319
wuerg, 19.03.2008 20:37
Fast alle Zahlen lassen sich als Summe von 16 oder weniger Biquadraten darstellen. Nur endlich viele benötigen mehr Summanden, sieben davon die Höchstzahl von 19. Die Zahl 319 ist eine von ihnen, und zwar die kleinste, die auf zweifache Art zerlegt werden kann.
Palett 1, 16, 81, 256, 625, … der vierten Potenzen ansieht, erkennt man, daß für Zahlen bis 80 die hexadezimale Quersumme die Zahl der erforderlichen Summanden angibt. Das Maximum wird offensichtlich bei 79 (hexadezima 4F) mit der Quersumme 4+15=19 (hexadezimal 4+F=13) erreicht, alle anderen gehen mit weniger Summanden.
Enthält eine Zerlegung der Zahl n einen Summanden 1, kann diese 1 gegen 81 ausgetauscht werden, um eine gleich lange Zerlegung derZahl 80+n zu erhalten. Es verwundert deshalb nicht, die Zahlen mit der maximalen Summandenzahl in der Reihe 79, 159, 239, 319, … zu finden.
256+1+1+1 gegen 81+81+81+16. Bei 559 kann man das auch zweimal machen, womit sich eine dritte Zerlegung ergibt:
559+80=639 der Reihe sich einfach als 625+14·1 schreiben läßt. Man kann die Überprüfung auch sehr großer Zahlen natürlich einem Computer überlassen, doch am Nachweis, daß es auch in weiter Ferne keine Zahl mit 19 erforderlichen Summanden gibt, beißen sich die heutigen Rechner noch die Zähne aus, weil sie wie die Praktiker gut arbeiten, doch leider noch nicht wie die Theoretiker gut denken können.
[1] A046050
319 = 256+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 319 = 81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1Wenn man sich die
Enthält eine Zerlegung der Zahl n einen Summanden 1, kann diese 1 gegen 81 ausgetauscht werden, um eine gleich lange Zerlegung der
79 = 4·16 + 15·1 159 = 81 + 4·16 + 14·1 239 = 2·81 + 4·16 + 13·1 319 = 3·81 + 4·16 + 12·1 399 = 4·81 + 4·16 + 11·1 479 = 5·81 + 4·16 + 10·1 559 = 6·81 + 4·16 + 9·1Mit 256 kommt ein viertes Biquadrat ins Spiel, das ab 319 eine zweite Zerlegung gestattet:
319 = 256 + 3·16 + 15·1 399 = 256 + 81 + 3·16 + 14·1 479 = 256 + 2·81 + 3·16 + 13·1 559 = 256 + 3·81 + 3·16 + 12·1Wieder erkennt man in dieser Viererreihe den Austausch einer 1 gegen eine 81. Vergleicht man dagegen die jeweils zwei Zerlegungen der Zahlen 319, 399, 479 und 559, sieht man einen Austausch von
559 = 2·256 + 2·16 + 15·1Leicht überlegt man sich, daß es keine weiteren und vor allem keine kürzeren Darstellungen der sieben Zahlen 79, 159, 239, 319, 399, 479 und 559 gibt und daß alle Zahlen unterhalb des nächsten Biquadrates 625 kürzere Zerlegungen haben, insbesondere das nächste Glied
[1] A046050
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wuerg,
20.03.2008 23:05
Die dritte Potenz von 319 lautet 32461759 und ist die größte Kubikzahl mit lauter verschiedenen Ziffern. Ich hätte durchaus eine größere erwartet, weil die dritte Wurzel aus 9876543210 mit 2145 die 319 doch deutlich übersteigt. Auf der anderen Seite liegen sowohl die Kubikzahlen als auch die Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern recht dünn.
Von den 9 Milliarden zehnstelligen Zahlen weisen nur9·9!=3.265.920 zehn verschiedene Ziffern auf. Die Wahrscheinlichkeit, eine von ihnen mit einer der 1154 Kubikzahlen aus diesen Bereich zu treffen ist:
9·9!=3.265.920 verschiedene Ziffern. Die Wahrscheinlichkeit, von einer der 536 Kubikzahlen aus diesem Bereich getroffen zu werden, liegt bei:
von 1, 2, 3 und 4.
