritten bilden kann, fehlt unter den drei Vorgaben immer einer. Für die restlichen Elemente (drei Seiten und zwei Winkel) gibt es 10 Möglichkeiten, drei aus diesen fünfen auszuwählen:
S W S W S Typ # S W S . . SWS 2 S W . W . SWW - S W . . S SSW 4 S . S W . SSW 4 S . S . S SSS 1 S . . W S SSW 4 . W S W . WSW 3 . W S . S SSW 4 . W . W S SWW - . . S W S SWS 2Da man Dreiecke drehen und spiegeln [3] kann, reduzieren sich diese zehn Fälle auf fünf Typen. Vier haben eine Nummer, SWW nicht, weil man aus den gegebenen zwei Winkel, den dritten bilden kann und SWW so in WSW übergeführt wird. Es bleiben also nur vier Fälle, aus denen die vier Kongruenzsätze gezimmert sind:
1. SSS alle drei Seiten gegeben 2. SWS zwei Seiten mit gemeinsamen Winkel 3. WSW zwei Winkel mit gemeinsamer Seite 4. SSW zwei Seiten mit nicht gemeinsamen WinkelManche versuchen, ein modernes Aussehen zu erreichen, indem alle W und S klein geschrieben werden. Und der vierte Fall SSW wird oftmals auch mit SsW, Ssw oder noch abartiger bezeichnt, um anzudeuten, daß die dem Winkel W gegenüberliegende Seite S größer sein soll als die dem Winkel anliegende s, um Mehrdeutigkeit auszuschließen und so Kongruenz für den vierten Satz zu erzwingen. Das ist das einzig Interessante an den Sätzen und Konstruktionen. Natürlich ist es in allen Fällen auch möglich, daß es keine Lösung gibt oder das Dreieck entartet ist und nicht als solches akzeptiert wird. Das macht den zugehörigen Kongruenzsatz aber nicht ungültig.
[1] Auch ich erläutere die Kongruenzsätze nicht in Bildern oder durch leicht verständliche Worte, denn es geht hier nicht darum, sie zu erlernen und möglichst effektiv im Kleinhirn zu verankern, sondern um eine Kritik an ihrer Darstellung in der Schule, die mäßige Schüler abschreckt und den mathematisch begabten nichts bringt.
[2] Wikipedia. Unter Kongruenzsatz werden der SSS-, der SWS-, der WSW- und der SSW‑Satz als erster bis vierter Kongruenzsatz numeriert. Ein SWW‑Satz ist erwähnt, aber keiner Nummer für wert erachtet. Bewiesen werden sie durch die ‚eindeutige‘ Konstruierbarkeit, doch gibt es keinen Artikel zur Dreieckskonstruktion.
[3] Bei Dreieckskonstruktionen in der Schule ist von zwei gespiegelten Lösungen zumeist nur eine richtig. Um diese Eindeutigkeit zu erlangen, sind den Drehsinn festlegende Angaben erforderlich. Am einfachsten durch Benennung der gegebenen Seiten (a,b,c) und Winkel (α,β,γ) im positien Drehsinn (links herum, gegen den Uhrzeigersinn).
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