MVS
wuerg, 22.03.2006 00:57
Zwei reelle Zahlen sind entweder gleich oder unterscheiden sich um einen Betrag, der größer als 0 ist. Den kleinsten Unterschied zweier solcher Zahlen nennt Peter Augustin die Mindestverschiedenheit, abgekürzt mit MVS. Sie ist kleiner als alle vorstellbaren postiven Zahlen und wird definiert durch
MVS = 1 − 0,999999999…
Für diese Mindestverschiedenheit gelten Rechenregeln wie
MVS ⋅ MVS = MVS und (1±MVS) ⋅ (1+MVS) = 1±MVS
Dieser kleinsten positiven Zahl zur Seite gesellt sich das von Peter Augustin mit ¥ bezeichnete Unendliche. Zusammen gelten die Formeln:
1/MVS = ¥ und (1±MVS)¥ = e±1
Letzteres ‚überprüft‘ man leicht mit einem Taschenrechner
Es ist schon erstaunlich, was man alles schreiben kann, wenn man sich auch von Gauß nichts verbieten läßt. Dabei ist die Grundidee der Einführung einer unendlich kleinen Größe gar nicht dumm. Wer kennt denn nicht aus der Schule das berühmte dx? Auch ist es nicht verboten, die oben aufgeführten Rechenregeln zu definieren. Nur was hat man davon? Vor allem von der Behauptung, 1 und 0,999999… seien verschiedene Zahlen? Einen Zuwachs an Merkwürdigkeiten, auf denen man sein Gebäude aus Hohlräumen und Querverstrebungen immer höher errichten kann!
Mein erstes Gefühl beim Lesen der Darlegungen von Peter Augustin im Internet war, möglicherweise einem Spaßvogel auf den Leim zu gehen, zumal er an vielen Stellen durchaus Humor beweist. Doch die Breite seiner Ausführungen, das Auftreten mit Bild im Internet, sein hohes Alter, die bissigen Bemerkungen über Mathematiker und sein Interesse an dichtem Wasser lassen mich glauben, daß er von allem zutiefst überzeugt ist.
[1] Peter Augustin: Anhang C ‒ Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
MVS = 1 − 0,999999999…
Für diese Mindestverschiedenheit gelten Rechenregeln wie
MVS ⋅ MVS = MVS und (1±MVS) ⋅ (1+MVS) = 1±MVS
Dieser kleinsten positiven Zahl zur Seite gesellt sich das von Peter Augustin mit ¥ bezeichnete Unendliche. Zusammen gelten die Formeln:
1/MVS = ¥ und (1±MVS)¥ = e±1
Letzteres ‚überprüft‘ man leicht mit einem Taschenrechner
0,1 1,1 hoch 10 = 2,593742 0,9 hoch 10 = 0,348678 0,01 1,01 hoch 100 = 2,704814 0,99 hoch 100 = 0,366032 0,001 1,001 hoch 1000 = 2,716924 0,999 hoch 1000 = 0,367695 0,0001 1,0001 hoch 10000 = 2,718146 0,9999 hoch 10000 = 0,367861 MVS 1+MVS hoch ¥ = e = 2,718282 (1−MVS) ^ ¥ = 1/e = 0,367879Und Peter Augustin schreibt dazu: „Sie nähern sich immer mehr der Zahl 1/e, werden sie aber nie genau erreichen, […] In der Kürze liegt die Würze. Mathmatiker sollten die würzigsten sein. Meistens sind sie sehr vertrocknet./“[1]
Es ist schon erstaunlich, was man alles schreiben kann, wenn man sich auch von Gauß nichts verbieten läßt. Dabei ist die Grundidee der Einführung einer unendlich kleinen Größe gar nicht dumm. Wer kennt denn nicht aus der Schule das berühmte dx? Auch ist es nicht verboten, die oben aufgeführten Rechenregeln zu definieren. Nur was hat man davon? Vor allem von der Behauptung, 1 und 0,999999… seien verschiedene Zahlen? Einen Zuwachs an Merkwürdigkeiten, auf denen man sein Gebäude aus Hohlräumen und Querverstrebungen immer höher errichten kann!
Mein erstes Gefühl beim Lesen der Darlegungen von Peter Augustin im Internet war, möglicherweise einem Spaßvogel auf den Leim zu gehen, zumal er an vielen Stellen durchaus Humor beweist. Doch die Breite seiner Ausführungen, das Auftreten mit Bild im Internet, sein hohes Alter, die bissigen Bemerkungen über Mathematiker und sein Interesse an dichtem Wasser lassen mich glauben, daß er von allem zutiefst überzeugt ist.