[1] A129525
Von den 9 Milliarden zehnstelligen Zahlen weisen nur
1 – (1-3.265.920/9.000.000)1154 = 34%Auch von den 900 Millionen neunstelligen Zahlen haben
1 – (1-3.265.920/900.000)536 = 86%Damit ist es schon ein bescheidenes Glück für die Zahl 319, daß es keine größere gibt, deren dritte Potenz lauter verschiedene Ziffern aufweist. Man erkennt es auch daran, daß unmittelbar vor 319 gleich drei Treffer erzielt werden:
2893 = 24137569 2973 = 26198073 3023 = 27543608 3193 = 32461759Unter denen fällt die Quadratzahl 289 auf, weshalb die sechste Potenz von 17 ebenfalls lauter verschiedene Ziffern aufweist. Sie ist offensichtlich die größte mit diesen Eigenschaft. Und neben der 17 gibt es nur noch die uninteressanten sechsten Potenzen
[1] A129525
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gorillaschnitzel,
06.04.2008 23:40
Ich bin ganz ehrlich beeindruckt....
Nur noch mal für mein Verständnis: Es gibt nur diese 7 Zahlen und drüberhinaus keine weiteren mehr? Ist das ausgeschlossen?
Nur noch mal für mein Verständnis: Es gibt nur diese 7 Zahlen und drüberhinaus keine weiteren mehr? Ist das ausgeschlossen?
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wuerg,
06.04.2008 23:48
Nein, es gibt mehr, doch 319 hoch 3 ist die größte unter ihnen. Die übrigen sehen Sie unter dem angegebenen Link. Hier ist er nochmal:
[1] A129525
[1] A129525
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wuerg,
15.04.2008 00:30
Zerlegt man eine Zahl in lauter verschiedene Primsummanden und multipliziert diese
Produkt x·y auf keinen Fall kleiner als die Summe x+y.
x=2 und y=7 wäre das nicht gegangen, weil 2+7=9 keine Primzahl ist. Und darin liegt die Chance, daß irgendwann bei einer Zahl deutlich über 20 tatsächlich das maximale Produkt nicht mit der maximalen Zahl der Summanden erreicht wird. Ich habe es nachgeprüft. Es ist erstmalig bei der Zahl 319 der Fall:
Wie bereits erläutert, funktioniert es nicht, zwei Summanden gegen einen zu tauschen. Mit drei gegen zwei aber geht es. Hier sind es 2, 7 und 53 gegen 19 und 43. Im wesentlichen werden die beiden Summanden 2 und 7 mit Produkt 14 gegen einen einzigen größeren 19 getauscht. Die Differenz von19-(2+7)=10 wird zwischen den beiden großen Zahlen 43 und 53 ausgeglichen, die sich zwar um einen erheblichen Betrag, doch nur um wenige Prozente unterscheiden:
[1] A053020
20 = 2+7+11 2·7·11 = 154 20 = 2+5+13 2·5·13 = 130 20 = 7+13 7·13 = 91 20 = 3+17 3·17 = 51so erwartet man das größte Produkt bei einer Zerlegung in maximal viele Summanden. Diese Erwartung hat einen einfachen Grund: Sind x und y mindestens 2, so ist das
20 = 2+5+13 2·5·13 = 130 20 = 7 +13 7 ·13 = 91 x=2 y=5 x·y=10 > 7=x+yMit
319 = 2+3+5+7+11+13+17 +23+29+31+37+41 +47+53
2·3·5·7·11·13·17 ·23·29·31·37·41 ·47·53 ≈ 168·1036
319 = 3+5 +11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47
3·5 ·11·13·17·19·23·29·31·37·41·43·47 ≈ 209·1036
Die obere Zerlegung hat die maximale Anzahl von 14 Primsummanden und unter diesen das größte Produkt, doch die untere Zerlung übersteigt dieses Produkt, obwohl es einen Summanden weniger aufweist. Sie liegen weniger gespreizt.Wie bereits erläutert, funktioniert es nicht, zwei Summanden gegen einen zu tauschen. Mit drei gegen zwei aber geht es. Hier sind es 2, 7 und 53 gegen 19 und 43. Im wesentlichen werden die beiden Summanden 2 und 7 mit Produkt 14 gegen einen einzigen größeren 19 getauscht. Die Differenz von