[1] Peter Augustin: Anhang C ‒ Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
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wuerg,
22.03.2006 19:29
Peter Augustin sieht in seinem Kollegen Peter Plichta zwar einen hevorragenden Denker (Primzahlen „verdünnen sich nach dem natürlichen Logarithmus, was GAUSS schon ahnte und Peter Plichta mit dem Primzahlkreuz bewies“ [1]), hält sich jedoch selbst für noch etwas genauer: „Sie können das nicht merken, wenn Sie wie Körbler und Plichta das nur gewöhnlich so rechnen wie man 1/81 eben teilt, nur daß man die Reste bei jedem Teilungsschritt auch immer mehr anwachsen läßt.“ Was ist damit gemeint? Wie viele zuvor verwunderte auch Peter Plichta der Kehrwert von 81:
Doch Peter Augustin hält diesen schulmathematischen (Schule wohl in dem Sinne, wie ihn die Heilpraktiker gerne gegenüber normalen Ärzten verstehen) Weg nur für annähernd richtig. Er bemerkt 81=99 und damit 1/81=0,11111…⋅0,11111…, was einen Ausdruck ergibt, dem man sich schrittweise nähern kann:
Hier enden die Überlegungen, und es geht weiter mit den 81 stabilen Elementen, den 19 Reinisotopen und den 19+1 Aminosäuren. Doch ich möchte ‚schulmathematisch‘ noch etwas verweilen und ermitteln, was denn das 81‑fache von (1/9)² also
81 ⋅ 0, 012345679 012345679 0123 ... 5432 098765432 098765432 1
ergeben soll, wenn nicht genau 1? Einerseits weniger als 1, weil ja 0,111111… stets kleiner als 1/9 ist. Andererseits mehr, weil nach der unendlichen Folge 0,0123456790123… ja noch weitere Ziffern mit Periode 098765432 bis zur tief im Unendlichen liegenden 1 kommen. [2]
Für 1/81 als reines 0,012345679012… könnte es weniger als 1 sein. Die Schulmethode liefert folgende Rechnung:
[1] Peter Augustin: Anhang C – Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
[2] Man sollte auch als ‚Schulmathematiker‘ nicht meinen, nach 111111111²=12345678987654321 ginge es mit Palindromen weiter, denn schon 1111111111²=1234567900987654321 ist keines mehr.
81
1/81 = 0,0123456790123456790123456790123456790...
= 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.41.15...
worin die zweite Schreibweise Ziffern oberhalb von 9 zuläßt, um das innewohnende Prinzip deutlich zu machen, nach dem in der Zahl 81 das Universum aller Zahlen steckt. Laut Peter Augustin gewinnen Peter Plichta und andere diese Beziehung aus dem normalen Divisionsverfahren:
100 : 81 = 1 Rest 19 190 : 81 = 2 Rest 28 280 : 81 = 3 Rest 37 270 : 81 = 4 Rest 46 460 : 81 = 5 Rest 55 550 : 81 = 6 Rest 64 640 : 81 = 7 Rest 73 730 : 81 = 8 Rest 82 820 : 81 = 9 Rest 91 910 : 81 = 10 Rest 100 1000 : 81 = 11 Rest 109 .... : 81 = .. Rest ... q(k) : 81 = k Rest r(k)Man vermutet r(k)=9k+10 und q(k)=90k+10 und überprüft, daß tatsächlich q(k)=81k+r(k) und q(k+1)=10⋅r(k) ist, womit die Darstellung von 1/81 ermittelt ist.