2 · 7 · 53 = 14 · 53 = 742
19 · 43 = 817
Das verdeutlicht, warum das Phänomen erst bei großen Zahlen zu beobachten ist. Es kommt überhaupt nur vor, weil die Summanden nicht frei gegeneinander austauschbar sind, da sie ja allesamt prim sein müssen.[1] A053020
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wuerg,
22.04.2008 21:41
Ich bin mit einem Programm einfach alle möglichen Zerlegungen der Zahlen von 1 bis 999 in Primzahlsummen durchgegangen, um die mit maximalem Produkt aufzulisten. Erfreulicherweise fand ich genau die Zahlen 319, 372, 492, 703, 865 und 954 als die einzigen, bei denen die Zerlegung mit dem maximalen Produkt nicht zugleich eine mit maximaler Summandenanzahl ist. Bis 319 benötigte dieses Programm nur 5 Minuten, danach aber wurde es naturgemäß langsam und erreichte erst nach zehn Stunden die 999. Um in absehbarer Zeit weiter vorzustoßen, müssen die 99,9 Prozent offensichtlich bedeutungsloser Fälle ausgelassen werden. Doch ein solches Programm werde ich nicht mehr realisieren. Vielmehr möchte ich lieber mir und anderen Interessierten erläutern, warum es gerade bei 319, 372 usw. zu dieser Besonderheit kommt.
Die optimale Zerlegung der SummeΣ(n)=p(1)+...+p(n) der ersten n Primzahlen ist klar. Für die übrigen Zahlen m=Σ(n)-k kommt es im wesentlichen darauf an, um welchen Betrag k=1,2,...,p(n)-1 sie hinter Σ(n) zurückfallen. Ist k eine Primzahl, so entfällt einfach der zugehörige Summand k. Übersteigt k eine Primzahl um 3, so entfallen die Summanden 3 und k-3. Zum Beispiel:
k=12,18,24,28,30,36,... sind keine guten Kandidaten für die gesuchte Besonderheit, weil sie bereits zwei Summanden nachlassen mußten. Es verbleiben die zusammengesetzten ungeraden Zahlen k=1,9,15,21,25,27,..., für die ein Summand oberhalb von k zu entfernen ist. Im Falle k=9 sieht das wie folgt aus:
n-1 Summanden, es wurde also gegenüber Σ(n) nur einer nachgelassen. Einer Zerlegung mit noch einem Summanden weniger muß die 2 fehlen, dazu noch eine sehr kleine Primzahl p, auf daß 2p nicht die Zahl übersteigt, die in obiger Aufstellung vor "weg" steht. Da p+2 keine Primzahl sein darf, weil andernfalls mit Gewinn 2 und p wieder hinzugenommen und im Gegenzuge p+2 entfernt werden könnte, ist p=7 das Minumum. Damit scheiden aus obiger Aufstellung n=9,8,10 aus, weil der weggelassene Summand 11 kleiner als 2·7=14 ist. Aber auch die 17 aus den anderen beiden Fällen n=9 und n=11 reicht nicht aus, obgleich im Falle n=11 nicht mehr viel fehlt:
2·7=14, doch nicht so sehr, daß die Verschiebung der 29 auf die 37 unbeachtet bleiben kann. Und tatsächlich bleibt 17·29=493 noch knapp hinter 14·37=518 zurück. Doch muß deshalb die Hoffnung nicht aufgegeben werden, da mit größer werdenden Zahlen eine ausgleichende Verschiebung der großen Summanden immer weniger ins Gewicht fällt. Außerdem wird es zunehmend vorkommen, daß Summanden 11 und 13, ja sogar 17 und mehr nicht weglaßbar sind, weil wachsende Primzahllücken keine ausgleichende Verschiebung zulassen. So muß man nicht lange suchen:
19·43=817 ist deutlich größer als 2·7·53=742.