Doch Peter Augustin hält diesen schulmathematischen (Schule wohl in dem Sinne, wie ihn die Heilpraktiker gerne gegenüber normalen Ärzten verstehen) Weg nur für annähernd richtig. Er bemerkt 81=99 und damit 1/81=0,11111…⋅0,11111…, was einen Ausdruck ergibt, dem man sich schrittweise nähern kann:
0,112 = 0,0.1.2.1
0,1112 = 0,0.1.2.3.2.1
0,11112 = 0,0.1.2.3.4.3.2.1
0,111112 = 0,0.1.2.3.4.5.4.3.2.1
0,1111112 = 0,0.1.2.3.4.5.6.5.4.3.2.1
0,11111112 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.6.5.4.3.2.1
0,111111112 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.7.6.5.4.3.2.1
0,1111111112 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.8.7.6.5.4.3.2.1
0,11111111112 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
0,111111111112 = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Aus diesem Taschenrechnerspaß folgt, daß 1/81 möglicherweise doch etwas größer als angenommen ist, da nach der unendlichen aufsteigenden Folge von Zahlen noch eine absteigende kommt: „Sie können nun wieder ewig streiten, ob bei zwei unendlich langen Einserschlangen die Abwärtsreihe rechts von der größten mittleren Zahl nun auch noch existiert oder nicht. Zeigen können Sie das nicht, aber beweisen durch Glaube an die Weisheit, daß auch im UNENDLICHEN die gleichen Gesetze wirken wie überall, wo Sie schon waren.“ [1]Hier enden die Überlegungen, und es geht weiter mit den 81 stabilen Elementen, den 19 Reinisotopen und den 19+1 Aminosäuren. Doch ich möchte ‚schulmathematisch‘ noch etwas verweilen und ermitteln, was denn das 81‑fache von (1/9)² also
81 ⋅ 0, 012345679 012345679 0123 ... 5432 098765432 098765432 1
ergeben soll, wenn nicht genau 1? Einerseits weniger als 1, weil ja 0,111111… stets kleiner als 1/9 ist. Andererseits mehr, weil nach der unendlichen Folge 0,0123456790123… ja noch weitere Ziffern mit Periode 098765432 bis zur tief im Unendlichen liegenden 1 kommen. [2]
Für 1/81 als reines 0,012345679012… könnte es weniger als 1 sein. Die Schulmethode liefert folgende Rechnung:
0, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... ⋅ 81 0, 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 110 ... 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 0, 8 17 26 35 44 53 62 71 80 89 98 107 116 123 ---Nun müssen noch die Überträge verrechnet werden. In der k‑ten Stelle nach dem Komma steht die ‚Ziffer‘ 9k-1. Dieser zwacken wir einen Übertrag k−1, also 10(k−1) ab. Es verbleiben 9−k, und somit
0, 8 17 26 35 44 53 62 71 80 89 98 107 116 123 ... = 0, 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 ... + 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... = 0, 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ... = 1 − MVSDamit ist gezeigt, daß 0,012345679012345679… nicht 1/81, sondern genauer (1−MVS)/81 ist, oder umgekehrt 1/81=0,012345679012345679…+MVS. Der wahre Wert von 1/81 ist also um eine Mindestverschiedenheit größer als bisher angenommen. Vergessen ist an dieser Stelle natürlich, die Ableitung als (1/9)², denn sie würde diese Erkenntnis nur stören oder ihre Ableitung komplizierter machen.
[1] Peter Augustin: Anhang C – Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
[2] Man sollte auch als ‚Schulmathematiker‘ nicht meinen, nach 111111111²=12345678987654321 ginge es mit Palindromen weiter, denn schon 1111111111²=1234567900987654321 ist keines mehr.
81
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derphilosoph,
23.03.2006 18:32
Mathematisch bin ich anderer Meinung als Du.
Aber Sätze, wie
-------------------------------------------------------------------------------
"Zeigen können Sie das nicht, aber beweisen durch Glaube an die Weisheit, daß auch im UNENDLICHEN die gleichen Gesetze wirken wie überall, wo Sie schon waren."
-------------------------------------------------------------------------------
finde ich gelungen.
(allerdings lieber ohne den obigen Zusammenhang)
Aber Sätze, wie
-------------------------------------------------------------------------------
"Zeigen können Sie das nicht, aber beweisen durch Glaube an die Weisheit, daß auch im UNENDLICHEN die gleichen Gesetze wirken wie überall, wo Sie schon waren."
-------------------------------------------------------------------------------
finde ich gelungen.
(allerdings lieber ohne den obigen Zusammenhang)
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wuerg,
23.03.2006 23:05
Woher weißt Du, daß wir in diesem Punkte anderer Meinung sind, und das auch noch mathematisch. Glaubst Du an die kleinste rationale Zahl größer Wurzel 2?
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derphilosoph,
24.03.2006 15:46
Wer mit dem Unendlichen "rechnet", der muß auch einräumen, dass eine Zahl unendlich klein werden kann - sprich sich immer weiter an null annähert, aber sie NIE erreicht.
Sind wird gleicher Meingung ?
bzw. Ich liebe Primzahlen.
Sind wird gleicher Meingung ?
bzw. Ich liebe Primzahlen.
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wuerg,
24.03.2006 19:28
Es ist keineswegs verboten und manchmal angezeigt, mit unendlich kleinen oder großen Zahlen zu rechnen, wie man auch Unbestimmte und andere Objekte hinzunehmen kann, die sich gar nicht nach Größenkategorien bemessen lassen. Die Hinzunahme einer Mindestverschiedenheit (MVS) mit der Regel (1−VS)⋅(1+MVS)=1−MVS gebietet wegen (1−MVS)⋅1=1−MVS jedoch erhöhte Vorsicht beim Lösen von Gleichungen ax=b und fordert ggf. eine Festlegung, was man fürderhin unter b/a verstehen möchte. Diese Arbeit erspart sich Peter Augustin.