Die Zahl 319 gewinnt den Wettbewerb um die kleinste Zahl, bei der das größte Produkt einer Zerlegung in verschiedene Primsummanden nicht auch die höchste Anzahl aufweist, weil sie von der Form Σ(n)-9 ist und es wegen der Primzahllage um 47 herum nicht möglich ist, statt der 19 die 17, die 13 oder gar die 11 wegzulassen.
Nach 319=Σ(15)-9 sind alle Zahlen Σ(n)-9 genau dann solche Ausnahmen, wenn der Abstand von p(n) zur nächsten Primzahl mindestens 6 beträgt. Ist er nur 2 oder 4, kann9+2=11 bzw. 9+4=13 weggelassen werden, was immer günstiger ist als 2 und 7. Ist der Abstand dagegen 6 oder größer, sind nur Primzahlen ab 9+6=15 weglaßbar. Die kleinste ist 17, die deutlich über 14 liegt. Der Vorteil von mindestens 17/14 wird für n>12 auch nicht mehr von den Ausgleichsverschiebungen aufgefressen.
Σ(n)-15.
Die optimale Zerlegung der Summe
160= =2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31 11 Summanden 137=160-23 =2+3+5+7+11+13+17+19 +29+31 10 Summanden 140=160-(17+3)=2 +5+7+11+13 +19+23+29+31 9 SummandenDie verbleibenden geraden
n m=Σ(n)-9 wird so zerlegt so entsteht m aus Σ(n) 7 49=2+3+5+7 +13 +19 11 weg, 19 statt 17 8 68=2+3+5+7+11 +17 +23 13 weg, 23 statt 19 9 91=2+3+5+7+11+13 +19 +31 17 weg, 31 statt 23 10 120=2+3+5+7 +13+17+19+23 +31 11 weg, 31 statt 29 11 151=2+3+5+7+11+13 +19+23 +31+37 17 weg, 37 statt 29In allen Fällen sind es
151=2+3+5+7+11+13 +19+23 +31+37 Produkt 15052207170 151= 3+5 +11+13+17+19+23+29+31 Produkt 14325749295Zwar ist 17 größer als
319=2+3+5+7+11+13+17 +23+29+31+37+41 +47+53 319= 3+5 +11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47Das Produkt der optimalen, dennoch zerfledderten Zerlegung in 14 Summanden ist kleiner als das der kompakten in nur 13 Summanden, denn das Produkt der fehlenden Glieder
Die Zahl 319 gewinnt den Wettbewerb um die kleinste Zahl, bei der das größte Produkt einer Zerlegung in verschiedene Primsummanden nicht auch die höchste Anzahl aufweist, weil sie von der Form Σ(n)-9 ist und es wegen der Primzahllage um 47 herum nicht möglich ist, statt der 19 die 17, die 13 oder gar die 11 wegzulassen.
Nach 319=Σ(15)-9 sind alle Zahlen Σ(n)-9 genau dann solche Ausnahmen, wenn der Abstand von p(n) zur nächsten Primzahl mindestens 6 beträgt. Ist er nur 2 oder 4, kann
n p(n) p(n+1) Σ(n)-9 15 47 53 319 16 53 59 372 18 61 67 492 21 73 79 703 23 83 89 865 24 89 97 954 30 113 127 1584 32 131 137 1842 34 139 149 2118 36 151 157 2418 37 157 163 2575 39 167 173 2905 40 173 179 3078Tatsächlich entsprechen die acht kleinsten Zahlen, die das maximale Produkt nicht bei der maximalen Summandenzahl annehmen, den ersten acht der vorstehenden Übersicht. Die neunte ist 2112 vom Typ
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