Es sei dahingestellt, ob, wer mit dem unendlich Großen rechnet, dies auch mit dem unendlich Kleinen zu gestatten habe. Bei den reellen Zahlen ist das Problem auch eher umgekehrt, denn mit der Null ist das betragsmäßig unendlich Kleine bereits vorhanden. Es ist auch unbestritten, daß es nicht nur beliebig große, sondern auch beliebig kleine Zahlen unter ihnen gibt. Das einzige Problem ist die Ausdrucksweise. Für mich gibt es keine Zahlen, die unendlich klein werden, denn sie wachsen und schrumpfen nicht, werden auch nicht bunter oder dicker. Sie sind so wie sie sind, alle verschieden und jede für sich stets gleich groß.
Und schon lugt da die Kritik des Peter Augustin: „Wer die Gaußebene also statisch vor sich hinmalt und dann betrachtet, sieht nur das Endergebnis eines Schwingungsprozesses und läßt sich damit unendlich viele dynamische Zwischenformen entgehen. Er verlernt das dynamische Denken, wie das bei fast allen Mathematikern und Naturwissenschaftlern der Fall zu sein scheint. Er ist lahm, eben nicht dynamisch.“ [1] Genau!
[1] Peter Augustin: Anhang C ‒ Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
Es sei dahingestellt, ob, wer mit dem unendlich Großen rechnet, dies auch mit dem unendlich Kleinen zu gestatten habe. Bei den reellen Zahlen ist das Problem auch eher umgekehrt, denn mit der Null ist das betragsmäßig unendlich Kleine bereits vorhanden. Es ist auch unbestritten, daß es nicht nur beliebig große, sondern auch beliebig kleine Zahlen unter ihnen gibt. Das einzige Problem ist die Ausdrucksweise. Für mich gibt es keine Zahlen, die unendlich klein werden, denn sie wachsen und schrumpfen nicht, werden auch nicht bunter oder dicker. Sie sind so wie sie sind, alle verschieden und jede für sich stets gleich groß.
Und schon lugt da die Kritik des Peter Augustin: „Wer die Gaußebene also statisch vor sich hinmalt und dann betrachtet, sieht nur das Endergebnis eines Schwingungsprozesses und läßt sich damit unendlich viele dynamische Zwischenformen entgehen. Er verlernt das dynamische Denken, wie das bei fast allen Mathematikern und Naturwissenschaftlern der Fall zu sein scheint. Er ist lahm, eben nicht dynamisch.“ [1] Genau!
[1] Peter Augustin: Anhang C ‒ Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
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derphilosoph,
24.03.2006 19:36
Ich mag sie nicht, diese Mindestverschiedenheit !
Wenn ich 1 durch Unendlich teile, und es gäbe immer eine Mindestverschiedenheit, kämen wir nie auf null.
Lass uns abstrahieren, dann ein Rechnermodell entwickeln und uns anschließend wundern ..... ;-)
Nein, Nein, ich mag sie nicht, diese MVS.
"Und so kommen über bekannte Dinge hinaus nur falsche und abstruse heraus."
[Mit diesem Satz werde ich korrekt zitiert. Ich habe ihn aber an der Originalstelle entfernt, weil man gerade in denkerischen, wenn nicht gar wissenschaftlichen Auseinandersetzung bei aller Kritik im Ausdruck zurückhaltend sein sollte. (wuerg)]
Yep.
Wenn ich 1 durch Unendlich teile, und es gäbe immer eine Mindestverschiedenheit, kämen wir nie auf null.
Lass uns abstrahieren, dann ein Rechnermodell entwickeln und uns anschließend wundern ..... ;-)
Nein, Nein, ich mag sie nicht, diese MVS.
"Und so kommen über bekannte Dinge hinaus nur falsche und abstruse heraus."
[Mit diesem Satz werde ich korrekt zitiert. Ich habe ihn aber an der Originalstelle entfernt, weil man gerade in denkerischen, wenn nicht gar wissenschaftlichen Auseinandersetzung bei aller Kritik im Ausdruck zurückhaltend sein sollte. (wuerg)]
Yep.
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wuerg,
25.03.2006 15:21
Mathematische Betrachtungen sind weitgehend unabhängig davon, ob es die studierten Objekte wirklich gibt. So kann man durchaus der Meinung sein, über die natürlichen Zahlen hinaus sei alles nur Fiktion. Doch ändert das eigentlich nichts an der Quadratwurzel aus 2 und ihrer Nützlichkeit in mathematischen Überlegungen.
Bei der Mindestverschiedenheit ist das anders. Ich sehe keinen Nutzen und auch nur eine Minderheit, die an eine wie auch immer geartete Existenz der MVS glaubt. In dieser Beziehung kann ich also abschließend sagen: Ja, wir sind einer Meinung.
Bei der Mindestverschiedenheit ist das anders. Ich sehe keinen Nutzen und auch nur eine Minderheit, die an eine wie auch immer geartete Existenz der MVS glaubt. In dieser Beziehung kann ich also abschließend sagen: Ja, wir sind einer Meinung.
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mark793,
25.03.2006 15:31
Zugegeben,
ich bin kein Mathematiker. Aber soo unplausibel erscheint mir das Postulat einer Mindestverschiedenheit gar nicht. Zumindest solange ich das nur als eine abstrakte Größe oder meinetwegen als zahlenphilosophisches Konstrukt begreife. Ob mit diesem Platzhalter vernünftige Rechenoperationen anzustellen sind, steht freilich auf einem anderen Blatt. Von diesem Blickwinkel aus betrachtet ist die MVS vielleicht tatsächlich nur ein Versuch, auf einer Glatze Locken zu drehen...
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wuerg,
25.03.2006 16:13
Ich habe es ja auch eingeräumt: Schreibe ich statt MVS das geläufigere dx, so kann ich gut damit rechnen. Nur ist Vorsicht geboten und ich darf mich nicht zu
(1-dx)(1+dx)=1−dx
verrennen, nur weil bei noch so kleinem dx das Produkt wie in
(1−0,0004) ⋅ (1+0,0004) = 1 − 0,00000016
immer kleiner als 1 bleibt, „daß auch im UNENDLICHEN die gleichen Gesetze wirken wie überall“ [1] in einer platten Auslegung angewendet wird.
Peter Augustin macht meines Erachtens wie viele den Fehler, nicht nur unendlich kleine Objekte, sondern das kleinste unter ihnen betrachten zu wollen. So kann er sich wohl nicht entschließen, das Quadrat von dx als noch kleiner als dx selbst stehen zu lassen, mag es aber auch nicht mit 0 gleichsetzen. Damit hat er den Salat: Lautet die Lösung der Gleichung
(1−dx) ⋅ a = 1−dx
a=1, weil (1−dx)⋅1=1−dx, oder a=1+dx, weil (1−dx)⋅(1+dx)=1−dx? Dazu finde ich bei Peter Augustin nichts. Jede Präzisierung macht auch die Schwierigkeiten deutlich und engt den Interpretationsspielraum ein.
[1] Peter Augustin: Anhang C ‒ Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
(1-dx)(1+dx)=1−dx
verrennen, nur weil bei noch so kleinem dx das Produkt wie in
(1−0,0004) ⋅ (1+0,0004) = 1 − 0,00000016
immer kleiner als 1 bleibt, „daß auch im UNENDLICHEN die gleichen Gesetze wirken wie überall“ [1] in einer platten Auslegung angewendet wird.
Peter Augustin macht meines Erachtens wie viele den Fehler, nicht nur unendlich kleine Objekte, sondern das kleinste unter ihnen betrachten zu wollen. So kann er sich wohl nicht entschließen, das Quadrat von dx als noch kleiner als dx selbst stehen zu lassen, mag es aber auch nicht mit 0 gleichsetzen. Damit hat er den Salat: Lautet die Lösung der Gleichung
(1−dx) ⋅ a = 1−dx
a=1, weil (1−dx)⋅1=1−dx, oder a=1+dx, weil (1−dx)⋅(1+dx)=1−dx? Dazu finde ich bei Peter Augustin nichts. Jede Präzisierung macht auch die Schwierigkeiten deutlich und engt den Interpretationsspielraum ein.
[1] Peter Augustin: Anhang C ‒ Primzahlkreuz und Zweiteilungsschwert. „Dichtes Wasser“.
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ichichich,
23.03.2006 18:05
Plichta, mein Held! Wo er ist, da ist auch Walburga nicht weit:
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wuerg,
23.03.2006 23:11
Große Wissenschaftler benötigen natürlich Hilfe. Und Peter Plichta hat sie in Walburga Posch gefunden. Zu ihrem Schaden ist es nicht gewesen. Ich möchte nicht wissen, welche großen Firmen ihre Manager schon zu ihren Seminaren geschickt haben.
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